ベン図

ベン図は、集合間の論理的関係を示すために広く使用されている図のスタイルで、 1880年代にジョン・ベン(1834–1923)によって普及されました。この図は、初等集合論を教えたり、確率、論理、統計、言語学、コンピューターサイエンスにおける単純な集合関係を示すために使用されます。ベン図では、平面上に描かれた単純な閉曲線を使用して集合を表します。多くの場合、これらの曲線は円または楕円です。

同様のアイデアは、 1712 年のクリスティアン・ヴァイゼ( Nucleus Logicoe Wiesianoe ) や1768 年のレオンハルト・オイラー( Letters to a German Princess )など、ヴェン以前にも提案されていました。このアイデアは、1881 年に出版された『記号論理学』の第 5 章「図式的表現」でヴェンによって普及しました。

詳細

ベン図は集合図や論理図とも呼ばれ、有限集合の異なる集合間のすべての可能な論理関係を示します。これらの図では、要素は平面上の点として、集合は閉曲線内の領域として表されます。ベン図は、それぞれが集合を表す複数の重なり合った閉曲線（通常は円）で構成されます。S とラベル付けされた曲線内の点は集合S の要素を表し、境界外の点は集合Sに含まれない要素を表します。これは直感的な視覚化に適しています。たとえば、集合SとT の両方のメンバーであるすべての要素の集合はS ∩ Tと表記され、「 SとTの交差点」と読みますが、視覚的には領域SとTの重なり合う面積によって表されます。^[1]

ベン図では、曲線はあらゆる方法で重ね合わされ、集合間のあらゆる関係を示します。したがって、ベン図はオイラー図の特殊なケースであり、オイラー図は必ずしもすべての関係を示すわけではありません。ベン図は、1880 年頃にジョンベンによって考案されました。ベン図は、基本的な集合論を教えたり、確率、論理、統計、言語学、コンピューターサイエンスにおける単純な集合関係を示すために使用されます。

各図形の面積が図形に含まれる要素の数に比例するベン図は、面積比例（またはスケール）ベン図と呼ばれます。

例

この例では、2 セットの生き物が関係しており、ここでは色付きの円で表されています。オレンジ色の円は、2 本足の生き物すべてを表します。青色の円は、飛べる生き物を表します。それぞれの生き物の種類は、図のどこかの点として考えることができます。2本足で飛べる生き物 (たとえば、オウム) は両方のセットに含まれるため、青色とオレンジ色の円が重なる領域の点に対応します。この重なり合う領域には、オレンジ色のセット (2 本足の生き物) と青色のセット (飛べる生き物) の両方のメンバーである要素 (この例では生き物) のみが含まれます。

人間とペンギンは二足歩行なのでオレンジ色の円の中にありますが、飛ぶことができないため、オレンジ色の円の左側、つまり青い円と重ならない部分に表示されます。蚊は飛べますが、足が 2 本ではなく 6 本あるため、蚊のポイントはオレンジ色の円と重ならない青い円の部分にあります。二足歩行も飛べない生物 (たとえば、クジラやクモ) は、両方の円の外側のポイントで表されます。

2 つの集合を組み合わせた領域はそれらの和集合と呼ばれ、A ∪ Bで表されます。ここで、 A はオレンジ色の円で、 B は青色の円です。この場合の和集合には、2 本足または飛べる (またはその両方) すべての生物が含まれます。 A と B の両方に含まれ、2 つの集合が重なる領域は、 A と B の交差と呼ばれ、 A ∩ Bで表されます。

歴史

ケンブリッジのゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジにあるベン図を描いたステンドグラスの窓

ベン図は1880年にジョン・ベンが「命題と推論の図式的かつ機械的な表現について」^[2]と題する論文で、哲学雑誌と科学ジャーナル^{[3]に掲載した論文で紹介されました。この論文では}命題を図で表現するさまざまな方法について説明されています。 ^[4]^[5]^[6]フランク・ラスキーとマーク・ウェストンによると、形式論理におけるこの種の図の使用はベンより前からありましたが、ベンが「その使用法を包括的に調査して形式化し、初めて一般化した」ため、「正しく彼と関連付けられています」。^[7]

重なり合う円で和と交差を表す図は、カタロニアの哲学者ラモン・リュイ（1232年頃 - 1315年/1316年）が13世紀に導入したもので、彼はこれを基本原理の組み合わせを示すために使用した。^[8] ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（1646年 - 1716年）は17世紀に同様の図を作成した（ただし、この研究の多くは未発表であった）。ヨハン・クリスティアン・ランゲも1712年にクリスティアン・ヴァイゼの論理学への貢献を記した著作の中で同様の図を作成した。 ^{[9] [}^8] ベン図に似ているが、必ずしもすべての可能な和と交差を含むわけではないオイラー図は、 18世紀に数学者レオンハルト・オイラーによって初めて有名になった。 ^{[注 1]}^[10]^[11]

