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数学において、四色定理、または四色地図定理は、隣接する2つの領域が同じ色にならないように地図の領域を着色するのに必要な色は4色以下であることを述べている。隣接とは、2つの領域がゼロでない長さの共通の境界を共有することを意味する（つまり、3つ以上の領域が交わる角だけではない）。[ 1 ]これは、コンピュータを使用して証明された最初の主要な定理であった。当初、この証明は、コンピュータ支援による証明を人間が手作業で確認することが不可能であったため、すべての数学者に受け入れられたわけではなかった。[ 2 ]その後、この証明は広く受け入れられるようになったが、いくつかの留保事項は残っている。[ 3 ]
この定理は、より強力な五色定理であり、はるかに簡単な議論で証明できる。より弱い五色定理は1800年代にはすでに証明されていたが、四色定理は1976年にケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンがコンピュータ支援による証明を行うまで、なかなか証明されなかった。これは、それまでの数十年間に多くの誤った証明や誤った反例が提示された後のことだった。
アペル＝ハーケンの証明は、特定の性質を持つ写像の例である「還元可能な構成」を多数分析することによって進められます。これは1997年にロバートソン、サンダース、シーモア、トーマスによって改良され、そのような構成の数を633にまで減らすことに成功しましたが、それでもなお非常に長いケース分析です。2005年には、ジョルジュ・ゴンティエが汎用定理証明ソフトウェアを使用してこの定理を検証しました。
地図の彩色も、領域間の隣接関係を表す平面グラフのグラフ彩色を構築するという観点から、グラフ理論の観点から表現することができる。グラフ理論の観点から言えば、この定理は、ループのない平面グラフに対して、、 で表すその色数、。
これが意味を持つためには、四色定理の直感的な記述――「平面を隣接する領域に分割した場合、隣接する2つの領域が同じ色にならないように、最大で4色を使用して領域を着色することができる」――を適切に解釈する必要がある。
まず、領域は境界線を共有している場合に隣接しているとみなされます。境界点のみを共有する2つの領域は隣接しているとはみなされません。（そうでない場合、円グラフの形状をした地図では、共通の角で互いに「隣接」する領域が任意に多くなり、結果として任意に多くの色が必要になります。）次に、面積は有限だが周囲が無限に長いといった奇妙な領域は認められません。そのような領域を含む地図では、4色以上が必要になる場合があります。[ 4 ] (安全のため、境界が有限個の直線セグメントで構成される領域に限定することができます。領域が飛び地、つまり1つ以上の他の領域を完全に囲んでいる領域を持つことは許容されます。) 「連続した領域」（厳密には、平面の連結した開部分集合）の概念は、通常の地図上の「国」の概念と同じではないことに注意してください。国は必ずしも連続している必要はなく、アンゴラのカビンダ州、アゼルバイジャンのナヒチェヴァン自治共和国、ロシアのカリーニングラード州、フランスの海外領土、アメリカ合衆国のアラスカ州のように、飛び地を持つ場合があります。国の領土全体に同じ色を付ける必要がある場合、4色では必ずしも十分ではありません。たとえば、簡略化された地図を考えてみましょう。
この地図では、Aとラベル付けされた2つの地域は同じ国に属しています。これらの地域に同じ色を付けたい場合、2つのA地域は合わせて他の4つの地域に隣接しており、それぞれの地域は他のすべての地域に隣接しているため、5つの色が必要になります。
この定理をより簡潔に表現するには、グラフ理論を用いる。地図の領域の集合は、各領域に頂点を持ち、境界セグメントを共有する領域のペアごとに辺を持つ無向グラフとして、より抽象的に表現できる。このグラフは平面グラフである。つまり、各頂点を対応する領域内の任意の位置に配置し、ある領域の頂点から共有境界セグメントを横切って隣接する領域の頂点へと至る交差のない曲線として辺を描くことで、平面上に交差なく描画できる。逆に、この方法で地図から任意の平面グラフを形成できる。グラフ理論の用語では、4色定理は、すべての平面グラフの頂点は最大4色で着色でき、隣接する2つの頂点が同じ色にならないこと、つまり、すべての平面グラフは4色で着色可能であることを述べている。[ 5 ]
