除算（数学）

割り算は、例えばキャンディーの山など、一連の物を「分け合う」という概念を通して導入されることが多い。それぞれの分け合う際に、一度に複数の物を各部分に分配していくことで、「チャンキング」という概念が生まれる。これは、被除数から除数の倍数を繰り返し引いていく割り算の一種である。 

ある段階で部分剰余が許容するよりも多くの倍数を減算できるようにすることで、双方向チャンキングのような、より柔軟な手法を開発することも可能になる。

より体系的かつ効率的に、2 つの整数を割り算するには、除数が小さい場合は短除法、除数が大きい場合は長除法を用います。被除数に小数部分（小数で表される）がある場合は、一の位を超えて必要なだけ計算を続けることができます。除数に小数部分がある場合は、除数に小数部分がなくなるまで両方の数の小数を右に移動させて問題を書き換えることで、問題を解きやすくすることができます（例：10/2.5 = 100/25 = 4）。

割り算はそろばんで計算できる。^{[ 15 ]}

対数表は、2つの数の対数を引いて、その結果の逆対数を調べることで、2つの数を割り算するのに使用できます。

割り算は、計算尺のC目盛りの除数とD目盛りの被除数を合わせることで計算できます。商は、C目盛りの左端の目盛りに対応するD目盛りで確認できます。ただし、小数点の位置は計算者が記憶しておく必要があります。

現代の電卓やコンピュータは、割り算を筆算に似た方法、またはより高速な方法で計算します。割り算アルゴリズムを参照してください。

モジュラー演算（素数を法とする演算）において、実数では、ゼロでない数には乗法逆元が存在します。このような場合、 xによる除算は、xの乗法逆元との積として計算できます。この方法は、コンピュータ演算における高速な手法としてよく用いられます。

ユークリッド除法は、整数の除算という通常のプロセスの結果を数学的に定式化したものです。これは、2 つの整数a（被除数）とb（除数）がb ≠ 0 である場合、 a = bq + rかつ 0 ≤ r < | b |となるような一意の整数q （商）とr （剰余）が存在すると主張しています。ここで、| b | はbの絶対値を表します。

整数は除算に関して閉じていません。ゼロ除算は定義されていないだけでなく、被除数が除数の整数倍でない限り、商は整数になりません。例えば、26を11で割っても整数にはなりません。このような場合、次の5つの方法のいずれかが用いられます。

1. 例えば、26は11で割り切れないとします。割り算は部分関数になります。
2. 浮動小数点数で近似値を提示してください。これは数値計算において一般的に用いられる手法です。
3. 答えを有理数を表す分数で表してください。したがって、26 を 11 で割った結果は${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$（または帯分数として、${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.}$通常、結果として得られる分数は簡約化する必要があります。52 を 22 で割った結果も${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$この簡略化は、最大公約数を因数分解することによって行うことができます。
4. 答えを整数商と余りの形で示してください。${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.}$前の場合と区別するために、結果として2つの整数が得られるこの除算は、ユークリッドの互除法の基礎となることから、ユークリッド除算と呼ばれることがあります。
5. 整数商を答えとして与えてください。${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2.}$これは、ケース2または3に適用された床関数です。整数除算と呼ばれることもあり、「//」で表されます。

コンピュータプログラムで整数の除算を行うには、特別な注意が必要です。一部のプログラミング言語では、整数除算を上記のケース5のように扱い、答えは整数になります。一方、MATLABや各種数式処理システムなどでは、上記のケース3のように有理数が答えとして返されます。これらの言語には、直接、またはケース3の結果から、他のケースの結果を取得するための関数も用意されています。

整数除算に使用される名前と記号には、div、/、および\があります。^{[ 16 ]}被除数または除数が負の場合の整数除算に関する定義は異なります。丸めはゼロ方向（いわゆる T 除算）または−∞方向（F 除算）に行われる場合があります。まれなスタイルも存在します。詳細については、剰余演算を参照してください。

割り算の規則は、ある整数が別の整数を割り切れるかどうかを素早く判断するために利用できる場合がある。

2つの有理数を割った結果は、除数が0でない場合は別の有理数になります。2つの有理数p / qとr / sの割り算は次のように計算できます。 $${\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.}$$

4つの量はすべて整数であり、pのみが0になり得る。この定義により、除算は乗算の逆演算であることが保証される。

2つの実数を割ると、別の実数が得られます（除数がゼロでない場合）。これは、a / b = cとなるのは、 a = cbかつb ≠ 0の場合に限ると定義されます。

2つの複素数を割る（除数がゼロでない場合）と、別の複素数が得られます。この複素数は、分母の共役複素数を用いて求められます。 $${\displaystyle {p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.}$$

この乗算と除算のプロセス${\displaystyle r-is}$これは「実現」または（類推的に）合理化と呼ばれます。4つの量p、q、r、sはすべて実数であり、rとsは両方とも0であってはなりません。

極形式で表された複素数の除算は、上記の定義よりも簡単です。 $${\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.}$$

ここでも、p、q、r、s の4 つの量はすべて実数であり、r は0 ではない可能性があります。

体上の1変数多項式の除算演算を定義することができる。すると、整数の場合と同様に、剰余が得られる。多項式のユークリッド除法、および手書き計算のための多項式の長除法または合成除法を参照のこと。

行列の除算演算を定義することができます。一般的な方法は、A / B = AB ⁻¹と定義することです。ここで、B ⁻¹はBの逆行列を表しますが、混乱を避けるためにAB ⁻¹を明示的に記述する方がはるかに一般的です。要素ごとの除算は、アダマール積を用いて定義することもできます。

抽象代数学において、二項演算 ∗ (名目上は乗算とも呼ばれる) を持つマグマが与えられたとき、 bをaで左除算する( a \ bと表記) は、方程式a ∗ x = bの解xとして定義されるのが一般的である。ただし、この解が存在し、かつ一意である場合に限る。同様に、bをaで右除算する( b / aと表記) は、方程式y ∗ a = bの解yである。この意味での除算は、∗ が特定の性質 (交換法則、結合法則、単位元など) を持つ必要はない。a \ b と b / a の両方が存在し、すべての a とすべての b に対して一意であるマグマ(ラテン方格の性質)は準群である。準群では、単位元がなく、したがって逆元がなくても、この意味での除算は常に可能である。

「除算」は、除算特性を持つ要素によって任意のマグマで実行できます。例としては、行列代数、四元数代数、準群などがあります。すべての要素が逆元を持つ必要のない整域では、左除算または右除算によって、abまたはcaの形の要素に対して除算要素aによる除算を実行できます。環が有限で、すべての非ゼロ要素が除算可能であれば、鳩の巣原理を適用することで、環のすべての非ゼロ要素は可逆であり、任意の非ゼロ要素による除算が可能です。代数(技術的な意味で) が除算演算を持つ場合については、除算代数のページを参照してください。特に、ボット周期性を使用すると、任意の実ノルム除算代数は、実数R、複素数C、四元数H、または八元数Oのいずれかと同型でなければならないことを示すことができます。

2つの関数の商の導関数は、商の法則によって与えられます。 $${\displaystyle {\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.}$$