ヒンチン不等式

数学において、アレクサンドル・ヒンチンにちなんで名付けられ、ラテンアルファベットでは複数の綴りがあるヒンチンの不等式は、確率の定理であり、解析学でも頻繁に使用されます。経験的に言えば、複素数 を選び、それぞれにランダムな符号 を掛けて加算すると、その和の係数の期待値、つまり平均して最も近い係数は、 からそれほど離れていないということになります。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}}$

を に対して となるiid確率変数、つまりラデマッハ分布に従う数列とします。 およびとします。すると ${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle n=1,\ldots,N}$${\displaystyle 0<p<\infty }$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle A_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}}$

いくつかの定数については のみ に依存します(表記については期待値を参照)。定数の明確な値はHaagerup によって発見されました (文献 2、より簡単な証明については文献 3 を参照)。のとき、およびのときであることは簡単にわかります。 ${\displaystyle A_{p},B_{p}>0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A_{p},B_{p}}$${\displaystyle A_{p}=1}$${\displaystyle p\geq 2}$${\displaystyle B_{p}=1}$${\displaystyle 0<p\leq 2}$

ハーゲルップは、

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{p}&={\begin{cases}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2 }(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0}<p<2\\1&2\leq p<\infty \end{cases}}\\&{\text{and}}\\B_{p}&={\begin{cases}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}( \Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}}$

ここで、 およびはガンマ関数です。特に、 は正規分布のモーメントと正確に一致することに注意してください。 ${\displaystyle p_{0}\approx 1.847}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle B_{p}}$

この不等式の用途は確率論の応用に限られません。解析学における使用例の1つは、2つのL ^p空間と、有界ノルム を持つ 間の線型作用素とすると、ヒンチンの不等式を使用して次のことを示すことができます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$${\displaystyle L^{p}(Y,\nu )}$${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \|T\|<\infty }$

${\displaystyle \left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}}$

とのみに依存する定数に対して。^[要出典]${\displaystyle C_{p}>0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|T\|}$

ラデマッハ確率変数の場合、パヴェル・ヒッチェンコは^[1]、最も明確なバージョンは次のようになることを示しました。

${\displaystyle A\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)}$

ここで、、、およびは、に依存しない普遍定数です。 ${\displaystyle b=\lfloor p\rfloor }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$

ここでは、が非負かつ非増加である と仮定します。${\displaystyle x_{i}}$

• マルチンキェヴィチ＝ジグムントの不等式
• バークホルダー・デイビス・ガンディ不等式

1. Thomas H. Wolff 、「調和解析に関する講義」。アメリカ数学会、大学講義シリーズ第 29 巻、2003 年。ISBN 0-8218-3449-5 
2. Uffe Haagerup、「ヒンチン不等式における最良の定数」、Studia Math. 70 (1981)、第3号、231–283 (1982)。
3. Fedor Nazarovおよび Anatoliy Podkorytov、「Ball、Haagerup、分布関数」、複素解析、演算子、および関連トピック、247–267、Oper. Theory Adv. Appl.、113、Birkhäuser、バーゼル、2000 年。