ヴェンは「ベン図」という用語を使用せず、その概念を「オイラー円」と呼んでいた。^[6]彼は1862年にオイラー図を知り、オイラー図をブール論理に適応させようとしていた「ずっと後になってから」まで、ベン図は思いつかなかったと書いている。^[12] 1880年の論文の冒頭で、ヴェンはオイラー図が「一般的な承認」を得た唯一の論理の図式表現であると書いている。^[4]^[5]

ヴェンは、この図を、実験による物理的概念の検証に似た教育ツールだと考えていた。その応用例として、彼は3セットの図が「すべてのAは何らかのBである。いかなるBもCではない。したがって、いかなるAもCではない。」という三段論法を説明できることを指摘した。 ^[12]

チャールズ・L・ドジソン（ルイス・キャロル）は、著書『記号論理学』（1896年第4版発行）の「付録、教師向け」に「ベン図法」と「オイラー図法」を掲載している。「ベン図」という用語は、後にクラレンス・アーヴィング・ルイスが1918年に著書『記号論理学概論』で使用した。^[7]^[13]

20 世紀には、ベン図はさらに発展しました。デイビッド・ウィルソン・ヘンダーソンは1963 年に、n回転対称性を持つnベン図が存在するということは、 nが素数であることを意味すると示しました。^[14]彼はまた、nが 5 または 7 のときにも、このような対称ベン図が存在することを示しました。2002 年にピーター・ハンバーガーはn = 11のときに対称ベン図を発見し、2003 年にグリッグス、キリアン、サベージは、他のすべての素数に対しても対称ベン図が存在することを示しました。これらの結果を組み合わせると、 nが素数の場合にのみ、回転対称ベン図が存在することがわかります。 ^[15]

ベン図とオイラー図は、1960年代の新数学運動の一環として集合論の指導の一部として取り入れられました。それ以来、読書などの他の分野のカリキュラムにも採用されてきました。^[16]

大衆文化

ベン図はミームでよく使われています。^[17]少なくとも1人の政治家がベン図を誤用したとして嘲笑されています。^[18]

概要

2つの集合の交差 $~A\cap B$
2つの集合の結合 $~A\cup B$
2つの集合の対称差 $A~\triangle ~B$
A（左）のB（右）における相対的な補数 $A^{c}\cap B~=~B\setminus A$
U における A の絶対補数 $A^{c}~=~U\setminus A$

ベン図は、平面に描かれた単純な閉曲線の集合で構築されます。ルイスによると、^[13]「これらの図の原理は、クラス[またはセット]が、これらのクラスのすべての可能な論理関係を同じ図で示すことができるような相互関係で領域によって表されることです。つまり、図は最初にクラスの可能な関係のための余地を残し、実際のまたは与えられた関係は、特定の領域がヌルであるかヌルではないかを示すことによって指定できます」。^[13]^：157

ベン図は通常、重なり合う円で構成されます。円の内側はセットの要素を象徴的に表し、外側はセットのメンバーではない要素を表します。たとえば、2 セットのベン図では、1 つの円がすべての木製のオブジェクトのグループを表し、もう 1 つの円がすべてのテーブルのセットを表す場合があります。重なり合う領域、つまり交差は、すべての木製のテーブルのセットを表します。以下に示すように、ベンの高次のセット図で円以外の形状を使用することもできます。ベン図には通常、セットの相対的または絶対的なサイズ (濃度)に関する情報は含まれません。つまり、通常は縮尺通りに描かれない概略図です。

ベン図はオイラー図に似ている。しかし、 n 個の成分集合のベン図には、各成分集合に含まれるか含まれないかの組み合わせに対応する、 2 ^{n 個の}^{仮定上可能なゾーンがすべて含まれている必要がある。 [19]}オイラー図には、特定のコンテキストで実際に可能なゾーンのみが含まれる。ベン図では、網掛けのゾーンは空のゾーンを表すことがあるが、オイラー図では、対応するゾーンは図に存在しない。たとえば、1 つの集合が乳製品を表し、別の集合がチーズを表す場合、ベン図には乳製品ではないチーズのゾーンが含まれる。文脈上、チーズが何らかの乳製品を意味すると仮定すると、オイラー図ではチーズゾーンが乳製品ゾーン内に完全に含まれる。つまり、（存在しない）非乳製品チーズのゾーンは存在しない。つまり、等高線の数が増えると、特に空でない交点の数が少ない場合は、オイラー図は通常、同等のベン図よりも視覚的に複雑ではなくなる。^[20]

オイラー図とベン図の違いは、次の例で確認できます。次の 3 つのセットを考えてみましょう。

$A=\{1,\,2,\,5\}$
$B=\{1,\,6\}$
$C=\{4,\,7\}$

これらの集合のオイラー図とベン図は次のようになります。

オイラー図
ベン図

より多くのセットへの拡張

ベン図は通常、2 つまたは 3 つの集合を表しますが、より多くの数に対応できる形式もあります。以下に示す 4 つの交差する球は、単体の対称性を持ち、視覚的に表現できる最高次のベン図を形成します。16 個の交差点は、それぞれ四次元体の頂点 (または16 セルのセル) に対応します。

