カジダン・ルスティグ多項式

数学の表現論の分野において、カジュダン・ルスティグ多項式は、 デイヴィッド・カジュダンとジョージ・ルスティグ（1979）によって導入された積分多項式の族のメンバーである。これらは、特にリー群のワイル群となり得るコクセター群Wの 元y、w のペアによってインデックス付けされる。 ${\displaystyle P_{y,w}(q)}$

1978 年の春、カジダンとルスティグは、単零な共役類に関連する - 進コホモロジー群上の代数群のワイル群のシュプリンガー表現を研究していました。彼らは、複素数上のこれらの表現の新しい構成を発見しました (Kazhdan & Lusztig 1980a)。この表現には 2 つの自然な基底があり、これら 2 つの基底間の遷移行列は基本的にカジダン - ルスティグ多項式によって与えられます。実際のカジダン - ルスティグ多項式の構成はより初歩的です。カジダンとルスティグはこれを使用して、コクセター群とその表現のヘッケ代数の標準基底を構築しました。 ${\displaystyle \ell }$

カジダンとルスティグは最初の論文で、彼らの多項式がシューベルト多様体の局所ポアンカレ双対性の破綻に関連していると述べた。カジダンとルスティグ（1980b）では、彼らはマーク・ゴレスキーとロバート・マクファーソンの交差コホモロジーの観点からこれを再解釈し、特定の交差コホモロジー群の次元の観点からそのような基底の別の定義を与えた。

シュプリンガー表現の2つの基底は、カジダンとルスティグに、ヴェルマ加群と単純加群によって与えられる、半単純リー代数の特定の無限次元表現のグロタンディーク群の2つの基底を思い出させた。この類推と、包絡代数の原始イデアルをワイル群の表現に関連付けたイェンス・カーステン・ヤンツェンとアンソニー・ジョセフの研究は、カジダン-ルスティグ予想につながった。

生成集合Sを持つコクセター群W を固定し、元wの長さ（ Sの元の積としてw を表す式の最小の長さ）を と書きます。Wのヘッケ代数は、環 上の元の基底を持ち、乗法は次のように定義されます。 ${\displaystyle \ell (w)}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{y}T_{w}&=T_{yw},&&{\mbox{if }}\ell (yw)=\ell (y)+\ell (w)\\(T_{s}+1)(T_{s}-q)&=0,&&{\mbox{if }}s\in S.\end{aligned}}}$

二次の2番目の関係は、各生成元T _sが Hecke 代数で逆であること、つまり逆T _s ⁻¹ = q ⁻¹ T _s + q ⁻¹ − 1であることを意味します。これらの逆は、関係( T _s ⁻¹ + 1)( T _s ⁻¹ − q ⁻¹ ) = 0 ( T _sの二次関係に−T _s ⁻² q ⁻¹を乗じて得られる) と、組み紐関係も満たします。このことから、Hecke 代数には、q ^1/2をq ^−1/2に、各T _{s を}T _s ⁻¹に写す自己同型Dがあることがわかります。より一般的には が成り立ち、D は反転であるとも見ることができます。 ${\displaystyle D(T_{w})=T_{w^{-1}}^{-1}}$

カジダン・ルスティグ多項式P _yw ( q )はWの元y、wのペアによってインデックス付けされ、次の特性によって一意に決定されます。

• これらは、 y ≤ w（WのBruhat 順序）でない限り 0 であり、y = wの場合は 1 であり、y < wの場合、次数は最大で ( ℓ ( w ) − ℓ ( y ) − 1)/2 です。
• 要素

${\displaystyle C'_{w}=q^{-{\frac {\ell (w)}{2}}}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}}$

はヘッケ代数の反転Dに対して不変である。要素はヘッケ代数の基底を- 加群として形成し、カジダン・ルスティヒ基底と呼ばれる。${\displaystyle C'_{w}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

カジダン・ルスティグ多項式の存在を証明するために、カジダンとルスティグは、 R _yw ( q )で表されるより基本的な多項式を用いて多項式P _yw ( q )を計算するための単純な再帰的手順を与えた。

