フォックスH関数

数学において、フォックスH関数 H ( x )は、マイヤーG関数とチャールズ・フォックス（1961）によって導入されたフォックス・ライト関数の一般化である。メリン・バーンズ積分 によって定義される。

${\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds,}$

ここで、L は分子の 2 つの因子の極を分離する特定の輪郭です。

フォックスH関数とランバートW関数の-1分岐の関係は次のように表される。

${\displaystyle {\overline {\operatorname {W} _{-1}\left(-\alpha \cdot z\right)}}={\begin{cases}\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{1,\,2}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left({\frac {\alpha +\beta }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\left(0,\,1\right),\,\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{{\frac {\alpha }{\beta }}-1}\right)\right],\,{\text{for}}\left|z\right|<{\frac {1}{e\left|\alpha \right|}}\\\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{-{\frac {\alpha }{\beta }}}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{2,\,1}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left(1,\,1\right),\,\left({\frac {\beta -\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\right)\right],\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$ここで はの複素共役である。^[1]${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle z}$

マイヤーG関数と比較する

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds.}$

Fox HがMeijer Gに簡約される特別なケースは、A _j = B _k = C、C > 0（j = 1... pおよびk = 1... qの場合）である ：^[2]

${\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},C)&(a_{2},C)&\ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z^{1/C}\right).}$

Fox H関数の一般化は、Ram Kishore Saxenaによって行われました。^{[3] [4]}この関数のさらなる一般化は、物理学と統計学に有用であり、AM MathaiとRam Kishore Saxenaによって提供されました。^{[5] [6]}

• フォックス、チャールズ (1961)、「対称フーリエカーネルとしての G 関数と H 関数」、アメリカ数学会誌、98 (3): 395–429、doi :10.2307/1993339、ISSN  0002-9947、JSTOR  1993339、MR  0131578
• Innayat-Hussain, AA (1987a)、「ファインマン積分から導出可能な超幾何級数の新しい特性。I: 変換と縮約の公式」、J. Phys. A: Math. Gen.、20 (13): 4109–4117、Bibcode :1987JPhA...20.4109I、doi :10.1088/0305-4470/20/13/019
• Innayat-Hussain, AA (1987b)、「ファインマン積分から導出可能な超幾何級数の新しい特性。II: H 関数の一般化」、J. Phys. A: Math. Gen.、20 (13): 4119–4128、Bibcode :1987JPhA...20.4119I、doi :10.1088/0305-4470/20/13/020
• キルバス、アナトリー A. (2004)、H 変換: 理論と応用、CRC プレス、ISBN 978-0415299169

• Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore (1978)、統計学と他の分野への応用を伴う H 関数、Halsted Press [John Wiley & Sons]、ニューヨーク、ロンドン、シドニー、ISBN 978-0-470-26380-8、MR  0513025
• Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore; Haubold, Hans J. (2010)、The H-function、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-1-4419-0915-2、MR  2562766
• ラシー、アルジュン K. (1997)、「一般化超幾何関数の新しい一般化」、Le Matematiche、LII : 297–310。
• Srivastava, HM; Gupta, KC; Goyal, SP (1982)、「1変数および2変数のH関数」、ニューデリー：South Asian Publishers Pvt. Ltd.、MR  0691138
• Srivastava, HM; Manocha, HL (1984).生成関数に関する論文. E. Horwood. ISBN 0-470-20010-3。

• GitLabの hypergeom
• MathOverflowで x + x a = y {\displaystyle x+x^{a}=y} を解く際に使用する