リウヴィル場理論

スペクトル​$\displaystyle {\mathcal {S}}}$リウヴィル理論の は、ヴィラソロ代数のヴェルマ加群の対角結合である。

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}$そして${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$は、それぞれ左移動および右移動のヴィラソロ代数の表現として見なされる、同じヴェルマ加群を表す。共形次元${\displaystyle \Delta }$値を取る$\displaystyle \Delta \in {\tfrac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$運動量の観点から${\displaystyle \alpha }$相当する

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+iP\qquad {\text{ただし}}\qquad P\in \mathbb {R} _{+}.}$

反射関係は、運動量が自由理論における完全な直線ではなく、半直線上の値をとる理由となっている。

リウヴィル理論がユニタリーであるのは、${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$リウヴィル理論のスペクトルには真空状態は含まれません。真空状態は定義できますが、演算子積展開には寄与しません。

リウヴィル理論では、プライマリーフィールドは通常、共形次元ではなく運動量によってパラメータ化され、と表記されます。${\displaystyle V_{P}(z)}$両方の分野${\displaystyle V_{P}(z)}$そして${\displaystyle V_{-P}(z)}$表現の主要状態に対応する${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$、およびは反射関係によって関連付けられている。

${\displaystyle V_{P}(z)=R_{P}V_{-P}(z)\ ,}$

ここで反射係数は^{[ 1 ]}

${\displaystyle R_{P}=\pm \lambda ^{-2iP}{\frac {\Gamma (2ibP)\Gamma (2ib^{-1}P)}{\Gamma (-2ibP)\Gamma (-2ib^{-1}P)}}\ .}$

（看板は${\displaystyle +1}$もし${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$そして${\displaystyle -1}$それ以外の場合は、正規化パラメータ${\displaystyle \lambda }$（任意である。）

のために${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$3点構造定数はDOZZ式（Dorn–Otto ^{[ 2 ]}およびZamolodchikov–Zamolodchikov ^{[ 3 ]}の場合）で与えられる。

${\displaystyle C_{P_{1},P_{2},P_{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{-{\frac {Q}{2}}-i(P_{1}+P_{2}+P_{3})}\Upsilon _{b}'(0)\prod _{j=1}^{3}\Upsilon _{b}(-2iP_{j})}{\prod _{\pm ,\pm }\Upsilon _{b}({\frac {Q}{2}}+iP_{1}\pm iP_{2}\pm iP_{3})}}\ ,}$

特殊機能$\displaystyle \Upsilon _{b}}$これは一種の多重ガンマ関数です。

のために${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$3点構造定数は^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {C}}_{P_{1},P_{2},P_{3}}={\frac {\left[\beta ^{2(\beta +\beta ^{-1})}\lambda ^{-i}\right]^{{\frac {\beta ^{-1}-\beta }{2}}+P_{1}+P_{2}+P_{3}}\prod _{\pm ,\pm }\Upsilon _{\beta }({\frac {\beta +\beta ^{-1}}{2}}+P_{1}\pm P_{2}\pm P_{3})}{\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1})\prod _{j=1}^{3}\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1}+2P_{j})}}\ ,}$

どこ

${\displaystyle \beta =ib\in \mathbb {R} \ .}$

${\displaystyle N}$球面上の 点関数は、3 点構造定数と共形ブロックを用いて表現できる。${\displaystyle N}$-点関数にはいくつかの異なる表現がある可能性があります。それらが一致することは、4点関数の交差対称性に相当し、これは数値的に検証され^{[ 3 ] [ 4 ]}、解析的に証明されています^{[ 5 ] [ 6 ]。}

球面N点関数${\displaystyle \left\langle \prod _{j=1}^{N}V_{P_{j}}(z_{j})\right\rangle }$は有理型関数である${\displaystyle P_{j}}$。 のために${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$その極は${\displaystyle i\sum _{j=1}^{N}\epsilon _{j}P_{j}\in {\tfrac {N-2}{2}}Q+\mathbb {N} b+\mathbb {N} b^{-1}}$いかなる場合でも${\displaystyle \epsilon _{j}=\pm }$[ ^{7 ] （これらの極は、}一致しない場合は単純である。）${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$極は要因によるものです${\displaystyle {\frac {1}{\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1}+2P_{j})}}}$、そして場の再正規化によって除去することができる。

球面4点関数は^{[ 7 ]の下で共変的に変換する。}

${\displaystyle P_{1}\mapsto P_{\Sigma }\quad ,\quad P_{j}{\underset {j=2,3,4}{\mapsto }}P_{1}+P_{j}-P_{\Sigma }\quad {\text{with}}\quad P_{\Sigma }={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{4}P_{j}\ .}$

