リソースの単調性

社会が${\displaystyle m}$水や小麦粉など、均質で分割可能な資源の単位。資源は以下のように分割されるべきである。${\displaystyle n}$異なる効用を持つエージェント。エージェントの効用${\displaystyle i}$関数によって表現される$u_i$; エージェントの場合${\displaystyle i}$受け取る$\displaystyle y_{i}}$資源の単位から、彼は効用を得る。${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$社会は資源をエージェント間でどのように分配するかを決定しなければならない。つまり、ベクトルを見つける必要がある。${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$すなわち、${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n}=m}$。

古典的な資源配分ルールには、すべての主体の効用を均等化すること（言い換えれば、最小効用を最大化すること）を目指す平等主義ルールと、効用の合計を最大化することを目指す功利主義ルールの2つがある。

平等主義ルールは常にRMです。^{[ 1 ] : 47}共有できるリソースが増えると、すべてのエージェントに保証できる最小効用が増加し、すべてのエージェントがその増加分を均等に共有します。対照的に、功利主義ルールはRMではない可能性があります。

例えば、アリスとボブという2人のエージェントがいて、それぞれが次のような効用を持っているとします。

• ${\displaystyle u_{A}(y_{A})=y_{A}^{2}}$
• $u_B(y_B)=y_B$

平等な配分は、次の方程式を解くことによって求められます。${\displaystyle y_{A}^{2}=(m-y_{A})}$これは、${\displaystyle m=y_{A}^{2}+y_{A}}$、 それで${\displaystyle y_{A}}$は単調増加し、${\displaystyle m}$同等の式は次のとおりです。${\displaystyle y_{B}=(m-y_{B})^{2}}$これは、${\displaystyle m={\sqrt {y_{B}}}+y_{B}}$、 それで${\displaystyle y_{B}}$も単調増加しており、${\displaystyle m}$。したがって、この例では（いつものように）平等主義のルールはRMです。

対照的に、功利主義ルールはRMではありません。これは、アリスには収穫逓増の法則があるためです。アリスの限界効用は、資源が少ないときは小さいですが、資源が多いときは急速に増加します。したがって、資源の総量が少ないとき（具体的には、${\displaystyle m<1}$）すべての資源がボブに与えられたときに功利主義的総和は最大化されますが、資源が多数ある場合（${\displaystyle m>1}$)、すべてのリソースがアリスに与えられたときに最大値に達します。数学的には、${\displaystyle y}$はアリスに与えられた金額であり、功利主義的な合計は${\displaystyle y^{2}+(m-y)}$この関数には内部最小値のみがあり、内部最大値はありません。範囲内の最大値は${\displaystyle [0,m]}$は、いずれかの端点で達成されます。それは、左端点です。${\displaystyle m<1}$そして正しい終点${\displaystyle m>1}$一般的に、功利主義的な配分ルールは、すべての主体が収穫逓減の法則に従う場合にはRMとなるが、一部の主体が収穫逓増の法則に従う場合にはRMとはならない可能性がある（例のように）。^{[ 1 ]： 46-47}

したがって、社会が資源配分に功利主義的なルールを用いる場合、資源量が増加するとボブの価値は低下する。これは、ボブが経済成長に反対する動機を持つことになるという点で好ましくない。ボブは自分の取り分を多く保つために、資源の総量を少なく抑えようとするだろう。

RAMとCPUを搭載したクラウドサーバーを考えてみましょう。異なる種類のタスクを実行する2人のユーザーがいます。

• アリスのタスクには、1ユニットのRAMと2ユニットのCPUが必要です。
• ボブのタスクには、2ユニットのRAMと1ユニットのCPUが必要です。

したがって、RAMをr、CPUをcで表す効用関数（＝タスク数）は、レオンチェフ効用関数である。

• ${\displaystyle u_{A}(r,c)=\min(r,c/2)}$
• ${\displaystyle u_{B}(r,c)=\min(r/2,c)}$