集合の数が多いと、図の対称性が多少失われるのは避けられません。ベンは、集合の数が多いことを表す「対称的な図形…それ自体が優雅である」 ^{[10]を見つけることに熱心で、}楕円を使った優雅な4 集合図を考案しました(下記参照)。また、集合の数に関係なく、3 つの円の図から始めて、集合を区切る連続する各曲線が前の曲線と交互になるベン図の構成も示しました。

4 つのセットのベン図構成 (計算にはグレイコードを使用します。数字 1 はセット内、数字 0 はセット内にないことを意味します)
5セットのベン図
6セットのベン図
楕円を使用したベン図
非例:このオイラー図は、2 ⁴ = 16 の領域 (白い領域を含む)ではなく 14 の領域しかないため、4 つのセットのベン図ではありません。黄色と青の円だけが交わる領域、または赤と緑の円だけが交わる領域はありません。
Branko Grünbaumが考案した、5 回の回転対称配置で合同な楕円を使用した 5 セットのベン図。ラベルは読みやすくするために簡略化されています。たとえば、A はA ∩ B ^c ∩ C ^c ∩ D ^c ∩ E ^cを表し、BCE はA ^c ∩ B ∩ C ∩ D ^c ∩ Eを表します。
三角形のみで構成された 6 セットのベン図 (インタラクティブバージョン)

エドワーズ・ベン図

3セット
4セット
5セット
6セット

アンソニー・ウィリアム・フェアバンク・エドワーズは、球面を分割することで、より多くの集合を表す一連のベン図を作成しました。これはエドワーズ・ベン図として知られるようになりました。^[21]たとえば、3 つの集合は、球の 3 つの半球を直角 ( x = 0、y = 0、z = 0) に取ることで簡単に表すことができます。テニスボールの継ぎ目に似た曲線 (赤道の周りを上下に巻きます) を取ることで、4 番目の集合を表現に追加できます。結果として得られる集合は、次に平面に投影され、ここに示すように、歯の数が増える歯車図になります。これらの図は、ベンを記念してステンドグラスの窓を設計しているときに考案されました。^[21]

その他の図

エドワーズ・ベン図は、ブランコ・グリュンバウムが考案した、辺の数が増える交差多角形に基づいた図と位相的に同等である。また、超立方体の2次元表現でもある。

ヘンリー・ジョン・スティーブン・スミスは、正弦曲線^[21]を使用した同様のn集合図を考案し、一連の方程式を作成した。 $y_{i}={\frac {\sin \left(2^{i}x\right)}{2^{i}}}{\text{ ただし }}0\leq i\leq n-1{\text{ かつ }}i\in \mathbb {N} .$

チャールズ・ラトウィッジ・ドジソン（ルイス・キャロルとしても知られる）は、キャロルの正方形として知られる 5 セットの図を考案しました。一方、ホアキンとボイルズは、特定の問題ケースを説明するために、標準のベン図の補足規則を提案しました。たとえば、特異なステートメントの表現の問題に関して、彼らはベン図の円を一連のものの表現と見なし、一階述語論理と集合論を使用してカテゴリステートメントを集合に関するステートメントとして扱うことを提案しています。さらに、彼らは特異なステートメントを集合のメンバーシップに関するステートメントとして扱うことを提案しています。したがって、たとえば、この改良されたベン図でステートメント「a は F である」を表現するには、集合 F を表す円の中に小文字「a」を配置します。^[22]

参照

存在グラフ（チャールズ・サンダース・パース著）
論理接続詞
情報図
マルカン図（さらに派生してヴィーチ図とカルノー図）
球状八面体- 正八面体の立体投影により、3 つの直交する大円がそれぞれ空間を 2 つに分割する 3 セットのベン図が作成されます。
スタンホープデモンストレーター
3つの円モデル
トリケトラ
ベシカ・ピシス
アップセットプロット

注記

^ オイラーの『Lettres à une Princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie』 [さまざまな物理的および哲学的主題についてのドイツ王女への手紙] (サンクトペテルブルク、ロシア: l'Academie Impériale des Sciences、1768 年)、第 2 巻、 95〜126ページ。しかし、ヴェンの論文では、図式的な考え方はオイラーよりも古く、クリスティアン・ヴァイゼまたはヨハン・クリスティアン・ランゲによるものであると示唆している（ランゲの著書『Nucleus Logicae Weisianae』（1712年））。

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

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ルイス・キャロルの論理ゲーム - Cut-the-knotでのベン図対オイラー図
三角形で作られたベン図6セット
インタラクティブな 7 セットのベン図
VBVenn は、定量的な 2 つの円のベン図を計算してグラフ化する無料のオープンソースプログラムです。
InteractiVenn、ベン図を視覚化するウェブベースのツール
DeepVenn、面積比例ベン図を作成するツール

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例

歴史