${\displaystyle T_{y^{-1}}^{-1}=\sum _{x}D(R_{x,y})q^{-\ell (x)}T_{x}.}$

これらは再帰関係を使って計算できる。

${\displaystyle R_{x,y}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\not \leq y\\1,&{\mbox{if }}x=y\\R_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx<x{\mbox{ and }}sy<y\\R_{xs,ys},&{\mbox{if }}xs<x{\mbox{ and }}ys<y\\(q-1)R_{sx,y}+qR_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx>x{\mbox{ and }}sy<y\end{cases}}}$

カジダン・ルスティグ多項式は、次の関係式を使って再帰的に計算できる。

${\displaystyle q^{{\frac {1}{2}}(\ell (w)-\ell (x))}D(P_{x,w})-q^{{\frac {1}{2}}(\ell (x)-\ell (w))}P_{x,w}=\sum _{x<y\leq w}(-1)^{\ell (x)+\ell (y)}q^{{\frac {1}{2}}(-\ell (x)+2\ell (y)-\ell (w))}D(R_{x,y})P_{y,w}}$

左辺の2項は定数項のないq ^1/2とq ^−1/2の多項式であるという事実を利用しています。これらの公式は、階数が約3を超える場合、手作業で計算するのは面倒ですが、コンピュータには適しており、これらを使用して Kazhdan–Lusztig 多項式を計算する際の唯一の制限は、階数が大きい場合、このような多項式の数がコンピュータの記憶容量を超えてしまうことです。

• y ≤ wの場合、P _{y、w には}定数項 1 があります。
• y ≤ wかつℓ ( w ) − ℓ ( y ) ∈ {0, 1, 2}の場合、 P _{y , w} = 1です。
• w = w _{0 が}有限コクセター群の最長要素である場合、すべてのyに対してP _y、w = 1 となります。
• Wが Coxeter 群A ₁またはA ₂ (またはより一般的にはランクが 2 以下の任意の Coxeter 群) である場合、 P _{y , w は}y ≤ wの場合は 1 、それ以外の場合は 0 になります。
• W が、生成集合S = { a、b、c } を持ち、aとc が可換であるコクセター群A ₃である場合、 P _b、bacb = 1 + q および P _ac、acbca = 1 + qとなり、非定数多項式の例となります。
• 低階数群のカジダン・ルスティグ多項式の単純な値は、高階数群の典型ではない。例えば、E ₈の分割形式の場合、最も複雑なルスティグ・ヴォーガン多項式（カジダン・ルスティグ多項式の変形：下記参照）は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}152q^{22}&+3,472q^{21}+38,791q^{20}+293,021q^{19}+1,370,892q^{18}+4,067,059q^{17}+7,964,012q^{16}\\&+11,159,003q^{15}+11,808,808q^{14}+9,859,915q^{13}+6,778,956q^{12}+3,964,369q^{11}+2,015,441q^{10}\\&+906,567q^{9}+363,611q^{8}+129,820q^{7}+41,239q^{6}+11,426q^{5}+2,677q^{4}+492q^{3}+61q^{2}+3q\end{aligned}}}$

• Polo (1999) は、定数項 1 と非負の整数係数を持つ任意の多項式は、ある対称群のいくつかの要素のペアに対する Kazhdan-Lusztig 多項式であることを示しました。

カジュダン・ルスティグ多項式は、その標準基底とヘッケ代数の自然基底との間の遷移係数として生じる。Inventionsの論文では、現在カジュダン・ルスティグ予想として知られる 2 つの同等の予想も提示されており、これは多項式の 1 における値を複素半単純リー群とリー代数の表現と関連付け、表現論における長年の課題に取り組んでいる。

W を有限ワイル群とする。各 w ∈ Wに対して、最高重み− w ( ρ ) − ρのヴェルマ加群をM _wで表す。ここで ρ は正の根の半和 (またはワイルベクトル) である。また、その既約商、最高重み− w ( ρ ) − ρの単純最高重み加群をL _{wとする。M w}とL _{w は}両方とも、ワイル群Wを持つ複素半単純リー代数g上の局所有限重み加群であり、したがって代数指標を許容する。g加群Xの指標をch( X ) と表記する。カジダン-ルスティグ予想は次のように述べている。

