精度（統計）

統計学では、精度行列または集中行列は、共分散行列または分散行列の逆行列です。${\displaystyle P=\Sigma ^{-1}}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}単変量分布 の場合、精度行列は分散の逆数として定義されるスカラー精度に退化します。${\displaystyle p={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$[ ^{4 ]​}

統計的ばらつきのその他の要約統計量には、精度（または不精度^{[ 5 ] [ 6 ]} ）とも呼ばれ、標準偏差の逆数が含まれます。${\displaystyle p={\frac {1}{\sigma }}}$[ ^{3 ]} 標準偏差自体と相対標準偏差、^{[ 7 ]}標準誤差^{[ 8 ]}、信頼区間（またはその半幅、誤差範囲）^{[ 9 ]} も含まれる^。

精度行列の特定の用途の 1 つは、多変量正規分布のベイズ分析の文脈です。たとえば、Bernardo と Smith は、いくつかの簡略化が生じるため、共分散行列ではなく精度行列で多変量正規分布をパラメータ化することを好みます。^{[ 10 ]}たとえば、事前分布と尤度の両方がガウス形式であり、これらの両方の精度行列が存在する場合 (共分散行列がフルランクであり、したがって可逆であるため)、事後分布の精度行列は、事前分布と尤度の精度行列の単純な合計になります。

エルミート行列の逆行列として、実数値確率変数の精度行列は、存在する場合、正定値かつ対称行列となる。

精度行列が役立つもう1つの理由は、2次元の場合${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$多変量正規分布の要素が条件付き独立である場合、${\displaystyle ij}$そして${\displaystyle ji}$精度行列の要素は${\displaystyle 0}$これは、多くの次元が条件付き独立である場合、精度行列は疎行列になりがちであることを意味し、その結果、精度行列を扱う際の計算効率が向上する可能性があります。また、精度行列は偏相関の概念と密接に関連していることも意味します。

一般化最小二乗法では、通常の最小二乗法と比較して、精度行列が中心的な役割を果たします。${\displaystyle P}$は単位行列であり、重み付き最小二乗法では、${\displaystyle P}$は対角行列です（重み行列）。

この意味での精度（「mensura praecisionis observum」）という用語は、ガウスの著作（1809 年）「Theoria motus corporum coelestium in Sectionibus conicis solem ambientium」（212 ページ）で初めて登場しました。ガウスの定義は現代の定義とは次の要因で異なります。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$彼は、精度のある正規分布の密度関数について次のように書いています。${\displaystyle h}$（標準偏差の逆数）

${\displaystyle \varphi \Delta ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-hh\Delta \Delta }.}$

どこ${\displaystyle hh=h^{2}}$（現代の指数表記を参照）。後にウィテカーとロビンソン（1924）は「観測の計算」でこの量を（精度の）モジュラスと呼んだが、この用語は使われなくなった。^{[ 11 ]}