伊藤微積分

伊藤微積分は、伊藤清氏にちなんで名付けられ、微積分の手法をブラウン運動（ウィーナー過程を参照）などの確率過程に拡張したものです。数理ファイナンス、確率微分方程式、そして近年では機械学習においても重要な応用例があります。

中心となる概念は伊藤確率積分であり、これは解析学におけるリーマン・スティルチェス積分の確率的一般化である。被積分関数と積分関数は、確率過程となる。 $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$ ここで、HはXによって生成されるフィルタリングに適合した局所的に二乗可積分なプロセスであり( Revuz & Yor 1999 、第 IV 章)、ブラウン運動、またはより一般的にはセミマルチンゲールです。積分の結果は、別の確率プロセスになります。具体的には、0 から任意の特定のtまでの積分は、ある確率変数列の極限として定義される確率変数です。ブラウン運動の経路は、微積分の標準的な手法を適用できるという要件を満たしていません。したがって、被積分関数が確率プロセスである場合、伊藤確率積分は、どの点でも微分不可能で、すべての時間間隔で無限に変化する関数に関する積分に相当します。主な洞察は、被積分関数Hが適合している限り、積分を定義できるということです。これは大まかに言えば、時刻tにおけるその値は、その時刻までに利用可能な情報のみに依存するということです。大まかに言うと、0からtまでの区間を分割するシーケンスを選択し、リーマン和を構成します。リーマン和を計算するたびに、特定の積分器のインスタンスを使用します。関数の値を計算するために、各小さな区間のどの点を使用するかが重要です。次に、分割のメッシュがゼロに近づくにつれて、確率的に極限が取られます。この極限が存在し、特定の分割シーケンスに依存しないことを示すには、多くの技術的な詳細に注意を払う必要があります。通常、区間の左端が使用されます。

伊藤積分の重要な成果には、部分積分公式と、変数変換公式である伊藤の補題が含まれます。これらは、二次変動項があるため、標準的な微積分の公式とは異なります。これとは対照的に、ストラトノビッチ積分は別の定式化として用いられます。ストラトノビッチ積分は連鎖律に従い、伊藤の補題を必要としません。この2つの積分形式は相互に変換可能です。ストラトノビッチ積分は、各小さな時間ステップにおける確率変数の平均を用いるリーマン和の極限形式として得られますが、伊藤積分は最初のみを考慮します。

数理ファイナンスでは、積分の評価戦略は、まず何をするかを決定し、次に価格の変化を観察するという概念で捉えられます。被積分関数は保有する株式の量、積分関数は価格の変動を表し、積分は、任意の時点で保有する株式の価値を含めた総資産額を表します。株式やその他の取引される金融資産の価格は、ブラウン運動や、より一般的には幾何ブラウン運動（ブラック・ショールズモデルを参照）などの確率過程によってモデル化できます。この場合、伊藤確率積分は、時刻tにおいて株式をH _t保有する連続時間取引戦略のペイオフを表します。この状況では、 Hが適合するという条件は、取引戦略がいつでも利用可能な情報のみを利用できるという必要な制約に対応します。これにより、市場の上昇の直前に株式を購入し、下落の直前に売却するなど、予知能力による無制限の利益の可能性が防止されます。同様に、 Hが適応しているという条件は、確率積分がリーマン和の極限として計算されたときに発散しないことを意味します（Revuz & Yor 1999 、第IV章）。

前述の プロセスYは次のように定義されます。$${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$は時間パラメータt を持つ確率過程であり、Y = H · Xと表記されることもあります( Rogers & Williams 2000 )。あるいは、積分は微分形式でdY = H dXと表記されることが多く、これはY − Y ₀ = H · Xと等価です。伊藤の微積分は連続時間確率過程を扱うため、基礎となるフィルタリングされた確率空間が与えられている と仮定されます。$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).}$$ σ代数$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$は時刻tまでの利用可能な情報を表し、プロセスXはX _tが$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-測定可能。ブラウン運動Bは、$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-ブラウン運動、これはB _tが$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-測定可能であり、B _{t + s} − B _tは$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$すべてのs、t ≥ 0 に対して( Revuz & Yor 1999 )。

