カテゴリーO

半単純リー代数の表現論において、カテゴリ O (またはカテゴリ) は、そのオブジェクトが半単純リー代数の特定の表現であり、射が表現の準同型であるカテゴリです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

はカルタン部分代数を持つ（通常は複素）半単純リー代数、はルート系、は正のルートの系であると仮定します。ルートと冪零部分代数に対応する ルート空間を で表します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi ^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=\bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

が-加群で の場合、 は重み空間である。${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle M_{\lambda}}$

${\displaystyle M_{\lambda }=\{v\in M:\forall h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.}$

カテゴリのオブジェクトは、次のような -モジュールである。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M}$

1. ${\displaystyle M}$有限生成である
2. ${\displaystyle M=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }}$
3. ${\displaystyle M}$は局所的に -有限です。つまり、各 に対して、によって生成される - 加群は有限次元です。${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle v\in M}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle v}$

このカテゴリの射はこれらのモジュールの -準同型です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• カテゴリ O の各モジュールには有限次元の重み空間があります。
• カテゴリ O の各モジュールはネーター モジュールです。
• Oはアーベル圏である
• O には十分な射影詞と単射詞があります。
• O は部分加群、商、有限直和を取ることで閉じています。
• O 内のオブジェクトは有限です。つまり、がオブジェクトであり、 である場合、普遍包絡代数の中心の作用によってによって生成される部分空間は有限次元です。${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v\in M}$${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M}$${\displaystyle v}$

• すべての有限次元 -加群とその- 準同型はカテゴリ O に属します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Verma 加群と一般化 Verma 加群およびそれらの-準同型はカテゴリ O に属します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• 最も重量のあるモジュール
• 普遍包絡代数
• 最高重量カテゴリー

• ハンフリーズ、ジェームズ E. (2008)、BGG カテゴリ O における半単純リー代数の表現(PDF)、AMS、ISBN 978-0-8218-4678-0、 2012-03-21にオリジナル（PDF）からアーカイブ