数学的視覚化

数学的現象は、視覚化を通じて理解し、探求することができます。古典的には、視覚化は 2 次元の図面や 3 次元モデル (特に 19 世紀から 20 世紀初頭の石膏模型) の作成で構成されていました。対照的に、今日では、静的な 2 次元または 3 次元の図面、アニメーション、または対話型プログラムを作成するためにコンピューターを使用することが最も一般的です。数学を視覚化するプログラムを作成することは、計算幾何学の一側面です。

数学的視覚化は数学全般にわたって利用されていますが、特に幾何学や解析学の分野で利用されています。注目すべき例としては、平面曲線、空間曲線、多面体、常微分方程式、偏微分方程式（特に流体力学や石鹸膜などの極小曲面における数値解）、等角写像、フラクタル、カオスなどが挙げられます。

幾何学は、形状の大きさ、角度、寸法、比率の研究と定義できます^[1]

複素解析では、複素平面の関数は本質的に 4 次元ですが、より低次元の視覚表現への自然な幾何学的投影はありません。代わりに、ドメインカラーリングなどの手法を使用して、色覚を利用して次元情報をキャプチャします。

鮮明な「心の目」を持つ人は多いが、英国の科学者チームは何千万人もの人がイメージを思い浮かべることができないということを発見した。心の中のカメラがない状態はアファンタジアと呼ばれ、さらに何百万人もの人がハイパーファンタジアと呼ばれる異常に強い心のイメージを体験している。研究者たちは、脳の配線の変化によってこの 2 つの症状がどのように生じるのかを研究している。

視覚化は、多面体分解が結び目の被覆空間のホモロジーを計算するために使用されていた、位相的結び目理論の始まりにおいて重要な役割を果たしました。すべての閉じた有向 2 次元多様体を分類するために使用された物理的に不可能なリーマン面を3 次元に拡張し、Heegaard の 1898 年の論文は、2 つの複素変数の関数の類似構造を「検討」し、ユークリッド 6 次元空間 (関数 f=x^2-y^3 に対応) の仮想 4 次元面を (重複度を使用して) 立体的に 3 次元球面に投影しました。1920 年代に Alexander と Briggs はこの手法を使用して、8 交点以下の結び目の巡回分岐被覆のホモロジーを計算し、それらをすべて互いに (および非結び目から) うまく区別しました。 1932 年までに、ライデマイスターはこれを 9 交差に拡張し、非循環結び目カバーの分岐曲線間のリンク番号に依存しました。これらの想像上のオブジェクトが「実在」しないという事実は、結び目が区別できることを証明するための有用性の妨げにはなりません。これは、リトルの 1899 年の 10 交差結び目の表で重複する結び目タイプを 1973 年にペルコが発見する鍵となりました。

順列群には、その構造を説明するのに役立つ要素の優れた視覚化があります。たとえば、2p 位の二面体群を構成する回転および反転された正 p 角形などです。これらは、結び目とリンクの二面体被覆空間の分岐曲線間のリンク数の関係を「見る」ために使用できます。^[3]

スティーブン・ウルフラムのセルオートマトンに関する著書『A New Kind of Science』（2002年）は、数学の分野で出版された書籍の中で最も視覚的な内容が強い本の一つである。この本は視覚的な要素が強すぎて、正式な意味を持たない図で多くの情報が伝えられていると批判されてきた。^[5]

• 紀元前 1046 年から紀元前 256 年にかけて書かれた中国の文献『周壁算経』に見られるピタゴラスの定理の証明のように、言葉を使わない証明は古代から存在していました。
• クレプシュ対角面は、立方体表面上の 27 本の直線を示します。

• 球の反転、つまり球を 3 次元で内側にひっくり返して、ねじれなく通過させることができるという現象は、驚くべき直感に反する結果であり、当初は抽象的な手段で証明され、後に最初は図面で、後にコンピュータ アニメーションでグラフィカルに実証されました。

雑誌「アメリカ数学会の通知」の表紙には、定期的に数学的な視覚化が掲載されています。

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