べき乗軌道

数学において、べき零軌道は、実数および複素数の半単純リー群と半単純リー代数の表現論において重要な役割を果たすべき零 行列の一般化です。

半単純リー代数gの元Xは、その随伴自己準同型性が

ad X : g  →  g、    ad X ( Y ) = [ X、Y ]

は冪零、つまりn が十分に大きい場合、 ( ad X ) ⁿ = 0 です。同様に、 X の特性多項式p _{ad X} ( t ) がt ^{dim g}に等しい場合、X は冪零です。

半単純リー群または代数群 G は、随伴表現を介してそのリー代数に作用し、べき零であるという性質はこの作用の下で不変です。べき零軌道は、随伴作用の軌道であり、その任意の（同値に、すべての）要素がべき零です。

複素要素を持つべき零行列は、一般理論の主な動機となる事例であり、複素一般線型群に対応しています。行列のジョルダン標準形から、各べき零行列は、 nの分割であるサイズのジョルダンブロックを持つ一意の行列と共役であることがわかっています。したがって、 n =2の場合、2 つのべき零軌道があります。ゼロ軌道はゼロ行列で構成され、分割 ( 1 , 1 )に対応します。主軌道は、トレースと行列式がゼロであるすべての非ゼロ行列Aで構成されます。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{r},}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}x&y\\z&-x\end{bmatrix}},\quad (x,y,z)\neq (0,0,0)\quad {\;}}$と${\displaystyle x^{2}+yz=0,}$

分割( 2 )に対応する。幾何学的には、この軌道は頂点を除いた 4次元行列ベクトル空間内の2次元複素2次円錐である。${\displaystyle 2\times 2}$

複素特殊線型群は、同じべき零軌道を持つ一般線型群のサブグループです。ただし、複素特殊線型群を実特殊線型群に置き換えると、新しいべき零軌道が発生する可能性があります。特に、n =2 の場合、3 つのべき零軌道があります。ゼロ軌道と 2 つの実半円錐 (頂点なし) で、上記のパラメーター化の の正と負の値に対応します。 ${\displaystyle yz}$

• べき零軌道は、ザリスキ閉包が 0 を含む随伴作用の軌道として特徴付けることができます。
• べき零軌道の数は有限です。
• べき零軌道のザリスキ閉包は、べき零軌道の和集合です。
• ヤコブソン・モロゾフの定理:特性 0の体上で、任意の冪零元e はsl ₂ -三重項{ e , h , f }に含めることができ、そのような三重項はすべて、Gにおけるeの中心化子Z _G ( e ) によって共役です。 sl ₂の表現論と合わせて、これにより有限の組み合わせデータによって冪零軌道にラベルを付けることが可能になり、冪零軌道のディンキン・コスタント分類が生まれます。

べき零軌道は半順序集合を形成します。つまり、2 つのべき零軌道が与えられたとき、O _1がO ₂のザリスキ閉包に含まれる場合、 O _1はO ₂以下になります。この poset には、一意の最小要素であるゼロ軌道と、一意の最大要素である正則べき零軌道がありますが、一般に、これは次数付き posetではありません。基底体が代数的に閉じている場合、ゼロ軌道は、最小軌道と呼ばれる一意の軌道で覆われ、正則軌道は、準正則軌道と呼ばれる一意の軌道で覆われます。

特殊線型群 SL _nの場合、冪零軌道はnの分割によってパラメータ化されます。Gerstenhaber の定理により、軌道の順序はnの分割上の支配順序に対応します。さらに、Gが双線型形式の等長変換群、つまりSL _nの直交またはシンプレクティック部分群である場合、その冪零軌道は特定のパリティ条件を満たすnの分割によってパラメータ化され、対応する poset 構造はすべての分割上の支配順序によって誘導されます (これは Gerstenhaber と Hesselink による非自明な定理です)。

• 随伴表現

• デイビッド・コリングウッド、ウィリアム・マクガバン。半単純リー代数におけるべき零軌道。ヴァン・ノストランド・ラインホールド数学シリーズ。ヴァン・ノストランド・ラインホールド社、ニューヨーク、1993年。ISBN 0-534-18834-6 
• ブルバキ、ニコラス(2005)、「VIII: 分割半単純リー代数」、数学の要素: リー群とリー代数: 第 7 章から第 9 章
• エルドマン、カリン、ワイルドン、マーク（2006）、リー代数入門（第1版）、Springer、ISBN 1-84628-040-0。
• ハンフリーズ、ジェームズ・E.（1972）、リー代数と表現論入門、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90053-7。
• Varadarajan, VS (2004)、リー群、リー代数、およびその表現（第 1 版）、Springer、ISBN 0-387-90969-9。