知られている限りでは、[ 6 ]この予想は1852年10月23日に初めて提唱された[ 7 ]。フランシス・ガスリーがイングランドの郡の地図に色を塗ろうとしていたとき、必要な色は4色だけであることに気づいた。当時、ガスリーの弟フレデリックは、ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジでオーガスタス・ド・モーガン（フランシスの元指導教官）の教え子だった。フランシスはフレデリックにこの件について尋ね、フレデリックはそれをド・モーガンに伝えた。（フランシス・ガスリーは1852年後半に卒業し、後に南アフリカで数学の教授になった。）ド・モーガンによれば、
今日、私の教え子の一人[ガスリー]が、私が事実だと知らなかった事実の理由を教えてほしいと頼んできた。そして今も知らない。彼は、図形を何らかの方法で分割し、区画を異なる色で塗り分け、共通の境界線の一部を持つ図形が異なる色で塗られる場合、4色は必要かもしれないがそれ以上は必要ない、という。以下は、4色が必要な彼の例である。5色以上が必要であるという疑問は、作り出すことはできないだろうか... [ 8 ]
おそらく2人のガスリーのうちの1人である「FG」は、1854年に『アテネウム』誌にこの問題を掲載し[ 9 ]、デ・モーガンは1860年に同じ雑誌で再びこの問題を提起した[ 10 ]。アーサー・ケイリーによる別の初期の出版物（1879年）では、この推測はデ・モーガンによるものとされている。
この定理を証明しようとする初期の試みは何度か失敗に終わった。ド・モルガンは、この定理は4つの領域に関する単純な事実から導かれると考えていたが、その事実がより基本的な事実から導き出せるとは考えていなかった。
これは次のようにして生じる。近隣に4つの色が必要になるのは、4つの郡があり、それぞれの郡が他の3つの郡と境界線を共有している場合に限られる。4つの地域でそのようなことは、そのうちの1つ以上が他の地域に囲まれていない限り起こり得ない。そして、囲まれた郡に使用されている色は、このようにして自由に使用できる。さて、4つの地域が囲い込みなしに他の3つの地域すべてと共通の境界を持つことはできないというこの原理は、これ以上明白で基本的なものに基づいて証明できるものではないと我々は確信しており、これは公理として存在しなければならない。[ 10 ]
1879年にアルフレッド・ケンプが提示した証明は広く称賛された[ 11 ] 。もう1つの証明は1880年にピーター・ガスリー・テイトが提示した。ケンプの証明がパーシー・ヒーウッドによって誤りであることが示されたのは1890年になってからであり、テイトの証明が誤りであることが示されたのは1891年、ジュリアス・ピーターセンによってである。それぞれの誤った証明は11年間異議を唱えられることなく存在していた[ 12 ] 。
1890年、ヒーウッドはケンプの証明の欠陥を明らかにしただけでなく、5色定理を証明し、4色予想を任意の種数の曲面に一般化した。[ 13 ]
テイトは1880年に、4色定理は、ある種のグラフ（現代の用語ではスナークと呼ばれる）が非平面でなければならないという主張と同等であることを示した。[ 14 ]
1943年、ヒューゴ・ハドウィガーはハドウィガー予想[ 15 ]を提唱した。これは4色問題の広範な一般化であり、未だ解決されていない。
1960年代から1970年代にかけて、ドイツの数学者ハインリヒ・ヘーシュは、証明を探すためにコンピュータを使用する方法を開発した。特に、彼は定理の証明に放電法を初めて用いた人物であり、これは後にアペル・ハーケンの証明の不可避性の部分で重要となった。彼はまた、還元可能性の概念を拡張し、ケン・デュレと共に、そのコンピュータテストを開発した。残念ながら、この重要な局面で、彼は研究を続けるために必要なスーパーコンピュータの時間を確保することができなかった。[ 16 ]
他の研究者も彼の手法、特にコンピュータ支援によるアプローチを取り入れた。他の数学者チームが証明を完成させようと競い合っている中、イリノイ大学のケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンは、1976年6月21日に定理を証明したと発表した[ 17 ] 。彼らはアルゴリズム作業の一部でジョン・A・コッホの支援を受けた[ 18 ]。
4色予想が偽であれば、5色を必要とする最小の領域数を持つ地図が少なくとも1つ存在するはずである。証明では、2つの技術的概念を用いることで、そのような最小の反例は存在しないことが示された。[ 19 ]
