伊藤計算

伊藤清にちなんで名付けられた伊藤計算は、微積分の方法をブラウン運動（ウィーナー過程を参照）などの確率過程に拡張するものであり、数理ファイナンスや確率微分方程式において重要な応用がある。

中心となる概念は伊藤確率積分であり、解析学におけるリーマン・スティルチェス積分の確率的一般化である。被積分関数と積分器は確率過程となる。 ここで、HはXによって生成されるフィルタリングに適合した局所的に二乗積分可能な過程であり(Revuz & Yor 1999、第 IV 章)、これはブラウン運動、より一般的には半マルチンゲールである。積分の結果は別の確率過程となる。具体的には、0 から任意の特定のtまでの積分はランダム変数であり、ランダム変数の特定のシーケンスの極限として定義される。ブラウン運動の経路は、微積分の標準的な手法を適用できるという要件を満たしていない。したがって、被積分関数が確率過程である場合、伊藤確率積分は、どの点でも微分不可能で、すべての時間間隔にわたって無限に変化する関数に関する積分となる。主な洞察は、積分関数Hが適応されている限り、積分を定義できるということです。これは、大まかに言えば、時刻tでのその値は、その時刻までに利用可能な情報にのみ依存することを意味します。大まかに言えば、0 からtまでの区間の分割のシーケンスを選択し、リーマン和を構築します。リーマン和を計算するたびに、積分器の特定のインスタンスを使用しています。関数の値を計算するために、各小区間のどの点を使用するかが重要です。次に、パーティションのメッシュがゼロに向かうにつれて、限界が確率的に取られます。この限界が存在し、特定のパーティションのシーケンスに依存しないことを示すには、多くの技術的な詳細を考慮する必要があります。通常、区間の左端が使用されます。 $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$

伊藤微積分の重要な結果には、部分積分公式や伊藤の補題（変数変換公式）などがある。これらは、二次変分項のため、標準的な微積分の公式とは異なる。

数理ファイナンスでは、ここで説明した積分の評価戦略は、まず何をすべきかを決定し、次に価格の変化を観察するという概念化がなされている。被積分関数は保有する株式の量、積分器は価格の変動、積分は任意の時点での株式の価値を含めた合計金額である。株式やその他の取引金融資産の価格は、ブラウン運動や、より一般的には幾何ブラウン運動などの確率過程によってモデル化できる（ブラック・ショールズを参照）。そして、伊藤確率積分は、時点tにおいて株式の量H _{t を}保有することからなる連続時間取引戦略のペイオフを表す。この状況では、 Hが適合するという条件は、取引戦略がいつでも利用可能な情報のみを利用できるという必要な制約に対応する。これにより、市場が上昇する直前に株式を購入し、下降する直前に売却するという千里眼による無制限の利益の可能性が防止される。同様に、 Hが適応されるという条件は、リーマン和の極限として計算されたときに確率積分が発散しないことを意味します(Revuz & Yor 1999、第 4 章)。

上で定義した 過程Y は、それ自体が時間パラメータt を持つ確率過程であり、 Y = H · Xと表記されることもあります(Rogers & Williams 2000)。あるいは、積分は微分形式dY = H dXで表記されることが多く、これはY − Y ₀ = H · Xと同等です。伊藤計算は連続時間確率過程を扱うため、基礎となるフィルタリングされた確率空間が与えられている と仮定します。σ- 代数は時刻tまでの情報を表し、過程XはX _tが-測定可能な場合に適応されます。ブラウン運動Bは-ブラウン運動であると理解されており、これはB _{t が}-測定可能であり、B _{t + s} − B _tがすべてのs、t ≥ 0に対して から独立しているという特性を持つ標準的なブラウン運動です(Revuz & Yor 1999)。 $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$ $${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