伊藤積分は、リーマン和の確率極限として、リーマン・スティルチェス積分と同様の方法で定義できます。ただし、このような極限は必ずしも経路ごとに存在するとは限りません。Bがウィーナー過程（ブラウン運動）であり、 Hが右連続（càdlàg）、適合、局所的に有界な過程であると仮定します。${\displaystyle \{\pi _{n}\}}$はメッシュ幅がゼロになる[ 0, t ]の分割 のシーケンスであり、時刻tまでのBに関するHの伊藤積分は確率変数である。$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$$

この極限は確率収束することが示される。

マルチンゲール表現定理や局所時間などの一部の応用では、連続でないプロセスに対して積分が必要となります。予測可能なプロセスは、数列の極限を取ることに関して閉じている最小のクラスを形成し、すべての適応左連続プロセスを含みます。H が任意の予測可能なプロセスであり、すべてのt ≥ 0に対して∫ ₀ ^t H ² ds < ∞である場合、 Bに関するHの積分を定義でき、HはB積分可能であると言われます。このようなプロセスは、左連続で適応かつ局所的に有界なプロセスの シーケンスH _{nによって近似できます。}$$\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$$ 確率論において。すると、伊藤積分は $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$$ ここでも、極限は確率収束することが示される。確率積分は伊藤等長性を満たす。$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$$これは、 Hが有界である場合、あるいはより一般的には、右辺の積分が有限である場合に 成り立つ。

伊藤過程は、ブラウン運動に関する積分と時間に関する積分の和として表現できる 適応型確率過程として定義される。$${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$$

ここで、Bはブラウン運動であり、σ は予測可能なB積分可能過程であり、μ は予測可能かつ (ルベーグ) 積分可能である必要がある。つまり、 $$\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$$ 各tについて。確率積分は、このような伊藤過程に拡張できます。 $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$$

これは、すべての局所的に有界で予測可能な被積分関数に対して定義されます。より一般的には、 HσがB積分可能であり、 Hμ がルベーグ積分可能である ことが要求されます。$$\displaystyle \int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .}$$ このような予測可能なプロセスHはX積分可能と呼ばれる。

伊藤過程の研究において重要な結果の一つが伊藤の補題である。最も単純な形では、実数上の任意の2回連続微分可能な関数fと上述の伊藤過程Xに対して、以下のことが述べられている。${\displaystyle Y_{t}=f(X_{t})}$それ自体が伊藤プロセスを満たしている $${\displaystyle dY_{t}=f^{\prime }(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+f^{\prime }(X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}.}$$

これは、変数変換の公式と連鎖律の確率微分積分版です。ブラウン運動がゼロでない二次変動​​を持つという性質から、fの二階微分を含む項が追加されているため、標準的な結果とは異なります。

伊藤積分は、半マルチンゲールXに関して定義されます。これらは、局所マルチンゲールMと有限変動過程Aに対してX = M + Aと分解できる過程です。このような過程の重要な例としては、マルチンゲールであるブラウン運動やレヴィ過程などがあります。左連続で局所的に有界かつ適合した過程Hに対しては、積分H · Xが存在し、リーマン和の極限として計算できます。π n_を[ 0, t ]の分割列とし、メッシュがゼロに収束するようにします。  $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$$

この極限は確率収束する。左連続過程の確率積分は、確率微分積分の多くの分野を研究するのに十分なほど一般的である。例えば、伊藤の補題の応用、ギルサノフの定理による測度変換、確率微分方程式の研究には十分である。しかし、マルチンゲール表現定理や局所時間などの他の重要なトピックには不十分である。

この積分は、予測可能かつ局所的に有界な被積分関数すべてに一意的に拡張され、優収束定理が成り立つ。すなわち、H _n → Hかつ局所的に有界なプロセスJに対して| H _n | ≤ Jであれば、  $${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,}$$ 確率論において。左連続から予測可能な被積分関数への拡張の一意性は、単調クラス補題の結果である。