すなわち、この変革の下では、${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$、以下は不変です。

${\displaystyle \left(\prod _{j<k}|z_{j}-z_{k}|^{2P_{j}^{2}+2P_{k}^{2}}\right)\left(\prod _{j=1}^{4}{\frac {1}{\Upsilon _{b}(-2iP_{j})}}\right)\left\langle \prod _{j=1}^{4}V_{P_{j}}(z_{j})\right\rangle \ .}$

リウヴィル理論は球面上だけでなく、種数 の任意のリーマン面上にも存在する。${\displaystyle g\geq 1}$技術的には、これはトーラス1点関数のモジュラー不変性に相当します。共形ブロックと構造定数の顕著な同一性により、このモジュラー不変性特性は球4点関数の交差対称性から導き出すことができます。^{[ 8 ] [ 4 ]}

共形ブートストラップアプローチを使用すると、リウヴィル理論は、 ^{[ 1 ]}を満たす唯一の共形場理論であることが示されます。

• スペクトルは連続体であり、1を超える多重度は存在しない。
• 相関関数は解析的に以下に依存する${\displaystyle b}$そして勢い。

リウヴィル理論は局所作用によって定義される

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}$

どこ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$は、理論が定式化される2次元空間の計量であり、${\displaystyle R}$は、その空間のリッチスカラーであり、${\displaystyle \varphi }$リウヴィル場です。パラメータ${\displaystyle \lambda '}$（宇宙定数とも呼ばれる）は、パラメータと関連している。${\displaystyle \lambda }$相関関数に現れる

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}$

この動作に関連する運動方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}$

どこ${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$はラプラス・ベルトラミ演算子です。${\displaystyle g_{\mu \nu }}$はユークリッド距離であり、この式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

これはリウヴィル方程式と同等である。

円筒上にコンパクト化されると、リウヴィル場理論は世界線理論として等価に定式化できる。^{[ 9 ]}

複素座標系を使用する${\displaystyle z}$そしてユークリッド距離

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}$

エネルギー・運動量テンソルの成分は以下に従う

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

ゼロでない成分は

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}$

これら2つの構成要素のそれぞれが中心電荷を持つビラソロ代数を生成する

${\displaystyle c=1+6Q^{2}.}$

これら2つのビラソロ代数では、体${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$は共形次元を持つ主場である

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}$

理論が共形不変性を持つためには、場${\displaystyle e^{2b\varphi }}$アクションに現れるものは周辺的でなければならない、つまり等角次元を持つ必要がある

${\displaystyle \Delta (b)=1.}$

これは次の関係につながる

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

背景電荷と結合定数の間の関係。この関係が成り立つ場合、${\displaystyle e^{2b\varphi }}$実際には完全に限界的であり、この理論は共形不変である。

経路積分表現${\displaystyle N}$一次場の点相関関数は

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}$

この経路積分を定義し計算することは困難であった。経路積分表現では、リウヴィル理論が厳密な共形不変性を持つことは明らかではなく、相関関数が不変であることも明らかではない。${\displaystyle b\to b^{-1}}$そして反射関係に従います。それにもかかわらず、経路積分表現は、クーロンガス形式におけるドツェンコ・ファテエフ積分として、相関関数のいくつかの極での留数を計算するために使用でき、これが 1990 年代に DOZZ 公式が最初に推測された方法です。経路積分の厳密な確率的構成が発見されたのは 2010 年代になってからで、これにより DOZZ 公式^{[ 10 ]と共形ブートストラップ[ 6 ] [ 11 ]}の証明につながりました。

中心電荷と共形次元が関連する離散値に送られると、リウヴィル理論の相関関数は対角（Aシリーズ）ビラソロ最小モデルの相関関数に帰着する。^{[ 1 ]}

一方、中心電荷を1に近づけ、共形次元が連続性を保つ場合、リウヴィル理論はランケル・ワッツ理論に近づきます。ランケル・ワッツ理論は、運動量の関数として3点関数が解析的ではない連続スペクトルを持つ非自明な共形場理論（CFT）です。^{[ 12 ]}ランケル・ワッツ理論の一般化は、リウヴィル理論から次のような極限を取ることによって得られます。${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$^{[ 4 ]}したがって、${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$同じスペクトルを持つ2つの異なるCFTが知られている。1つは3点関数が解析的なリウヴィル理論、もう1つは3点関数が非解析的な別のCFTである。