伊藤積分は、リーマン・スティルチェス積分と同様に、リーマン和の確率の極限として定義できます。このような極限は、経路ごとに必ずしも存在するわけではありません。B がウィーナー過程（ブラウン運動）で、H が右連続（ càdlàg ）で適応的かつ局所的に有界な過程であるとします。が[ 0 , t ]の分割の列で、メッシュ幅がゼロになる場合、時刻tまでの Bに関する H の伊藤積分はランダム変数です。${\displaystyle \{\pi _{n}\}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$$

この極限は確率的に収束することが示せます。

マルチンゲール表現定理や局所時間などの一部のアプリケーションでは、連続していないプロセスに対して積分が必要になります。予測可能プロセスは、シーケンスの極限を取ることで閉じており、すべての適応された左連続プロセスを含む最小のクラスを形成します。H が、すべての t ≥ 0 に対して ∫ 0 t H 2 ds < ∞ となる予測可能プロセスである場合、 Bに関するHの_積分^を 定義^でき 、 HはB積分可能と呼ばれます。このようなプロセスは、確率的にという意味で、左連続で適応され、局所的に有界なプロセスの シーケンスH _nによって近似できます 。次に、イトー積分は であり 、ここでも、極限が確率的に収束することが示されます。確率積分は、Hが有界である場合、またはより一般的には、右辺の積分が有限である場合 に保持されるイトー等長変換を満たします。$${\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$$$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$$

伊藤過程は、ブラウン運動に関する積分と時間に関する積分の合計として表される 適応確率過程として定義される。$${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$$

ここで、B はブラウン運動であり、σ は予測可能なB積分可能過程であり、μ は予測可能かつ（ルベーグ）積分可能であることが要求される。つまり、 各tに対してである。確率積分はこのような伊藤過程に拡張することができる。 $${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$$$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$$

これは、すべての局所的に有界で予測可能な積分関数に対して定義されます。より一般的には、 Hσ はB積分可能で、Hμ はルベーグ積分可能であることが要求されるため、 このような予測可能なプロセスHはX積分可能と呼ばれます。 $${\displaystyle \int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .}$$

伊藤過程の研究にとって重要な結果は伊藤の補題である。最も単純な形では、実数上の任意の2回連続微分可能な関数fと伊藤過程Xに対して、それはそれ自体が伊藤過程であることを 述べている。${\displaystyle Y_{t}=f(X_{t})}$$${\displaystyle dY_{t}=f^{\prime }(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+f^{\prime }(X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}.}$$

これは、変数変換の公式と連鎖律の確率計算バージョンです。ブラウン運動が非ゼロの二次変化を持つという特性から生じる、fの2次導関数を含む追加の項により、標準的な結果とは異なります。

伊藤積分は、半マルチンゲール Xに関して定義されます。これらは、局所マルチンゲールMと有限変化過程 Aに対してX = M + Aとして分解できる過程です。このような過程の重要な例としては、マルチンゲールであるブラウン運動やレヴィ過程などがあります。左連続で局所的に有界で適応した過程Hに対しては、積分H · Xが存在し、リーマン和の極限として計算できます。π _{n を}メッシュがゼロに向かう [0, t ]の分割のシーケンスとします。 $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$$

この極限は確率的に収束する。左連続過程の確率積分は、確率微分積分の多くを研究するのに十分一般的である。例えば、伊藤の補題の応用、ギルサノフの定理による測度の変化、確率微分方程式の研究には十分である。しかし、マルチンゲール表現定理や局所時間などの他の重要なトピックには不十分である。

積分は、すべての予測可能で局所的に有界な被積分関数に一意に拡張され、優勢収束定理が成り立ちます。つまり、局所的に有界なプロセス Jに対してH _n → Hかつ| H _n | ≤ Jであれば、 確率的に次の式が成り立ちます。左連続から予測可能な被積分関数への拡張の一意性は、単調クラス補題 の結果です。 $${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,}$$

