CGHSモデル

カラン・ギディングス・ハーベイ・ストロミンガー（CGHS）モデルは、1つの空間次元と1つの時間次元における一般相対性理論の簡易モデルです。このモデルは、1992年にこのモデルに関する論文を発表したカーティス・カラン、スティーブン・ギディングス、ジェフリー・A・ハーベイ、アンドリュー・ストロミンガーにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]}

一般相対性理論は高度に非線形なモデルであり、そのため、その 3+1D バージョンは通常、詳細に分析するには複雑すぎます。3+1D 以上の次元では、伝播する重力波が存在しますが、2+1D や 1+1D では存在しません。2+1D では、一般相対性理論は局所的な自由度を持たない位相的場の理論となり、すべての 1+1D モデルは局所的に平坦です。しかし、ダイラトンを含む一般相対性理論の少し複雑な一般化により、2+1D モデルは混合伝播ダイラトン重力波を許容するモデルとなり、同時に 1+1D モデルは局所的に幾何学的に非自明になります。^{[ 2 ] [ 3 ]} 1+1D モデルは依然として伝播する重力 (またはダイラトン) の自由度を許容しませんが、物質場を追加すると、単純化されますが、依然として非自明なモデルになります。次元数が異なれば、ダイラトンと重力の結合は計量の共形スケーリングによって常に解消され、ジョルダンフレームをアインシュタインフレームに変換することができる。しかし、2次元ではそうはいかない。なぜなら、ダイラトンの共形重みが0になるからである。この場合の計量は、一般的な3+1次元の場合よりも解析解に適しやすい。そしてもちろん、0+1次元モデルでは空間が全く存在しないため、相対性理論の非自明な側面を捉えることはできない。

この種のモデルは、ブラックホール、その形成、FRW宇宙論モデル、重力特異点などを解として包含するのに十分な複雑さを保っています。物質場を持つこのようなモデルの量子化バージョンでは、高次元モデルと同様に、ホーキング放射も現れます。

非常に特殊な結合と相互作用の選択によって、CGHSモデルが導き出される。

$${\displaystyle S={\frac {1}{2\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {-g}}\left\{e^{-2\phi }\left[R+4\left(\nabla \phi \right)^{2}+4\lambda ^{2}\right]-\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(\nabla f_{i}\right)^{2}\right\}}$$

ここでgは計量テンソルであり、${\displaystyle \phi }$はダイラトン場、f _iは物質場、λ ²は宇宙定数です。特に、宇宙定数はゼロではなく、物質場は質量のない実スカラーです。

この特定の選択は古典的には積分可能ですが、厳密な量子解を得ることはできません。また、これは非臨界弦理論および高次元モデルの次元削減における作用でもあります。さらに、これはジャキウ・タイテルボイム重力やリウヴィル重力といった全く異なるモデルと区別する特徴でもあります。

物質場は因果構造にのみ結合し、光円錐ゲージではds ² = − e ^2ρ du,dvは単純な一般的な形式をとる。

${\displaystyle f_{i}\left(u,v\right)=A_{i}\left(u\right)+B_{i}\left(v\right)}$、

左移動と右移動の間の因数分解を伴う。

レイチャウドリ方程式は

${\displaystyle e^{-2\phi }\left(-2\phi _{,vv}+4\rho _{,v}\phi _{,v}\right)+f_{i,v}f_{i,v}/2=0}$そして

${\displaystyle e^{-2\phi }\left(-2\phi _{,uu}+4\rho _{,u}\phi _{,u}\right)+f_{i,u}f_{i,u}/2=0}$。

膨張は次のように変化する

${\displaystyle \left(e^{-2\phi }\right)_{,uv}=-\lambda ^{2}e^{-2\phi }e^{2\rho }}$、

指標は、

${\displaystyle 2\rho _{,uv}-4\phi _{,uv}+4\phi _{,u}\phi _{,v}+\lambda ^{2}e^{2\rho }=0}$。

物質による共形異常は、有効作用にリウヴィル項を誘起する。

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