${\displaystyle \operatorname {ch} (L_{w})=\sum _{y\leq w}(-1)^{\ell (w)-\ell (y)}P_{y,w}(1)\operatorname {ch} (M_{y})}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (M_{w})=\sum _{y\leq w}P_{w_{0}w,w_{0}y}(1)\operatorname {ch} (L_{y})}$

ここで、w _{0 は}ワイル群の最大長の元です。

これらの予想は、 Alexander BeilinsonとJoseph Bernstein  (1981) およびJean-Luc BrylinskiとMasaki Kashiwara (1981)によって、特性 0 の代数的閉体に対して独立に証明されました。証明の過程で導入された手法は、幾何学的表現理論 という名前で、1980 年代から 1990 年代にかけて表現理論の発展を導きました。

1. 2つの予想は同値であることが知られています。さらに、Borho-Jantzenの変換原理は、任意の支配的な積分重みλに対して、 w ( ρ ) − ρをw ( λ + ρ ) − ρに置き換えることができることを意味します。したがって、Kazhdan-Lusztig予想は、Bernstein-Gelfand-GelfandカテゴリOの任意の正則積分ブロック内のVerma加群のJordan-Hölder重複度を記述します。

2.カジダン・ルスティグ多項式のすべての係数の同様の解釈は、ヤンツェン予想から得られます。これは、大まかに言えば、P _y,wの個々の係数は、標準フィルタリング、つまりヤンツェンフィルタリングによって決定されるヴェルマ加群の特定の部分商におけるL _yの重複度であるということです。正則積分の場合のヤンツェン予想は、 BeilinsonとBernstein  (1993) の後の論文で証明されました。

3.デイヴィッド・ヴォーガンは、この推測の結果として、

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim(\operatorname {Ext} ^{\ell (w)-\ell (y)-2i}(M_{y},L_{w}))}$

また、Ext ^j ( M _y , L _w )は、 j + ℓ ( w ) + ℓ ( y )が奇数の場合にはゼロになるため、カテゴリOのすべてのそのようなExt 群の次元は、カジダン–ルスティグ多項式の係数によって決定されます。この結果は、有限ワイル群のカジダン–ルスティグ多項式の係数がすべて非負の整数であることを示しています。ただし、有限ワイル群Wの場合の正値は、予想に関係なく、交差コホモロジー群の次元としてのカジダン–ルスティグ多項式の係数の解釈からすでにわかっていました。逆に、カジダン–ルスティグ多項式と Ext 群の関係は理論的には予想を証明するために使用できますが、この証明方法は実行がより困難であることが判明しました。

4. カジュダン・ルスティグ予想の特殊なケースの中には、簡単に検証できるものもあります。たとえば、M ₁は反優勢な Verma 加群で、単純であることが知られています。これはM ₁ = L _{1であることを意味し、} w = 1 の場合の 2 番目の予想が成り立ちます。これは、和が 1 つの項に簡約されるからです。一方、w = w _{0の場合の最初の予想は、}ワイル指標式とVerma 加群の指標の式、およびすべてのカジュダン・ルスティグ多項式が 1 に等しいという事実から導かれます。 ${\displaystyle P_{y,w_{0}}}$

5. 柏原（1990）は、カズダン・ルスティグ予想の対称化可能なカッツ・ムーディ代数への一般化を証明した。

ブルーハ分解により、ワイル群Wを持つ代数群Gの空間G / Bは、 Wの元wによってパラメータ化されたアフィン空間X _wの互いに素な和集合となる。これらの空間X _wの閉包はシューベルト多様体と呼ばれ、カジダンとルスティグは、ドリーニュの示唆に従って、シューベルト多様体の交差コホモロジー群を用いてカジダン-ルスティグ多項式を表現する方法を示した。

より正確には、カジュダン・ルスティグ多項式P _{y , w} ( q )は次式に等しい。

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})}$

ここで、右辺の各項は、超ホモロジーがwのシューベルト多様体の交差ホモロジー（セルX _wの閉包）である層の複素 IC を取り、その次数2 iのコホモロジーを取り、次に、閉包がyのシューベルト多様体であるセルX _yの任意の点におけるこの層の茎の次元を取ることを意味します。奇数次元のコホモロジー群はすべてゼロであるため、合計には現れません。

