最大剰余法

割当法または分割順位法は、議席配分規則の一種であり、立法機関の議席を複数のグループ（政党や連邦州など）に配分するためのアルゴリズムです。割当法では、まず各政党の得票数を選挙割当（議席を獲得するために必要な固定票数）で割って、各政党の議席数（基本議席数）を計算します。次に、余った議席があれば、一部の政党の割当数を切り上げて割り当てます。これらの規則は、より一般的な最高平均法（除数法とも呼ばれる）とは対照的です。^{[ 1 ]}

最も一般的な割当方式は、最大剰余方式または割当シフト方式であり、残った議席を「多数決」の勝者（最も多くの剰余票を獲得した政党、つまり最も多くの残余票を獲得した政党）に割り当てる。^{[ 2 ]}

ヘア割当法を用いる場合、このルールはハミルトン法またはヘア・ニーマイヤー法と呼ばれ、^{[ 3 ]}世界で3番目に一般的な配分ルールである（ドント法とサント・ラゲ法の最高平均法に次ぐ）。^{[ 1 ]}

直感的に理解しやすい定義にもかかわらず、割当方式は、配分パラドックスのために、社会選択理論家からは一般的に好まれていない。^{[ 1 ] [ 4 ]}特に、最大剰余方式は、欠席パラドックス、すなわち、ある政党に投票するとその政党が議席を失う可能性があるというパラドックスを示す。^{[ 4 ] [ 5 ]}また、最大剰余方式は、スポイラー効果にも脆弱であり、資源単調性または議院単調性（議会の議席数を増やしても、ある政党が議席を失うことはないというパラドックス、アラバマ・パラドックスとして知られる状況）を満たさない可能性がある。^{[ 4 ] [ 5 ] :コリント4.3.1}

最大剰余方式では、各政党の得票数を割当数で割ります。通常、割当数は有効投票数を議席数で割ることによって算出されます。各政党の結果は、整数部分と小数部分の剰余で構成されます。まず、各政党にはその整数部分と同じ数の議席が割り当てられます。これにより、通常、割り当てられない議席が残ります。これらの議席を割り当てるために、政党は小数部分の剰余に基づいて順位付けされ、すべての議席が割り当てられるまで、剰余が最も大きい政党にそれぞれ1議席ずつ追加で割り当てられます。これが、この方式が「最大剰余方式」と呼ばれる所以です。

最大剰余方式は、有権者が強固な連合を形成する単記移譲式投票やクォータ・ボルダ方式と同様の結果をもたらす。単記移譲式投票やクォータ・ボルダ方式は、有権者全員が厳格な党派主義者のように行動する場合（つまり、1つの政党の候補者のみに優先順位を付ける場合）には、最大剰余方式と同様の挙動を示す。^{[ 6 ]}

選挙割当にはいくつかの選択肢がある。割当の選択は、対応する最大剰余法の特性、特に議席バイアスに影響を与える。割当が小さいほど小政党が議席を獲得しやすくなり、割当が大きいほど多くの票が残る。このことから、やや直感に反する結果として、割当が大きいほど常に小政党に有利になる。^{[ 6 ]}複数の議席獲得を目指す政党は、割当が小さい場合、1人の人気候補者が獲得する票が少なくなる。

最も一般的な2つのクォータは、ヘアクォータとドゥループクォータです。最大剰余法のいずれかで特定のクォータを使用する場合、多くの場合「LR-[クォータ名]」と略され、「LR-ドゥループ」などとなります。^{[ 7 ]}

ウサギ（または単純な）割り当て量は、次のように定義されます。

$\displaystyle {\frac {\text{総投票数}}{\text{総議席数}}}}$

LR-Hare法は、 1792年にこの方法を考案したアレクサンダー・ハミルトンにちなんで、ハミルトン法と呼ばれることもある。^{[ 8 ]}

ドループクォータは次のように表されます。

$\displaystyle {\frac {\text{総投票数}}{{\text{総議席数}}+1}}}$

そして、南アフリカの選挙にも適用される。

ヘア割当は人気のない政党に有利で、ドゥループ割当は人気のある政党に有利である。具体的には、ヘア割当は議席配分数に偏りがなく、ドゥループ割当（より大きな政党に多くの議席を与える傾向がある）よりも比例的である。ヘア割当は、選挙区で過半数の票を獲得した政党に少数の議席を割り当てたり、過半数に満たない票しか獲得していない政党に過半数の議席を割り当てたりすることがあるという不均衡を抱えている^{[ 9 ]。}

