権利（公平な分配）

経済学、哲学、社会的選択理論において、個人の権利とは、その人が受け取るべき、または受け取るに値する財の価値、つまり、プレーヤーが理想的に受け取るであろう財または資源の合計価値を指します。たとえば、政党名簿比例代表制では、政党の議席権利は、その政党の得票率に議会の議席数を掛けたものに等しくなります。

お金だけを分割し、受取人ごとに固定額が指定されている場合でも、問題は複雑になる可能性があります。指定された金額はお金の額より多いか少ない可能性があり、その場合は利益または損失を分配する必要があります。比例ルールは、現在法律で一般的に使用されており、破産理論のデフォルトの前提となっています。ただし、他のルールも使用できます。例:

• シャプレー値は、空港問題に見られるように、交渉力を決定する一般的な方法の 1 つです。
• 一方、福祉経済学は社会福祉関数に応じて配分を決定しようとします。
• 人々はコンセンサスプロセスによって相対的な権利について合意することもできます。たとえば、他の人が権利を持っていると思うものを述べ、評価が一致すれば、公平な合意に基づく分割が成立します。^[1]
• 優先ルールは、異なる権利を割り当てるための別の種類のメカニズムです。^[2]

タルムードには、権利が比例に基づいて決定されない例が数多くあります。

• 争われている衣服の問題。ある人が布の全部を主張し、別の人が半分を主張する場合、それは3/4と1/4に分割されます。^[3]
• 遺産分割問題。3人の妻はそれぞれ100、200、300ズーズの権利を持っています。3つのケースが考えられます。遺産が100ズーズの場合、33と3分の1ずつ、200ズーズの場合は50、75、75、300ズーズの場合は50、100、150です。^[4]
• 共同基金からの利益。2人が基金に200と100を投入し、耕作のために牛を購入し、その目的に使用した場合、利益を2人で均等に分配する必要があります。しかし、代わりに牛を屠殺する場合は、利益を比例配分します。これはバビロニアタルムードで（財産分割問題の直後に）議論されています。^[4]
• イブン・エズラの問題。これは、後に別の方法で解決された遺産分割の問題である。120の遺産を持つ男性が亡くなり、4人の息子にそれぞれ120、60、40、30を遺贈した。最初の息子には(120–60)/1+(60–40)/2+(40–30)/3+(30–0)/4を贈与し、残りの息子には先頭の項を除いた合計を与え、最後の息子には30/4を与えることが推奨された。この配分は、以前の遺産分割とは異なる。^[4]

これらの解決策はすべて協力ゲームでモデル化できます。財産分割問題には多くの文献があり、1985年にロバート・J・オーマンとマイケル・マシュラーによってゲーム理論の理論的根拠が初めて示されました。 ^[5]争奪衣服ルールを参照してください。

公平なケーキカットは、異質な連続リソースを分割する問題です。異なる権利を尊重する比例的なケーキカットが常に存在します。2 つの主な研究上の質問は、(a) 公平な分割に何回のカットが必要か? (b) 分割を計算するのに何回のクエリが必要か? です。参照:

• 異なる権利を持つ比例ケーキカット。
• さまざまな権利を持つ、羨望のないケーキカット。

クラウドコンピューティング環境では、複数の均質な分割可能なリソース（メモリやCPUなど）をユーザー間で分割する必要があり、各ユーザーは異なるリソースの組み合わせを必要とします。^[6] エージェントが異なる権限を持つ可能性がある設定は、^[7]と^{[8]によって研究されています。}

比例代表制の議会制民主主義では、各政党は得票数に応じて議席を獲得する権利があります。多選挙区制では、各選挙区は人口に応じて議席を獲得する権利があります。これは、異なる権利を持つ主体間で同一の分割不可能な項目 (議席) を分配する問題です。これは配分問題と呼ばれます。

人口規模に応じて議席を割り当てると、小さな選挙区にはまったく発言権が与えられなくなる可能性があります。最も簡単な解決策は、選挙区の規模を均等にすることです。ただし、欧州連合や米国などでは、これが不可能な場合もあります。選挙区の規模に比例した「投票権」を確保することは、権利の問題です。

異なる規模や重み付けの選挙区の投票力を計算する方法は数多くあります。主なものは、シャプレー・シュビックの投票力指数とバンザフの投票力指数です。これらの投票力指数は、選挙区がランダムに結合できることを前提としており、ペンローズ法で与えられる重み付けの平方根に近似しています。この前提は実際の慣行には対応しておらず、大規模な選挙区は不公平に扱われていると主張することもできます。