一般に、予測可能なプロセスHが局所的に有界でない場合でも、確率積分H · Xを定義できます。K = 1 / (1 + | H | )の場合、KとKHは有界です。確率積分の結合法則により、HはX積分可能であり、積分H · X = Yとなるのは、 Y ₀ = 0かつK · Y = ( KH ) · Xの場合のみです。X積分可能なプロセスの集合はL ( X )で表されます。

以下の特性は、（Revuz & Yor 1999 ）や（Rogers & Williams 2000 ）などの研究で見出すことができます。

• 確率積分はカドラグ過程である。さらに、それはセミマルチンゲールである。
• 確率積分の不連続性は、積分器のジャンプに被積分関数を乗じたものによって与えられます。càdlàg 過程の時刻tにおけるジャンプはX _t − X _t−であり、しばしばΔ X _tと表記されます。この表記法では、Δ( H · X ) = H Δ Xとなります。このことから、連続過程に関する積分は常にそれ自体が連続であるという特別な結論が得られます。
• 結合法則。J、Kを予測可能なプロセスとし、 KをX積分可能とする。このとき、 JがK・X積分可能であるのは、 JKがX積分可能である場合かつその場合に限る。この場合、$${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$$
• 支配収束。H n → H かつ | H n | ≤ J （J は X 積分可能な過程）であると仮定すると、_H n · X → _H · Xとなります。収束は各_時刻tにおいて確率収束です。実際、コンパクト集合上では確率的に一様収束します。 
• 確率積分は、二次共変動を取る操作と可換である。XとYが半マルチンゲールである場合、任意のX積分可能なプロセスは[ X , Y ]積分可能で、[ H · X , Y ] = H · [ X , Y ]となる。このことから、確率積分の二次変動プロセスは、二次変動プロセスの積分に等しいことがわかる。$${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$$

通常の微積分と同様に、部分積分は確率微積分においても重要な結果です。伊藤積分の部分積分公式は、二次共変動項が含まれているため、標準的な結果とは異なります。この項は、伊藤微積分が非ゼロの二次変動を持つプロセスを扱うという事実から生じており、これは無限変動プロセス（ブラウン運動など）でのみ発生します。XとYが半マルチンゲールである 場合、$${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$$ ここで、[ X , Y ]は二次共変動過程である。

結果はリーマン・スティルチェス積分の部分積分定理と似ているが、二次変動項が追加されている。

伊藤の補題は、伊藤積分に適用される連鎖律または変数変換公式のバージョンです。これは、確率微分積分学において最も強力で頻繁に使用される定理の 1 つです。連続n次元半マルチンゲールX = ( X ¹ ,..., X ⁿ )とR ⁿからRへの2 回連続微分可能な関数fに対して、f ( X )は半マルチンゲールであり、 $${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$$これは、二次共変動[ X ⁱ , X ^j ] を含む項があるため、標準的な微積分で使用される連鎖律とは異なります。この式は、明示的な時間依存性を含めるように一般化できます。${\displaystyle f,}$また、他の方法でも（伊藤の補題を参照）。

伊藤積分が適切に定義されていることの証明は、通常、まず、区分的に定数で左連続かつ適応的なプロセスなど、積分を明示的に記述できる非常に単純な被積分関数を調べることから始まる。このような単純な予測可能なプロセスは、停止時刻TとF _T可測確率変数Aの形式のH _t = A 1 _{{ t > T }}の項の線形結合であり、その積分は $${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$$これは、 H · XのHにおける 線形性によって、すべての単純な予測可能なプロセスに拡張されます。

ブラウン運動Bの場合、平均がゼロで分散Var( B _t ) = tの独立増分を持つという性質は、単純な予測可能な被積分関数に対する伊藤等長性を証明するために使用できます。 $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}$$連続的な線形拡張 により、積分は、を満たすすべての予測可能な被積分関数に一意に拡張されます。 $${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,}$$ 伊藤等長性は依然として成り立つようにする。そして、局所化によって、すべてのB積分可能な過程に拡張することができる。この方法により、任意の伊藤過程に関して積分を定義することが可能となる。