リウヴィル理論は${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$量子ドリンフェルド・ソコロフ還元によるウェス・ズミノ・ウィッテンモデル。さらに、相関関数は${\displaystyle H_{3}^{+}}$モデル（ユークリッド版）${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$WZWモデル）は、リウヴィル理論の相関関数で表現できる。^{[ 13 ] [ 14 ]}これは2次元ブラックホールの相関関数についても同様である。${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$コセットモデル。^{[ 13 ]}さらに、リウヴィル理論とコセットモデルの間を連続的に補間する理論が存在する。${\displaystyle H_{3}^{+}}$モデル。^{[ 15 ]}

リウヴィル理論は、戸田場理論の最も単純な例であり、${\displaystyle A_{1}}$カルタン行列。より一般的な共形戸田理論は、リウヴィル理論の一般化と見なすことができ、そのラグランジアンは1つのボソンではなく複数のボソンを含む。${\displaystyle \varphi }$そして、その対称性代数はビラソロ代数ではなくW代数である。

リウヴィル理論は、2つの異なる超対称拡張を認める。${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$超対称リウヴィル理論と${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$超対称リウヴィル理論。^{[ 16 ]}

平坦な空間では、sinh-Gordonモデルは局所作用によって定義される。

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}$

対応する古典的な運動方程式はsinh-Gordon方程式である。このモデルは、リウヴィル理論の摂動と見なすことができる。弱結合領域におけるモデルの正確なS行列は既知である。${\displaystyle 0<b<1}$、そしてそれは の下で形式的に不変である${\displaystyle b\to b^{-1}}$しかし、モデル自体は不変ではないと主張されている。^{[ 17 ]}

2次元では、リウヴィル理論を用いてリウヴィル重力と呼ばれる量子重力理論を構築することができる。これはCGHSモデルやジャキウ・タイテルボイム重力と混同してはならない^{[ 18 ] [ 19 ]}。

2次元では、アインシュタイン・ヒルベルト作用は位相的であり、すなわちオイラー標数に比例する。しかしながら、量子化後、一般相対性理論はワイル異常のために位相的ではなくなる。計量の再スケーリングの下で​​は、${\displaystyle g\mapsto e^{\phi }g}$作用は不変であるが、関数積分尺度は不変ではなく、リウヴィル作用に比例する項が生じる。${\displaystyle \phi }$これにより、リウヴィル重力は、重力セクターのリウヴィル理論、ワイル不変性（ゲージ対称性とみなされる）のファデエフ・ポポフゴースト、および物質を記述する任意のCFTの積として構築される。ワイル異常を打ち消し、量子論が位相的であることを保証するためには、これらのCFTの中心電荷の合計がゼロでなければならない。^{[ 16 ]}

リウヴィル重力の観測量は相関数です。相関数は、積CFTの相関関数をモジュライで積分したものです。相関数は、ビラソロ最小弦などのいくつかの例で明示的に計算できます。^{[ 20 ]}固定オイラー標数での相関数は、重力定数のべき乗で展開したときの量子重力相関関数の係数です。

リウヴィル理論は、経路積分定式化において非臨界バージョンの理論を定式化しようとする場合に弦理論の文脈で現れる。^{[ 21 ]}この理論は、線形ダイラトンとタキオン背景を持つ2次元時空におけるボソン弦理論の記述としても現れる。線形ダイラトン背景におけるタキオン場の運動方程式は、指数関数解を取る必要がある。この背景におけるポリャコフ作用は、線形ダイラトンが背景電荷項を担い、タキオンが指数関数ポテンシャルを担うリウヴィル場理論と同一である。^{[ 22 ]}

リウヴィル理論と${\displaystyle c\geq 25}$、および特定の対数相関ランダムエネルギーモデル。^{[ 23 ]}これらのモデルは、対数的に相関のあるランダムポテンシャル内の熱粒子を記述します。2 次元では、このようなポテンシャルはガウス自由場と一致します。この場合、リウヴィル理論のプライマリ場間の特定の相関関数は、粒子のギブス測度の相関関数にマッピングされます。これは、2 次元ガウス自由場の極値統計に適用され、対数相関ランダムエネルギーモデル (2 次元およびそれ以上) の特定の普遍的な特性を予測することができます。

リウヴィル理論は、負曲率空間における三次元一般相対性理論、リーマン面の一様化問題、共形写像におけるその他の問題など、物理学や数学の他の分野と関連している。また、AGT対応によって、ある特定の四次元超共形ゲージ理論におけるインスタントン分配関数とも関連している。