非確率行列

数学において、ユニタリ行列（ユニタリ確率行列とも呼ばれる）は、その要素が何らかのユニタリ行列の要素の絶対値の二乗である二重確率行列です。

大きさnの正方行列Bは、そのすべての要素が非負の実数で、各行と各列の合計が1である場合、二重確率的（または双確率的）である。ユニタリ行列Uが存在し、

${\displaystyle B_{ij}=|U_{ij}|^{2}{\text{ }}i,j=1,\dots ,n.\,}$

この定義は、直交確率行列の定義に類似しています。直交確率行列は、ある直交行列の要素の平方である二重確率行列です。すべての直交行列は必然的にユニタリ行列であるため、すべての直交確率行列は非確率行列でもあります。ただし、逆は真ではありません。まず、すべての 2 行 2 列の二重確率行列は非確率行列かつ直交確率行列ですが、 nが大きい場合はそうではありません。たとえば、次の二重確率行列を考えてみましょう。 ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle B={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}.}$

この行列は非確率的ではない。なぜなら、 Bの 2 つの列 (または行) の要素の平方根に等しい係数を持つ任意の 2 つのベクトルは、位相を適切に選択しても直交させることができないからである。 の場合、直交確率行列の集合は非確率行列の集合の適切な部分集合である。 ${\textstyle n>2}$

• 非確率行列の集合はすべての順列行列を含み、その凸包はすべての二重確率行列のバーコフ多面体である。
• この集合は 凸集合ではない。${\displaystyle n\geq 3}$
• なぜなら、 原始のモジュライ上の三角不等式の集合は、非線形弾性の必要十分条件であるからである ^[1]${\displaystyle n=3}$
• なぜなら、 非確率行列の集合は星型であり、任意の双確率行列Bの非確率性はそのJarlskog不変量の非負値によって暗示されるからである^[2]${\displaystyle n=3}$
• 二重確率行列のバーコフ多面体に対する単確率行列の集合の相対体積は ^{[3]である。}${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 8\pi ^{2}/105\approx 75.2\%}$
• 非確率性の明示的な条件は まだ知られていないが、Haagerupのアルゴリズムに基づいて非確率性を検証する数値的手法が存在する^[4]${\displaystyle n=4}$
• シュール＝ホーンの定理は、非確率行列の集合の次の「弱い凸性」特性と同等です。任意のベクトルに対して、集合は、ベクトルの要素のすべての順列によって得られるベクトルの集合の凸包です（ベクトルによって生成される順列多面体）。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$
• 非確率行列の集合の内部は空ではありません。およびの要素を持つユニタリ行列に対応する非確率行列はの内部点です。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}\subset \mathbb {R} ^{(n-1)^{2}}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U_{ij}=\delta _{ij}+{\frac {\theta -1}{n}}}$${\displaystyle |\theta |=1}$${\displaystyle \theta \neq \pm 1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$

• ベングトソン、インゲマール。オーサ・エリクソン。クス、マレク。タデイ、ヴォイチェフ。 Życzkowski、Karol (2005)、「Birkhoff's Polytope and Unistochastic Matrices、N = 3 and N = 4」、Communications in Mathematical Physics、259 (2): 307–324、arXiv : math/0402325、Bibcode :2005CMaPh.259..307B、土井:10.1007/s00220-005-1392-8。
• Bengtsson, Ingemar (2004-03-11). 「非確率的であることの重要性」. arXiv : quant-ph/0403088 .
• Karabegov, Alexander (2008-06-14). 「有限集合上のユニタリ行列とシンボルから二重確率行列へのマッピング」arXiv : 0806.2357。