アペルとハーケンは、可約な配置の性質に基づく数学的な規則と手順を用いて、不可避な可約な配置の集合を発見し、それによって4色予想に対する最小反例が存在し得ないことを証明した。彼らの証明は、可能なマップの無限を1,834個の可約な配置（後に1,482個に削減）に削減し、コンピュータで1つずつチェックする必要があり、1,000時間以上かかった。この可約性の部分は、異なるプログラムとコンピュータで独立して二重チェックされた。しかし、証明の不可避性の部分は、400ページを超えるマイクロフィッシュで検証され、ハーケンの娘ドロテア・ブロシュタインの助けを借りて手作業でチェックする必要があった。[ 20 ]
アペルとハーケンの発表は世界中のニュースメディアで広く報道され[ 21 ] 、イリノイ大学の数学科は「4色で十分」と書かれた消印を使用した[ 22 ]。同時に、この証明の異例な性質（大規模なコンピュータ支援によって証明された最初の主要な定理であった）と、人間が検証可能な部分の複雑さは、かなりの論争を引き起こした[ 23 ] 。すべての数学者が、コンピュータによる実証が真の証明として認められるとは考えていなかった。イアン・スチュワートのように認めた者でさえ、この証明は既成事実として出てきて構造に欠けるため、満足のいくものではないと感じた。「答えは一種の途方もない偶然のように見える」とスチュワートは書いた。HSMコクセターは「この証明を、普通の証明とみなせるものに分解できる人はほとんどいないだろう」と考えた[ 24 ] 。
1980 年代初頭、アペルとハーケンの証明に欠陥があるという噂が広まった。アーヘン工科大学のウルリッヒ・シュミットは、1981 年に発表された修士論文でアペルとハーケンの証明を検証していた。 [ 25 ]彼は不可避性の約 40% をチェックし、放電手順に重大な誤りがあることを発見した(アペル&ハーケン 1989 ) 。1986 年、アペルとハーケンはMathematical Intelligencerの編集者から、彼らの証明に欠陥があるという噂に対処する記事を書くように依頼された。彼らは、噂は「[シュミットの] 結果の誤解」によるものだと答え、詳細な記事を執筆した。[ 25 ]彼らの代表作である、完全かつ詳細な証明 (400 ページを超えるマイクロフィッシュ補足付き) を主張する書籍、Every Planar Map is Four-Colorable は1989 年に出版された。それはシュミットが発見した誤りだけでなく、他の人が発見したいくつかの誤りも説明し、訂正した。[ 20 ]
定理の証明以来、新しいアプローチにより、4色マップの証明がより短くなり、アルゴリズムもより効率的になりました。1996年、Neil Robertson、Daniel P. Sanders、Paul Seymour、Robin Thomasは、AppelとHakenの証明に基づく4次アルゴリズムを改良した2次アルゴリズム（nは頂点の数で、O ( n² )の時間しか必要としない）を作成しました。[ 26 ]同じアイデアに基づく新しい証明は、AppelとHakenの証明に似ていますが、問題の複雑さを軽減し、633個の還元可能な構成のみをチェックする必要があるため、より効率的です。この新しい証明の不可避性と還元可能性の部分は、コンピュータで実行する必要があり、手作業でチェックするのは非現実的です。[ 27 ] 2001年、同じ著者らは、スナーク予想を証明することで、別の証明を発表しました。[ 28 ]しかし、この証明は未発表のままである。
2005年、ベンジャミン・ヴェルナーとジョルジュ・ゴンティエは、 Coq証明支援システム内で定理の証明を形式化した。これにより、特定のケースを検証するために使用されるさまざまなコンピュータプログラムを信頼する必要がなくなり、Coqカーネルだけを信頼すればよくなった。[ 29 ]
以下の議論は、『すべての平面地図は4色で彩色可能である』（Appel & Haken 1989 ）の序論に基づいた要約である。ケンペによる4色定理の証明とされる当初の方法は、欠陥はあるものの、後にその証明に用いられる基本的なツールの一部を提供した。ここでの説明は、上記の現代グラフ理論の定式化に基づいて言い換えられている。