サーバーに12個のRAMと12個のCPUが搭載されている場合、功利主義的配分と平等主義的配分（およびナッシュ最適、最大積配分）は以下のとおりです。

• ${\displaystyle r_{A}=4,c_{A}=8\implies u_{A}=4}$
• ${\displaystyle r_{B}=8,c_{B}=4\implies u_{B}=4}$

さて、さらに12個のCPUユニットが利用可能になったとしましょう。平等主義的な割り当ては変わりませんが、功利主義的な割り当てでは、すべてのリソースがアリスに割り当てられます。

• ${\displaystyle r_{A}=12,c_{A}=24\implies u_{A}=12}$
• ${\displaystyle r_{B}=0,c_{B}=0\implies u_{B}=0}$

つまり、ボブは資源の増加によって価値を失うことになる。

ナッシュ最適（最大積）配分は次のようになる。

• ${\displaystyle r_{A}=6,c_{A}=12\implies u_{A}=6}$
• ${\displaystyle r_{B}=6,c_{B}=3\implies u_{B}=3}$

したがって、ボブもここで価値を失うが、その損失はそれほど深刻ではない。^{[ 1 ]： 83-84}

公平なケーキカット問題において、分割して選ぶといった古典的な配分ルールはRM（ランダムなルール）ではありません。RMであることが知られているルールはいくつかあります。

• ピースが分離可能であれば、絶対効用（正規化されていない）の凹型福祉関数を最大化する配分ルールはすべてRMである。特に、ナッシュ最適ルール、絶対レキシミンルール、絶対功利主義ルールはすべてRMである。しかし、最大化に相対効用（効用をケーキの総価値で割ったもの）を使用する場合、これらのルールのほとんどはRMではなく、RMのまま残るのはナッシュ最適ルールのみである。^{[ 3 ]}
• ピースを連結する必要がある場合、パレート最適比例分割ルールはRMではありません。絶対公平ルールは弱パレート最適かつRMですが、比例ではありません。相対公平ルールは弱パレート最適かつ比例ですが、RMではありません。いわゆる右端マークルールは、分割選択の変形であり、比例的かつ弱パレート最適かつRMですが、2人のエージェントに対してのみ機能します。3人以上のエージェントに対して比例的かつRMである分割手順が存在するかどうかは未解決の問題です。^{[ 4 ]}

資源の単調性は、単峰性の選好を持つ公平な分配の問題で研究された。^{[ 5 ] [ 6 ]}

平等主義的なルール（効用のレキシミンベクトルを最大化する）は、分割する資源が複数の分割不可能な（離散的な）単位から構成されている場合、RM（資源管理）にはならない可能性がある。

例えば、^{[ 1 ] : 82 次の}ようなものがあると仮定します${\displaystyle m}$テニスラケット。アリスは壁に向かってプレーするのが好きなので、ラケットを持っているときはいつでも効用が1になります。しかし、ボブとカールは、お互いに、またはアリスと対戦することしか楽しめないので、ラケットが2本あるときだけ効用が1になります。したがって、ラケットが1本しかない場合は、平等主義ルールにより、ラケットはすべてアリスに与えられます。しかし、ラケットが2本ある場合は、エージェント間で均等に分けられます（各エージェントは2/3の時間ラケットを持ちます）。したがって、ラケットの総数が増えると、アリスの効用は減少します。アリスは増加に反対するインセンティブを持っています。

公平なアイテム割り当て問題では、調整済み勝者や羨望グラフなどの古典的な割り当て手順はRMではありません。さらに、ケーキカットではRMであるナッシュ最適ルールでさえ、アイテム割り当てではRMではありません。対照的に、ラウンドロビンアイテム割り当てはRMです。さらに、ラウンドロビンは、異なる権利を持つエージェントに適した選択シーケンスを生成するように適応できます。これらの選択シーケンスもすべてRMです。^{[ 7 ]}

すべてのアイテムが同一であり、各エージェントの効用が単に受け取るアイテムの数となる特殊なケースは、配分として知られています。これは、議会における州間または政党間の議席配分という作業から生まれました。そのため、しばしば議席単調性と呼ばれます。