一般に、確率積分H · X は、予測可能なプロセスHが局所的に有界でない場合でも定義できます。 K = 1 / (1 + | H |)の場合、KとKHは有界です。確率積分の結合性は、HがX積分可能であり、積分H · X = Yであるためには、Y ₀ = 0かつK · Y = ( KH ) · Xである必要があります。 X積分可能なプロセスの集合は、 L ( X )で表されます。

(Revuz & Yor 1999) や (Rogers & Williams 2000) などの研究には、次の特性が記載されています。

• 確率積分はcàdlàg過程です。さらに、それはセミマルチンゲールです。
• 確率積分の不連続性は、積分器のジャンプと被積分関数の積分によって与えられます。時刻tにおける càdlàg プロセスのジャンプはX _t − X _t−であり、Δ X _tと表記されることがよくあります。この表記では、Δ( H · X ) = H Δ Xです。この特別な結果として、連続プロセスに関する積分は常にそれ自体が連続的になります。
• 結合性。J、 Kを予測可能なプロセスとし、 KをX積分可能とする。すると、 JがK · X積分可能であるのは、 JKがX積分可能である場合のみであり、その場合$${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$$
• 優勢収束。 H _n → Hかつ| H _n | ≤ J（ JはX積分可能プロセス）と仮定します。するとH _n · X → H · Xとなります。収束は各時刻tにおいて確率的に発生します 。実際、確率的にコンパクト セット上で一様に収束します。
• 確率積分は、二次共変量を取る操作と可換である。XとYが半マルチンゲールであれば、任意のX積分可能なプロセスは[ X、Y ]積分可能であり、[ H · X、Y ] = H ·[ X、Y ]となる。この結果、確率積分の二次変分プロセスは、二次変分プロセスの積分に等しい。$${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$$

通常の微積分と同様に、部分積分は確率微積分における重要な結果です。伊藤積分の部分積分式は、二次共変項が含まれているため、標準的な結果とは異なります。この項は、伊藤微積分が、無限変化プロセス（ブラウン運動など）でのみ発生する、ゼロ以外の二次変化を伴うプロセスを扱うという事実に由来します。XとYがセミマルチンゲールである 場合、 ここで[ X , Y ]は二次共変プロセスです。 $${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$$

結果はリーマン-スティルチェス積分の部分積分定理に似ていますが、二次変分項が追加されています。

伊藤の補題は、連鎖律または変数変換公式の伊藤積分への適用バージョンである。これは確率微分学において最も強力かつ頻繁に使用される定理の 1 つである。連続n次元半マルチンゲールX = ( X ¹ ,..., X ⁿ )とR ⁿからRへの2 回連続微分可能関数fについて、f ( X )は半マルチンゲールであり、 これは、二次共変[ X ⁱ , X ^j ] を含む項のため、標準的な微分学で使用される連鎖律と異なる。この公式は、およびその他の方法で明示的な時間依存性を含めるように一般化できる(伊藤の補題を参照)。 $${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$$${\displaystyle f,}$

伊藤積分の重要な特性は、局所マルチンゲール特性が保たれることです。Mが局所マルチンゲールであり、H が局所的に有界な予測可能プロセスである場合、H · Mも局所マルチンゲールです。局所的に有界でない積分関数の場合、H · Mが局所マルチンゲールではない例があります。ただし、これはMが連続でない場合にのみ発生します。Mが連続局所マルチンゲールである場合、予測可能プロセスH は、 各tに対してである場合にのみ M積分可能であり、H · Mは常に局所マルチンゲールです。 $${\displaystyle \int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty ,}$$

不連続な局所マルチンゲールMの最も一般的な記述は、( H ² · [ M ]) ^1/2が局所的に積分可能である場合、H · Mが存在し、局所マルチンゲールであるという ことです。

