第一のハーディ・リトルウッド予想

数論において、最初のハーディ・リトルウッド予想^{[ 1 ]}は、素数定理を一般化することにより、与えられた大きさより小さい素数k組の数の漸近公式を述べている。これは1923年にGHハーディとJEリトルウッドによって初めて提案された。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$数列の数字は正の偶数である。${\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}$素数に関して完全な剰余類を形成しない。${\displaystyle \pi _{P}(n)}$素数の数を表す${\displaystyle p}$未満${\displaystyle n}$となることによって${\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}}$すべて素数です。すると^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}$

どこ

${\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}$

は奇素数と${\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}$は、異なる残基の数を表します。${\displaystyle 0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$モジュロ${\displaystyle q}$。

ケース${\displaystyle k=1}$そして${\displaystyle m_{1}=2}$は双子素数予想に関連している。具体的には、${\displaystyle \pi _{2}(n)}$n未満の双子素数の数を表す場合、

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}$

どこ

${\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots }$

は双子素数定数です。^{[ 3 ]}

素数k組に対するスキューズ数は、最初のハーディ・リトルウッド予想に基づいて素数k組に対するスキューズ数の定義を拡張したものである。k組Pに対するハーディ・リトルウッド不等式を破る最初の素数pは、

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

（そのような素数が存在する場合）はPのスキュー数である。^{[ 3 ]}

この予想は、第2ハーディ・リトルウッド予想と矛盾することが示されている。^{[ 4 ]}

ベイトマン・ホーン予想は、第1次ハーディ・リトルウッド予想を1次より高い次数の多項式に一般化したものである^{。[ 1 ]}

• Aletheia-Zomlefer, Soren Laing; Fukshansky, Lenny; Garcia, Stephan Ramon (2020). "The Bateman–Horn conjecture: Heuristic, history, and applications" . Expositiones Mathematicae . 38 (4): 430–479 . doi : 10.1016/j.exmath.2019.04.005 . ISSN 0723-0869 . 
• Tóth, László (2019年1月). 「素数kタプルの漸近密度とハーディとリトルウッドの予想について」. Computational Methods in Science and Technology . 25 (3): 143–138 . arXiv : 1910.02636 . doi : 10.12921/cmst.2019.0000033 .