一般的な半マルチンゲールXに対しては、 X = M + Aを局所マルチンゲールMと有限変動過程Aに分解する方法が利用できます。すると、積分はMとAに関してそれぞれ別に存在することが示され、線形性H · X = H · M + H · Aを用いて結合することで、 Xに関する積分が得られます。標準的なルベーグ・スティルチェス積分では、有限変動過程に関して積分を定義することができるため、半マルチンゲールに対する伊藤積分の存在は、局所マルチンゲールに対する任意の構成から導かれます。

二乗可積分マルチンゲールMに対しては、伊藤等長変換の一般化された形式を使用できます。まず、ドゥーブ・マイヤー分解定理を使用して、分解M ² = N + ⟨ M ⟩が存在することを示します。ここで、Nはマルチンゲールであり、⟨ M ⟩はゼロから始まる右連続で増加かつ予測可能なプロセスです。これにより、 ⟨ M ⟩が一意に定義され、これはMの予測可能な二次変動と呼ばれます。二乗可積分マルチンゲールに対する伊藤等長変換は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}$$ これは、単純な予測可能な被積分関数に対して直接証明できます。ブラウン運動の場合と同様に、連続線形拡張を使用して、E [ H ² · ⟨ M ⟩ _t ] < ∞を満たすすべての予測可能な被積分関数に一意に拡張できます。この方法は、局所化によってすべての局所二乗可積分マルチンゲールに拡張できます。最後に、Doob–Meyer分解を使用して、任意の局所マルチンゲールを局所二乗可積分マルチンゲールと有限変動過程の和に分解し、任意の半マルチンゲールに関して伊藤積分を構築できます。

同様の手法を用いながらも、Doob–Meyer分解定理を使用する必要のない証明は他にも多数存在する。例えば、伊藤等長性における二次変動[ M ]の使用、劣マルチンゲールに対するDoléans測度の使用、あるいは伊藤等長性の代わりにBurkholder–Davis–Gundy不等式の使用などである。後者は、まず二乗可積分マルチンゲールの場合を扱うことなく、局所マルチンゲールに直接適用できる。

Xが càdlàg であり、適応的であり、集合 { H · X _t :  | H | ≤ 1 は単純予測可能} が各時刻tに対して確率的に有界であるという事実のみを利用する別の証明が存在する。これは、 X が半マルチンゲールであることの別の定義である。連続線形拡張を使用して、右極限が至る所にあるすべての左連続かつ適応的な被積分関数 (caglad または L プロセス) の積分を構成することができる。これは、伊藤の補題( Protter 2004 )などの手法を適用できるほど十分に一般的である。また、ヒンチン不等式を使用して、優収束定理を証明し、積分を一般的な予測可能な被積分関数に拡張することができる( Bichteler 2002 )。

伊藤の微分法は、まず第一に、上述のように積分法として定義されます。しかし、ブラウン運動に関しては、「微分」の概念もいくつか存在します。

物理学では、通常、確率積分ではなく、ランジュバン方程式などの確率微分方程式（SDE）が使用されます。ここでは、伊藤確率微分方程式（SDE）は、多くの場合、次のように定式化されます。 $${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},}$$ どこ${\displaystyle \xi _{j}}$ガウス白色ノイズ $${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})}$$ そして、アインシュタインの総和規約が用いられる。

もし${\displaystyle y=y(x_{k})}$がx _kの関数である場合、伊藤の補題を使用する必要がある。 $${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}$$

上記の伊藤SDEは、ストラトノビッチSDEにも対応しており、それは次のように表される。 $${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.}$$

確率微分方程式は、相関時間がゼロに近づく場合、有色ノイズによって駆動される確率微分方程式の極限として、物理学においてストラトノビッチ形式で頻繁に現れます。確率微分方程式のさまざまな解釈に関する最近の考察については、例えば（Lau & Lubensky 2007 ）を参照してください。