これにより、有限ワイル群のカジダン・ルスティヒ多項式のすべての係数が非負の整数であることが初めて証明されました。

Lusztig–Vogan多項式（Kazhdan–Lusztig多項式またはKazhdan–Lusztig–Vogan多項式とも呼ばれる）は、LusztigとVogan（1983）で導入されました。これらはKazhdan–Lusztig多項式に類似していますが、実半単純リー群の表現に合わせて調整されており、そのユニタリ双対の推測的記述で重要な役割を果たします。その定義はより複雑で、複素群と比較した実群の表現の相対的な複雑さを反映しています。

表現論に直接関係するケースでは、その区別は二重剰余類のレベルで説明される。あるいは、複素旗多様体 G / Bの類似体に対する作用という別の用語で説明される。ここで、Gは複素リー群、Bはボレル部分群である。元の（KL）ケースは、分解の詳細に関するものである。

${\displaystyle B\backslash G/B}$、

これは、ブリュア分解の古典的なテーマであり、グラスマン多様体におけるシューベルト細胞よりも前のテーマである。LV の場合は、 Gの実数形式G _R、その半単純群G _Rの最大コンパクト部分群K _{R を}取り、K _Rの複素化Kを作成する。この場合、関連する研究対象は

${\displaystyle K\backslash G/B}$。

2007年3月、共同プロジェクト「リー群と表現のアトラス」は、_E8の分割形式に対してL-V多項式が計算されたことを発表しました。^[1]

カジダンとルスティグの2番目の論文は、カジダン-ルスティグ多項式の定義のための幾何学的設定、すなわち旗多様体におけるシューベルト多様体の特異点の幾何学を確立した。ルスティグのその後の研究の多くは、表現論で生じる他の自然な特異代数多様体、特に冪零軌道と箙多様体の閉包の文脈におけるカジダン-ルスティグ多項式の類似体を研究した。量子群、モジュラーリー代数、アフィンヘッケ代数の表現論はすべて、カジダン-ルスティグ多項式の適切な類似体によって厳密に制御されることが判明した。これらは初等的な記述が可能ですが、表現論に必要なこれらの多項式のより深い性質は、交差コホモロジー、倒錯層、ベイリンソン・バーンスタイン・ドリーニュ分解 の使用など、現代の代数幾何学とホモロジー代数の洗練された手法から生じます。

カジダン・ルスティグ多項式の係数は、ゼルゲルの双加群カテゴリの準同型空間の次元であると推測されます。これは、任意のコクセター群に対するこれらの係数の唯一の既知の正の解釈です。

カジュダン・ルスティグ多項式の組合せ論的性質とその一般化は、現在活発に研究されているテーマである。表現論と代数幾何学におけるその重要性から、カジュダン・ルスティグ多項式の理論を純粋に組合せ論的に展開する試みがなされてきた。この試みは、ある程度幾何学に依存しているが、交差コホモロジーやその他の高度な技術には言及していない。これは、パターン回避現象など、代数的組合せ論における刺激的な発展につながった。Björner & Brenti (2005) の教科書には、いくつかの参考文献が記載されている。このテーマに関する研究モノグラフは、Biley & Lakshmibai (2000) である。

小林 (2013) は、結晶学的コクセター群に対する Kazhdan–Lusztig 多項式の における値が、特定の厳密な不等式を満たすことを証明しました。 が結晶学的コクセター系であり、その Kazhdan–Lusztig 多項式であるとします。およびの場合、となる反射が存在します。 ${\displaystyle q=1}$${\displaystyle (W,S)}$${\displaystyle {P_{uw}(q)}}$${\displaystyle u<w}$${\displaystyle P_{uw}(1)>1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle P_{uw}(1)>P_{tu,w}(1)>0}$

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• 2005 年春にカリフォルニア大学デービス校で行われたカジダン・ルスティグ理論の講義（モニカ・ヴァジラニ著）の読み物
• ゴアスキー、マーク。 「カジダン・ルシュティヒ多項式の表」。
• Kazhdan-Lusztig 多項式を計算するための GAP プログラム。
• 任意の Coxeter 群の Kazhdan-Lusztig 多項式を計算するための Fokko du Cloux の Coxeter ソフトウェア
• Kazhdan-Lusztig-Vogan 多項式を計算するための Atlas ソフトウェア。