公平なアイテムの割り当てというより複雑な設定では、人によって価値が異なる可能性のある複数の異なるアイテムが存在します。

アジズ、ガスパース、マッケンジー、ウォルシュ^{[9] ：7.2節}では、エージェントが完全な効用関数ではなく、項目の順序順位のみを明らかにする場合に、異なる権利を持つエージェントの比例性と羨望のなさを定義している。彼らは、比例する可能性がある（エージェントの順位と一致する少なくとも1つの効用プロファイルに従って比例する）割り当て、または必然的に比例する（順位と一致するすべての効用プロファイルに従って比例する）割り当てが存在するかどうかを確認するための多項式時間アルゴリズムを提示している。

Farhadi、Ghodsi、Hajiaghayi、Lahaie、Pennock、Seddighin、Seddighin および Yami ^{[10]は、重み付け最大シェア (WMMS) を、異なる権利を持つエージェントへの}最大シェアの一般化として定義しました。彼らは、WMMS の達成可能な最良の乗法保証は一般に 1/ nであり、各財のすべてのエージェントに対する価値が最大でエージェントの WMMS である特殊なケースでは 1/2 であることを示しました。Aziz、Chan および Li ^{[11] は}、WMMS の概念を雑用 (負の効用を持つアイテム) に適用しました。彼らは、エージェントが 2 人の場合でも、WMMS の 4/3 以上を保証することは不可能であることを示しました (雑用では、近似比は 1 より大きく、小さいほど良いことに注意してください)。彼らは、2 つのエージェントに対する 3/2-WMMS 近似アルゴリズムと、バイナリ評価を持つ n エージェントに対する WMMS アルゴリズムを提示しています。彼らはまた、特定のインスタンスで達成可能な WMMS の最適近似である OWMMS を定義しています。彼らは、OWMMS の 4 因子近似を達成する多項式時間アルゴリズムを提示しています。

WMMS は、エージェントの基数効用が変化すると、エージェントの WMMS を満たすバンドルの集合が変化する可能性があるという点で基数概念です。Babaioff、Nisan、Talgam-Cohen ^{[12] は、バンドルのエージェントの}順序順位 のみに基づいた、異なる権利を持つエージェントへの MMS の別の適応を導入しました。彼らは、この公平性の概念は、異なる予算を持つ競争均衡によって達成され、予算は権利に比例することを示しています。この公平性の概念は、Chakraborty、Segal-Halevi、Suksompong によって Ordinal Maximin Share (OMMS) と呼ばれています。^[13]さまざまな順序 MMS 近似間の関係は、Segal-Halevi によってさらに研究されています。^{[14] [15]}

Babaioff、Ezra、Feige ^{[16]は、OMMSよりも強力な別の順序概念である}AnyPrice Share（APS） を提示している。彼らは、APSの3/5分数を達成する多項式時間アルゴリズムを示している。

アジズ、ムーリン、サンドミルスキー^[17]は、異なる権利と任意の（正または負の）評価を持つエージェントに対して、常にパレート最適かつWPROP(0,1)の割り当てを見つける強力な多項式時間アルゴリズムを提示している。

これまでWEFの緩和は財についてのみ研究されてきた。Chakraborty、Igarashi、Suksompong ^[18]はWEF(1,0)の加重ラウンドロビンアルゴリズムを導入した。その後の研究で、Chakraborty、Schmidt-Kraepelin、Suksompongは加重ラウンドロビンアルゴリズムを一般的なピッキングシーケンスに一般化し、これらのシーケンスのさまざまな単調性特性を研究した。

物品とお金の公平な分配の問題では、金銭の移転を利用して、分割できない商品の正確な公平性を達成することができます。

CorradiとCorradi ^{[19]は、各エージェント}iの効用（アイテムの価値とiに与えられたお金の合計として定義される）が r t _i u _i （AllItems）である場合に、配分が公平であると定義しています。ここで、rはすべてのエージェントに対して同じです。

彼らは、 r >= 1で公平な割り当てを見つけるアルゴリズムを提示しています。これは、割り当ても比例していることを意味します。

協力的交渉は、実行可能な効用ベクトルの集合の関数として、実行可能な効用ベクトルを選択するという抽象的な問題です (公平な分割は交渉の特殊なケースです)。

3 つの典型的な交渉ソリューションには、異なる権限を持つエージェント向けのバリエーションがあります。具体的には、次のとおりです。

• カライ^[20]は、最大加重ナッシュ福祉ルールを導入することでナッシュ交渉解を拡張した。
• トムソン^[21]はカライ＝スモロジンスキー交渉の解決策を拡張した。
• Driesen ^[22]は非対称レキシミンルールを導入することでレキシミンルールを拡張した。