ケンペの議論は次のとおりである。まず、グラフによって区切られた平面領域が三角形分割されていない場合（つまり、境界にちょうど3つの辺がない場合）、新しい頂点を導入せずに辺を追加することで、境界のない外側の領域を含め、すべての領域を三角形にすることができる。この三角形分割されたグラフが4色以下で彩色可能であれば、元のグラフも同様に彩色可能である。なぜなら、辺を削除した場合も同じ彩色が有効だからである。したがって、三角形分割されたグラフに対して4色定理を証明すれば、すべての平面グラフに対してそれを証明するのに十分であり、一般性を失うことなく、グラフは三角形分割されていると仮定する。
v、e、fをそれぞれ頂点、辺、領域 (面) の数とします。各領域は三角形で、各辺は 2 つの領域で共有されているため、2 e = 3 fとなります。これとオイラーの公式v − e + f = 2 を組み合わせると、 6 v − 2 e = 12となります。次に、頂点の次数は、それに隣接する辺の数です。v nを次数nの頂点の数、D を任意の頂点の最大次数とすると、
しかし、12 > 0 であり、すべてのi ≥ 6 に対して 6 − i ≤ 0 であることから、次数が 5 以下の頂点が少なくとも 1 つ存在することがわかります。
5 色を必要とするグラフがある場合、任意の頂点を削除することで 4 色で彩色できる最小のグラフが存在します。このグラフをGとします。すると、Gには次数が 3 以下の頂点は存在しません。なぜなら、d ( v ) ≤ 3 の場合、 Gからv を削除し、より小さなグラフを 4 色で彩色した後、vを元に戻し、隣接する頂点とは異なる色を選択することで、4 色で彩色を拡張できるからです。
ケンペはまた、 Gには次数 4 の頂点が存在しないことを正しく示しました。前と同様に、頂点vを削除し、残りの頂点を 4 色で塗ります。v の 4 つの隣接頂点がすべて異なる色、たとえば時計回りに赤、緑、青、黄色の場合、赤と青の隣接頂点を結ぶ、赤と青で塗られた頂点の交互のパスを探します。このようなパスはケンペ チェーンと呼ばれます。赤と青の隣接頂点を結ぶケンペ チェーンが存在する可能性があり、緑と黄色の隣接頂点を結ぶケンペ チェーンが存在する可能性がありますが、両方が存在することはありません。なぜなら、これら 2 つのパスは必ず交差し、それらが交差する頂点は色付けできないからです。赤と青の隣接頂点が連鎖していないと仮定します。赤と青の交互のパスで赤の隣接頂点に接続されているすべての頂点を調べ、これらのすべての頂点の赤と青の色を反転します。結果は依然として有効な 4 色付けであり、v を元に戻して赤で塗ることができます。
これにより、 Gの頂点の次数が 5の場合のみが残りますが、この場合、ケンペの議論は不完全でした。ヒーウッドはケンペの間違いに気づき、また、5 色だけが必要であることを証明できれば満足であれば、上記の議論 (最小反例に 6 色が必要であることだけを変更) を実行し、次数 5 の状況でケンペの連鎖を使用して5 色定理を証明できることも指摘しました。
いずれにせよ、この次数 5 の頂点の場合に対処するには、頂点を削除するよりも複雑な概念が必要です。むしろ、議論の形式は、各頂点 (G 内) の次数が指定されているGの連結部分グラフである構成を考慮するように一般化されます。たとえば、次数 4 の頂点の状況で説明されているケースは、G内で次数 4 を持つとラベル付けされた単一の頂点からなる構成です。上記と同様に、構成が削除され、残りのグラフが 4 色で彩色されている場合、構成が再追加されたときに 4 色彩色をそれにも拡張できるように彩色を変更できることを示せば十分です。これが可能な構成は、還元可能な構成と呼ばれます。構成の集合のうち少なくとも 1 つが G 内のどこかで発生しなければならない場合、その集合は不可避と呼ばれます。上記の議論は、まず避けられない5つの構成（次数1の単一頂点、次数2の単一頂点、…、次数5の単一頂点）を示し、次に最初の4つが還元可能であることを示しました。このセット内のすべての構成が還元可能であるような避けられない構成のセットを示すことができれば、定理が証明されるでしょう。
Gは三角形であるため、構成内の各頂点の次数は既知であり、構成内部のすべての辺も既知であるため、与えられた構成に隣接するG内の頂点の数は固定されており、それらはサイクルで結合されます。これらの頂点は構成の環を形成します。環にk個の頂点を持つ構成はk環構成と呼ばれ、構成とその環を合わせて環付き構成と呼びます。上記の単純なケースと同様に、環のすべての異なる 4 色を列挙することができます。構成の色に変更を加えることなく拡張できる色は、初期的に良好と呼ばれます。たとえば、隣接が 3 以下である上記の単一頂点構成は、初期的に良好でした。一般に、環の色を良好なものにするには、周囲のグラフを体系的に再着色する必要があります。これは、隣接が 4 つある上記のケースで行われたようにです。より大きな環を持つ一般的な構成では、これにはより複雑な手法が必要です。環状構造には多数の異なる4色の組み合わせが存在するため、この工程はコンピュータの支援を必要とする最初のステップとなる。
