フィルタリング（確率論）

確率論の分野である確率過程の理論では、フィルタリングは、特定の時点で利用可能な情報をモデル化するために使用されるサブセットの完全に順序付けられたコレクションであり、したがってランダム (確率) プロセスの形式化で重要な役割を果たします。

を確率空間とし、を全順序を持つインデックス集合（多くの場合、、 または のサブセット）とします。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

任意の に対してを の部分σ代数とする。すると ${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

は、すべての に対してであるとき、フィルタリングと呼ばれます。したがって、フィルタリングは、非減少順に順序付けられたσ代数の族です。 ^[1]がフィルタリングである 場合、 はフィルタリングされた確率空間と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell}}$${\displaystyle k\leq \ell}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$

を確率空間上の確率過程とする。をランダム変数によって生成されるσ代数とする。すると ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

はσ代数であり、 フィルタリングです。 ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \mathbb {F} }$は実際にはフィルタリングである。なぜなら定義によりすべてσ-代数 であり、${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).}$

これは、に関するの自然濾過として知られています。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$

が濾過である場合、対応する右連続濾過は次のように定義される^[2]${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},}$

と

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{i<z}{\mathcal {F}}_{z}.}$

濾過自体は、次の場合、右連続的であると呼ばれる。^[3]${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} }$

を確率空間とし 、${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ ある }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ ただし }}P(B)=0\}}$

-空集合内に含まれるすべての集合の集合とする。 ${\displaystyle P}$

任意の に が含まれる場合、濾過は完全濾過と呼ばれます。これは、任意の に対して が完全測度空間であることを意味します(逆は必ずしも真ではありません)。 ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)}$${\displaystyle i\in I.}$

濾過は、完全かつ完全に連続している場合、拡張濾過と呼ばれます。すべての濾過には、最小の拡張濾過精製が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

濾過が拡張濾過である場合、それは通常の仮説または通常の条件を満たすと言われます。^[3]

• 自然濾過
• 濾過（数学）
• フィルター（数学）