以下の例では、ヘア割当法による最大剰余法を用いて11席を割り当てます。

最大剰余方式による議席配分は、有権者にとって理解しやすい。さらに、最大剰余方式はクォータ制（各政党の議席数は、切り上げまたは切り捨てによって、その政党の理想的な議席配分に等しくなる）を満たしており、この基準を満たすように設計されている。しかしながら、この方式は議席数と得票数の比率における不平等が大きくなるという代償を伴い、一人一票の原則に反する可能性がある。

しかし、社会選択理論家にとってより大きな懸念事項であり、多くの国で社会選択理論が放棄された主な原因は、そのようなルールが配分パラドックスと呼ばれる不規則または非合理的な行動を生み出す傾向があることである。

• 議会の議席数を増やすと、政党の議席配分が減少する可能性があり、これはアラバマのパラドックスと呼ばれている。
• 議会に政党が増えると、 「新州パラドックス」と呼ばれる奇妙な種類のスポイラー効果が生じる可能性がある。
  • 連邦議会がオクラホマ州を初めて連邦に加盟させた際、既存の州の議席に影響を与えないようにするため、下院はオクラホマ州の割り当て数と同じ5議席増設された。しかし、完全な割り当てが再計算された際、両州の人口に変化がないにもかかわらず、オクラホマ州の加盟によってニューヨーク州がメイン州に議席を奪われたことを知った下院議員たちは驚愕した。^{[ 10 ] [ 11 ]： 232-233}
  • 同様に、議席配分は、配分を計算する正確な順序によっても左右される可能性がある。例えば、当選した無所属候補者を最初に特定して選出し、残りの議席を配分する方法と、各無所属候補者をそれぞれ独立した政党であるかのように扱い、全体的な配分を1つ計算する方法では、結果が異なる。^{[ 4 ]}

このようなパラドックスには、二者択一配分や部分投票連結といったより複雑な配分問題に手続きを一般化することが困難または不可能になるという欠点もあります。これは、単記移譲式投票のような割当制に基づく選挙管理が極めて複雑になる一因となっています（単記移譲式投票の集計を参照）。

1. 1 2 3プケルスハイム、フリードリヒ（2017）「割当方式による配分：分割と順位付け」、プケルスハイム、フリードリヒ編『比例代表制：配分方式とその応用』 、チャム：シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング、 95～ 105頁、doi：10.1007/978-3-319-64707-4_5、ISBN  978-3-319-64707-42024年5月10日取得
2. ↑タネンバウム、ピーター（2010）。現代数学への旅。ニューヨーク：プレンティス・ホール。p . 128。ISBN  978-0-321-56803-8。
3. ↑ 「Hare/Niemeyer - 連邦選挙管理官」。Bundeswahlleiterin.de 。 2026年6月19日取得。
4. 1 2 3 4プケルスハイム、フリードリヒ（2017）「システムの一貫性の確保：整合性とパラドックス」、プケルスハイム、フリードリヒ（編）『比例代表制：配分方法とその応用』、チャム：シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング、pp. 159–183、doi：10.1007/978-3-319-64707-4_9、ISBN  978-3-319-64707-42024年5月10日取得
5. 1 2バリンスキー、ミシェル・L.、ヤング、H・ペイトン（1982）。公正な代表：一人一票の理想の実現。ニューヘイブン：イェール大学出版局。ISBN 0-300-02724-9。
6. 1 2ギャラガー、マイケル (1992)。「比例代表制選挙制度の比較：割当、閾値、パラドックス、多数決」。British Journal of Political Science。22 ( 4 ) : 469–496。doi : 10.1017/S0007123400006499。ISSN 0007-1234。JSTOR 194023。  
7. ↑ギャラガー、マイケル、ミッチェル、ポール（2005年9月15日）。選挙制度の政治学。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-153151-4。
8. ↑エーリック・ラガースペッツ（2015年11月26日）。『社会的選択と民主主義的価値観』。選択と福祉に関する研究。シュプリンガー。ISBN 97833192326142017年8月17日に取得。
9. ↑ハンフリーズ (1911).比例代表制. p. 138. 
10. ↑コールフィールド、マイケル J. (2010 年 11 月) 「米国議会における代表者の配分 ― 配分のパラドックス」 . Convergence . アメリカ数学協会. doi : 10.4169/loci003163 (2025 年 7 月 1 日非アクティブ)。{{cite journal}}: CS1メンテナンス: DOIは2025年7月現在非アクティブです（リンク）
11. ↑スタイン、ジェームズ・D. (2008). 『数学はいかに世界を説明するか：自動車修理から現代物理学まで、数の力への手引き』ニューヨーク：スミソニアン・ブックス。ISBN 9780061241765。

• Cut-the-Knotのハミルトン法実験アプレット