最後に、この手順で削減可能な、避けられない構成のセットを特定する必要があります。そのようなセットを発見するために使用される主な方法は、放電法です。放電法の根底にある直感的な考え方は、平面グラフを電気ネットワークとして考えることです。最初は、正と負の「電荷」が頂点間に分配され、合計が正になります。
上記の公式を思い出してください。
次数を持つ各頂点初期料金が割り当てられる。次に、一連の規則に従って電荷をある頂点から隣接する頂点に系統的に再分配することにより、電荷を「流す」。これが放電手順である。総電荷は最初は正（12）であり、電荷は保存されるため、いくつかの頂点は依然として正の電荷を持つ。規則は正に帯電した頂点の配置の可能性を制限するため、そのような可能な配置をすべて列挙すると、避けられない集合が得られる。
不可避集合のいずれかの要素が還元不可能である限り、その要素を排除するように（同時に他の構成を導入しながら）除去手順が修正される。アペルとハーケンの最終的な除去手順は非常に複雑で、結果として得られる不可避構成集合の説明と合わせて400ページにも及ぶ大著となったが、生成された構成は機械的に還元可能であることが確認できた。不可避構成集合自体を記述したこの大著の検証は、数年にわたる査読によって行われた。
ここで議論されていないが証明を完成させるために必要な技術的な詳細として、浸漬還元可能性がある。
四色定理は、その長い歴史の中で数多くの誤った証明や反証を引き寄せてきたことで悪名高い。当初、ニューヨーク・タイムズは方針として、アペル＝ハーケンの証明を報道することを拒否した。それは、その証明が以前の証明と同様に誤りであることが示されることを恐れたためである。[ 21 ]上記のケンペやテイトの証明のように、一部の証明は10年以上も世間の精査にさらされた後、反駁された。しかし、アマチュアによって書かれた多くの証明は、決して公表されることはなかった。
一般的に、最も単純ではあるものの無効な反例は、他のすべての領域に接する一つの領域を作成しようとするものです。これにより、残りの領域は3色のみで着色せざるを得なくなります。四色定理が正しいので、これは常に可能ですが、地図を描く人は一つの大きな領域にばかり注目しているため、残りの領域も実際には3色で着色できることに気づかないのです。
この手法は一般化できる。多くの地図では、あらかじめ一部の領域の色を選択すると、残りの領域を4色以内に塗り分けることが不可能になる。反例を検証する人は、これらの領域の色を変更することを思いつかないかもしれないため、反例が正しいように見えてしまう。
このよくある誤解の根底にある要因の一つは、色の制約が推移的ではないという事実にあるのかもしれません。つまり、ある領域は、直接接する領域とは異なる色で着色されていればよく、その領域が接する領域に接する領域とは異なる色で着色されていればよいのです。もし推移的制約であれば、平面グラフには無限に多くの色が必要になるでしょう。
その他の誤った反証は、複数の分離した部分からなる領域を使用したり、同じ色の領域が一点で接することを許さなかったりするなど、定理の前提条件に違反している。
すべての平面マップは4色で着色できますが、任意の平面マップが3色だけで着色できるかどうかを判定することはNP完全問題です。 [ 30 ]
立方体の地図は、各内部領域が偶数個の隣接領域を持つ場合に限り、3色だけで着色できます。[ 31 ]米国の州の地図の例では、内陸のミズーリ州(MO) は 8 つの隣接州 (偶数) を持ちます。ミズーリ州はそれらすべてとは異なる色で着色する必要がありますが、隣接州は交互に色を付けることができるため、この地図の部分には 3 色しか必要ありません。しかし、内陸のネバダ州(NV) は 5 つの隣接州 (奇数) を持ちます。これらの隣接州には 3 色が必要であり、ネバダ州はそれらとは異なる色で着色する必要があるため、ここでは 4 色が必要です。
