素数 k タプル

数論において、素数k組は、素数間の差の繰り返しパターンを表す値の有限集合である。 k 組( a 、 b 、 … ) の場合、 k組が素数のパターンと一致する位置は、すべての値( n + a、n + b、 … )が素数となるような整数nの集合によって与えられる。通常、 k組の最初の値は0 で、残りは異なる正の偶数である。^[1]

最も短いkタプルのいくつかは、他の一般的な名前で知られています。

OEISシーケンスOEIS : A257124 は7 組 (素数 7 組) をカバーし、関連するシーケンスの概要 (たとえば、3 つの許容可能な 8 組 (素数 8 組) に対応する 3 つのシーケンス、およびすべての 8 組の和集合) が含まれています。これらのシーケンスの最初の項は、以下に示す最小の素数コンステレーションの最初の素数に対応します。

kタプルがその値すべてが素数となる位置を無限に持つためには、 pを法としてタプルがあらゆる異なる値を含むような素数p は存在し得ません。そのような素数p が存在する場合、 nのどの値を選択しても、 n をタプルに 追加して形成される値の 1 つはpで割り切れるので、唯一の可能な配置にはp自身が含まれることになり、そのような配置は最大でk 個あります。たとえば、kタプルの数は、3 を法として 0、1、2 の 3 つの値すべてを取ることはできません。そうでない場合、結果の数には常に 3 の倍数が含まれるため、数のいずれかが 3 自身でない限り、すべてが素数になることはありません。  

p を法として考えられるすべての剰余を含む k 組は、pを法として許容されないと言われます。これはk ≥ p の場合にのみ可能であることは明らかです。任意の素数を法として許容されない組は、許容される組と呼ばれます。

許容されるすべてのk組は、素数列の無限個の位置に一致すると予想されます。しかし、自明な 1 組 (0) を除いて、これが証明された組はありません。その場合、予想は無限個の素数が存在するというステートメントと同等です。しかし、Yitang Zhang は2013 年に、無限個の位置に一致する 2 組が少なくとも 1 つ存在することを証明しました。その後の研究では、値が 246 以下で無限個の位置に一致するような 2 組が存在することが示されました。^[2]

(0, 2, 4) は3 を法として許容されませんが、単一の素数セット(3, 5, 7)が生成されます。

3 は最初の奇数の素数であるため、素数 3 に一致する非自明な ( k ≥ 1 ) kタプルは、1 つの位置でのみ一致します。タプルが(0, 1, ...)で始まる場合(つまり、2 を法として許容されない場合)、タプルは (2, 3, ...) にのみ一致します。タプルに偶数のみが含まれている場合は、(3, ...) にのみ一致します。

許容されないk組は、 2 と 3 を法として許容され、p ≥ 5より大きい素数を法として許容されない場合は、すべて素数となる解が複数存在することがあります。これはもちろん、組には少なくとも 5 つの数が存在する必要があることを意味します。複数の解を持つ最短の許容されない組は 5 組(0, 2, 8, 14, 26)で、これには 2 つの解(3, 5, 11, 17, 29)と(5, 7, 13, 19, 31) があり、どちらの場合も 5 を法とするすべての値が含まれます。3 つ以上の解を持つ例も存在します。^[3]

k組の直径は、その最大要素と最小要素の差です。許容される素数のk組のうち、最小の直径d を持つものは素数星座と呼ばれます。すべてのn ≥ kに対して、これは常に連続する素数を生成します。^{[4] (すべての}n は整数であり、その値( n + a、n + b、…)は素数であることを思い出してください。)

これは、n が大きい場合、次のことを意味します。

${\displaystyle p_{n+k-1}-p_{n}\geq d}$

ここで、p _{n は}n番目の素数です。

最初のいくつかの主要な星座は次のとおりです。

kの関数としての直径d は、 OEISのシーケンス A008407 です。

プライム星座はプライムkタプレットと呼ばれることもありますが、一部の著者は、より長いkタプレットの一部ではないインスタンスに対してその用語を予約しています。

最初のハーディ・リトルウッド予想は、任意の素数星座の漸近周波数を計算できると予測しています。この予想は証明されていませんが、正しい可能性が高いと考えられています。その場合、対照的に 、 2 番目のハーディ・リトルウッド予想は誤りであることを意味します。

(0, n , 2 n , 3 n , …, ( k  − 1) n )という形式の素数k組は素数等差数列と呼ばれる。このようなk組が許容性テストを満たすためには、 n はkの素数の倍数でなければならない。^[6]

素数k組に対するスキューズ数は、第 1 ハーディ・リトルウッド予想(Tóth (2019))に基づく素数k組に対するスキューズ数の定義の拡張です。を素数k組とすると、xより小さい素数pのうちすべて素数となるものの個数を、をそのハーディ・リトルウッド定数とします (第 1 ハーディ・リトルウッド予想を参照)。すると、 k組Pに対してハーディ・リトルウッド不等式に違反する最初の素数p、つまり ${\displaystyle P=(p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k})}$${\displaystyle \pi_{P}(x)}$${\displaystyle p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k}}$${\textstyle \operatorname {li} _{P}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$${\displaystyle C_{P}}$

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(そのような素数が存在する場合)はPの Skewes 数です。

以下の表は、素数k組の現在知られている Skewes 数を示しています。

セクシー素数 の${\displaystyle (p,\;p+6)}$Skewes 数 (存在する場合) はまだ不明です。