有界な被積分関数の場合、伊藤の確率積分は、平方積分可能マルチンゲールの空間を保存します。平方積分可能マルチンゲールとは、すべてのtに対してE[ M _t ² ]が有限であるような平方マルチンゲールMの集合です。このような任意の平方積分可能マルチンゲールMに対して、二次変分過程[ M ] は積分可能であり、伊藤の等長変換は次式を示します 。 この等式は、より一般的には、 H ² · [ M ] _tが積分可能であるような任意のマルチンゲールMに対して成り立ちます。伊藤の等長変換は、確率積分の構築における重要なステップとしてよく使用され、H · M を、特定のクラスの単純な被積分関数からすべての有界で予測可能な過程へのこの等長変換の一意の拡張として定義します。 $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].}$$

任意のp > 1および有界予測可能積分関数について、確率積分はp積分可能マルチンゲールの空間を保存します。これらは、 E(| M _t | ^p )がすべてのtに対して有限である càdlàg マルチンゲールです。ただし、 p = 1の場合は常に当てはまるとは限りません。マルチンゲール自体ではないマルチンゲールに関する有界予測可能プロセスの積分の例があります。

càdlàg 過程Mの最大過程は、 M* _t = sup _{s ≤ t} | M _s |と記述されます。任意のp ≥ 1および有界予測可能積分関数について、確率積分は、 E[( M* _t ) ^p ] がすべてのtに対して有限であるようなcàdlàg マルチンゲールMの空間を保存します。p > 1の場合、これはDoob の不等式により、p積分可能マルチンゲールの空間と同じになります。

Burkholder -Davis-Gundy 不等式は、任意のp ≥ 1に対して、  pに依存する がMまたはtには依存しない正の定数c、  C が存在し、 すべての càdlàg ローカルマルチンゲールMに対してとなることを 述べています。これらは、( M* _t ) ^pが積分可能でHが有界予測可能プロセスで ある場合 、したがってH · M はp積分可能なマルチンゲールであることを示すために使用されます。より一般的には、このステートメントは( H ² · [ M ]) ^{p /2}が積分可能である場合は常に当てはまります。 $${\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]}$$$${\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }$$

伊藤積分が適切に定義されていることの証明は、通常、積分を明示的に記述できる区分定数、左連続、適応プロセスなどの非常に単純な積分関数を最初に調べることによって進められます。このような単純で予測可能なプロセスは、停止時間TとF _T測定可能なランダム変数Aに対する形式H _t = A 1 _{{ t > T }}の項の線形結合であり、積分は次のようになります。 これは、 HにおけるH · X の線形性によって、すべての単純で予測可能なプロセスに拡張されます。 $${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$$

ブラウン運動Bの場合、平均がゼロで分散Var( B _t ) = tの独立した増分を持つという特性は、予測可能な単純な積分関数に対するイトー等長変換を証明するために使用できます 。連続線形拡張 により、積分は、イトー等長変換が依然として保持されるように、を満たすすべての予測可能な積分関数に一意に拡張されます 。次に、局所化によって、すべてのB積分可能プロセス に拡張できます。この方法により、任意のイトープロセスに関して積分を定義できます。 $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}$$$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,}$$

一般的なセミマルチンゲールXについては、 X = M + A を分解して、局所マルチンゲールMと有限変化過程Aにすることができます。次に、積分がMとAに関して別々に存在することが示され、線形性を使用してH · X = H · M + H · Aと組み合わせると、 Xに関する積分が得られます。標準的なルベーグ–スティルチェス積分により、有限変化過程に関して積分を定義できるため、セミマルチンゲールの伊藤積分の存在は、局所マルチンゲールの任意の構成から明らかになります。