4色定理は、有限平面グラフだけでなく、平面上で交差なく描画できる無限グラフ、さらに一般的には、すべての有限部分グラフが平面グラフである無限グラフ（頂点数が非可算の場合もある）にも適用されます。これを証明するには、有限平面グラフに対する定理の証明と、無限グラフのすべての有限部分グラフがk彩色可能であれば、グラフ全体もk彩色可能であるというDe Bruijn–Erdősの定理（Nash-Williams 1967 ）を組み合わせることができます。これは、無限グラフの彩色可能性を論理式の集合で表現するだけで、一階述語論理に対するKurt Gödelのコンパクト性定理の直接的な帰結と見なすこともできます。
平面以外の曲面における彩色問題も検討することができる。[ 32 ]球面や円柱上の問題は、平面上の問題と同等である。正の種数を持つ閉じた（向き付け可能な、または向き付け不可能な）曲面の場合、必要な色の最大数p は、曲面のオイラー標数χに依存する。クラインの壺を除いて、式は次のようになる。 ここで、最も外側の括弧は床関数を表します。
向き付け可能な曲面の場合、これはpがその曲面の 種数gを用いて表されることを意味する。
最上位の公式であるヒーウッド予想は、1890年にPJヒーウッドによって提唱され、数名の貢献を経て、 1968年にゲルハルト・リンゲルとJWTヤングスによって証明されました。この公式の唯一の例外はクラインの壺で、オイラー標数χ = 0（したがって公式ではp = 7となる）ですが、 1934年にフィリップ・フランクリンによって示されたように、6色しか必要としません。
例えば、トーラスのオイラー標数χは0（種数gは1）であり、したがってpは7となるため、トーラス上の任意の地図を彩色するのに必要な色数は7色以下である。この上限値7は厳密な値であり、シラッシ多面体のような特定のトーラス多面体では7色が必要となる。
メビウスの帯には 6 色が必要であり( Tietze 1910 ) 、 1-平面グラフ(各辺につき最大 1 つの単純な交差で描画されるグラフ) も同様である( Borodin 1984 )。平面グラフの頂点と面の両方が、隣接する 2 つの頂点、面、または頂点と面のペアが同じ色にならないように着色されている場合、やはり最大 6 色しか必要とされない( Borodin 1984 )。
実射影平面のオイラー標数はχ = 1であり、式からp = 6となるため、6色以上は必要ありません。
頂点が 2 つの異なる曲面上の点のペアとして表され、辺が 2 つの曲面の 1 つ上の交差しない曲線として描かれているグラフの場合、彩色数は少なくとも9であり、最大で12ですが、より正確な境界は知られていません。これはゲルハルト・リンゲルの地球-月問題です。[ 33 ]
色付け結果を3次元の立体領域に拡張することは容易ではない。n本の折り畳まれた棒のセットを使用することで、すべての棒が他のすべての棒に接するように配置することができる。この場合、セットにはn色が必要となる。空隙（これもすべての棒に接している）を含めるとn +1色となる。nは任意の整数で、必要なだけ大きくすることができる。このような例は1880年にフレデリック・ガスリーに知られていた。[ 34 ]軸平行直方体（2つの直方体は2次元境界面を共有している場合、隣接しているとみなされる）の場合でも、無限の数の色が必要になる可能性がある。[ 35 ]
ドロール・バー・ナタンは、リー代数とヴァシリエフ不変量に関する声明を発表したが、これは四色定理と同等である。[ 36 ]
国の政治地図に色を付けるという動機にもかかわらず、この定理は地図製作者にとって特に興味深いものではありません。数学史家のケネス・メイの記事によると、「4色のみを使用する地図はまれであり、使用する場合でも通常は3色しか必要としません。地図製作や地図製作の歴史に関する書籍には、4色の性質については言及されていません」。[ 37 ]また、この定理は、同じ国の非隣接地域（飛び地であるアラスカとアメリカ合衆国の残りの地域など）を同じ色で着色するという通常の地図製作上の要件を保証するものでもありません。[ 38 ] 4色定理は地図上の地域が隣接していない場合には適用されないため、世界地図にも適用されません。世界地図では、オランダがサン・マルタン島でフランスと隣接しているため、海、ベルギー、ドイツ、オランダ、フランスはすべて互いに隣接しています。
また、すべての水域に国に使用できない同じ色（例えば青）を与える必要がある場合、この定理は適用できません。その場合、ヨーロッパの地図自体が4色で塗り分けることができません。フランス、ドイツ、ベルギーは互いに国境を接しているため、それぞれ3つの異なる色を割り当てなければならず、合計で4色を使用します。フランスとオランダは同じ色にすることができますが、ルクセンブルクには5番目の色が必要です。[ 39 ]