càdlàg 平方積分可能マルチンゲールMの場合、イトー等長変換の一般化された形式を使用できます。まず、Doob–Meyer 分解定理を使用して、分解M ² = N + ⟨ M ⟩が存在することを示します。ここで、Nはマルチンゲールであり、⟨ M ⟩ はゼロから始まる右連続で増加する予測可能なプロセスです。これにより、⟨ M ⟩が一意に定義され、これはMの予測可能な二次変化と呼ばれます。平方積分可能マルチンゲールのイトー等長変換は、 単純な予測可能な被積分関数に対して直接証明できます。上記のブラウン運動の場合と同様に、連続線形拡張を使用して、E [ H ² · ⟨ M ⟩ _t ] < ∞を満たすすべての予測可能な被積分関数に一意に拡張できます。この方法は、局所化によってすべての局所二乗可積分マルチンゲールに拡張できます。最後に、Doob-Meyer 分解を使用して、任意の局所マルチンゲールを局所二乗可積分マルチンゲールと有限変化過程の和に分解し、任意の半マルチンゲールに関して伊藤積分を構築できます。 $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}$$

同様の方法を適用しながらもドゥーブ・マイヤー分解定理を使用する必要のない証明は他にも数多く存在する。例えば、伊藤等長変換における二次変分 [ M ] の使用、部分マルチンゲールに対するドリアン測度の使用、伊藤等長変換の代わりにバークホルダー・デイビス・ガンディ不等式の使用などである。後者は、平方積分マルチンゲールの場合を最初に扱う必要なしに、局所マルチンゲールに直接適用される。

Xが càdlàg、適応型であり、集合 { H · X _t : | H | ≤ 1 は単純予測可能} が各時刻tに対して確率的に有界であるという事実のみを利用する別の証明も存在します。これは、 X がセミマルチンゲールであるという別の定義です。連続線形拡張を使用して、どこでも右極限を持つすべての左連続および適応型被積分関数 (caglad または L プロセス) の積分を構築できます。これは十分に一般的なので、伊藤の補題 (Protter 2004) などの手法を適用できます。また、ヒンチン不等式を使用して、支配収束定理を証明し、積分を一般的な予測可能な被積分関数に拡張できます (Bichteler 2002)。

伊藤計算は、上記のように積分計算として定義されます。ただし、ブラウン運動に関しては「微分」の異なる概念もあります。

マリアヴァン計算は、部分積分公式を含む、 ウィーナー空間上で定義されたランダム変数の微分理論を提供します(Nualart 2006)。

次の結果により、マルチンゲールをイトー積分として表現できます。Mがブラウン運動Bによって生成されたフィルタリングに関して時間間隔[0, T ]上の二乗積分可能なマルチンゲールである場合、 [0, T ]上に唯一の適応二乗積分可能なプロセスが存在し 、ほぼ確実に、すべてのt ∈ [0, T ]に対して次が 成り立ちます (Rogers & Williams 2000、定理 36.5)。この表現定理は、α がブラウン運動Bに関するMの「時間微分」であると正式に解釈できます。これは、α が、決定論的計算のように、 M _t − M _{0 を}得るために時刻tまで積分しなければならないプロセスとまったく同じであるためです。 ${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}\alpha _{s}\,\mathrm {d} B_{s}}$$

物理学では、通常、確率積分ではなく、ランジュバン方程式などの確率微分方程式(SDE) が使用されます。ここで、伊藤確率微分方程式 (SDE) は、 がガウス白色ノイズであり 、アインシュタインの総和規則が使用される など、次のように定式化されることがよくあります 。$${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},}$$${\displaystyle \xi _{j}}$$${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})}$$

がx _kの関数である場合、伊藤の補題を使用する必要があります。 ${\displaystyle y=y(x_{k})}$$${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}$$

上記の 伊藤SDEは、ストラトノビッチSDEとも対応しており、$${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.}$$

SDE は物理学において、ノイズ項の相関時間がゼロに近づく場合の有色ノイズによって駆動される確率微分方程式の限界として、ストラトノビッチ形式で頻繁に発生します。確率微分方程式のさまざまな解釈の最近の扱いについては、たとえば (Lau & Lubensky 2007) を参照してください。