中間値定理

数学的解析において、中間値定理とは、が区間[ a , b ]を含む定義域を持つ連続関数である場合、区間内のある点で との間の任意の値を取ることを述べています。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$

これには 2 つの重要な帰結があります。

1. 連続関数が区間内に反対の符号の値を持つ場合、その区間内に根を持つ（ボルツァーノの定理）。^{[1] [2]}
2. 区間上の連続関数のイメージは、それ自体が区間です。

これは、実数上の連続関数の直感的な特性を捉えています。および が既知の値で連続している場合、のグラフはからに移動する間に水平線を通過する必要があります。これは、閉区間上の連続関数のグラフは、紙から鉛筆を離さずに描くことができるという考えを表しています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [1,2]}$${\displaystyle f(1)=3}$${\displaystyle f(2)=5}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle y=4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$

中間値定理は次のように述べます。

実数の区間と連続関数を考える。すると ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$

• バージョン I.が と の間の数である場合、つまりとなるような が存在します。${\displaystyle u}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$$${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b)),}$$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle f(c)=u}$
• バージョン II。画像セット も閉区間であり、 が含まれます。${\displaystyle f(I)}$${\displaystyle {\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}}$

注: バージョン II では、関数値の集合にギャップがないとされています。区間内のすべての点を持つ任意の2 つの関数値も関数値です。 内部ギャップのない実数のサブセットは区間です。バージョン I はバージョン IIに自然に含まれます。 ${\displaystyle c,d\in f(I)}$${\displaystyle c<d}$${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}}$$${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I).}$$

この定理は実数 の完全性に依存し、それと同等です。有理数間にはギャップが存在するため、中間値定理は有理数 Qには適用されません。無理数がそのギャップを埋めます。たとえば、 の関数は、および を満たします。ただし、 は無理数であるため、となる有理数は存在しません。 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(2)=4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

この定理は、実数の完全性の性質の結果として次のように証明できる。 ^[3]

最初のケースを証明します。2 番目のケースも同様です。 ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$

を となるすべての の集合とします。はの要素なので、 は空ではありません。は空でなく より上方に有界なので、完全性により上限が存在します。つまり、は のすべての要素以上である最小の数です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle f(x)<u}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c=\sup S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$

におけるの連続性により、に十分近い値を維持することで をの任意の範囲内に保つことができることに注意してください。 は厳密な不等式であるため、が と の間の距離である場合の含意について考えます。に十分近い値が 以上になるほど、 は に等しくなります。つまり、には より大きい値が存在するということです。より詳細な証明は次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a)<u}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$

を選択します。すると、となるような区間を考えます。および はすべて条件を満たすことに注意してください。 したがって、はすべて について となります。 したがって はあり得ません。 ${\displaystyle \varepsilon =uf(a)>0}$${\displaystyle \exists \delta >0}$${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$$${\displaystyle |xa|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<uf(a)\implies f(x)<u.}$$${\displaystyle [a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}}$${\displaystyle I_{1}\subseteq [a,b]}$${\displaystyle x\in I_{1}}$${\displaystyle |xa|<\delta }$${\displaystyle x\in I_{1}}$${\displaystyle f(x)<u}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$

同様に、におけるの連続性により、に十分近い値を維持することでを の任意の範囲内に保つことができます。 は厳密な不等式であるため、が との間の距離である場合の同様の含意を考えてみましょう。に十分近いすべての はより大きくなければなりません。つまり、 より小さい値で の上限となる値が存在するということです。より詳細な証明は次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle u<f(b)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$

を選択します。すると、となるような区間を考えます。および はすべて条件を満たすことに注意してください。 したがって、はすべて について となります。 したがって はあり得ません。 ${\displaystyle \varepsilon =f(b)-u>0}$${\displaystyle \exists \delta >0}$${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$$${\displaystyle |xb|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.}$$${\displaystyle (\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}}$${\displaystyle I_{2}\subseteq [a,b]}$${\displaystyle x\in I_{2}}$${\displaystyle |xb|<\delta }$${\displaystyle x\in I_{2}}$${\displaystyle f(x)>u}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$

および の場合、 が成り立つはずです。ここで、 であると主張します。 ${\displaystyle c\neq a}$${\displaystyle c\neq b}$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle f(c)=u}$

いくつかの を固定します。は で連続なので、となります 。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \exists \delta _{1}>0}$${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$${\displaystyle |xc|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$

および は開いているので、となります。 を設定します。すると、 すべての に対してが成り立ちます 。 上限の特性により、に含まれるものが存在するので、 を 選択すると、は の上限であるためであることがわかります。 これは、 の 両方の不等式 がすべての に対して有効であり、そこから、前述のように が唯一の可能な値であると 推測されることを意味します 。${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \exists \delta _{2}>0}$${\displaystyle (c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)}$${\displaystyle \delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})}$$${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$$${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .}$$${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$${\displaystyle a^{**}\not \in S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .}$$$${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f(c)=u}$

の場合も同様なので、の場合のみ証明する。^[4]${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$${\displaystyle f(a)>u>f(b)}$

が と同等で、 と書き直すことができるように定義し、 に対して であることを証明する必要があります。これはより直感的です。さらに、集合 を定義します。であることがわかっているので、は空ではありません。さらに、であるため、 が有界かつ空でないことがわかっているので、完全性により上限が存在します。 ${\displaystyle g(x)=f(x)-u}$${\displaystyle f(x)=g(x)+u}$${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$${\displaystyle g(a)<0<g(b)}$${\displaystyle g(c)=0}$${\displaystyle c\in [a,b]}$${\displaystyle S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}}$${\displaystyle g(a)<0}$${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\subseteq [a,b]}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c=\sup(S)}$

の値には、およびの3 つのケースがあります。矛盾を回避するために、 と仮定します。すると、連続性の定義により、 について、 が存在するのでとなり、これはと同等です。 を選択した場合、として、となり、そこから および が得られるので となります。したがって、 は の上限となります。しかし、は最小上限の上限特性と矛盾するため、 となります。次に と仮定します。同様に を選択し、 が存在することがわかり、はとなります。これを と書き直すことができ、 は となります。ここで を選択した場合、 となり、となります。したがって、 はの上限となります。しかし、は最小上限の最小特性と矛盾するため、 は不可能であることを意味します。両方の結果を組み合わせると、またはのみが残る可能性となります。 ${\displaystyle g(c)}$${\displaystyle g(c)<0,g(c)>0}$${\displaystyle g(c)=0}$${\displaystyle g(c)<0}$${\displaystyle \epsilon =0-g(c)}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$${\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}$${\displaystyle g(x)<0}$${\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}$${\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}+1}$${\displaystyle 1<N}$${\displaystyle x<c+\delta }$${\displaystyle g(x)<0}$${\displaystyle c<x<b}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x>c}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle g(c)\geq 0}$${\displaystyle g(c)>0}$${\displaystyle \epsilon =g(c)-0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$${\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}$${\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)}$${\displaystyle g(x)>0}$${\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}$${\displaystyle g(x)>0}$${\displaystyle a<x<c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x<c}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle g(c)>0}$${\displaystyle g(c)=0}$${\displaystyle f(c)=u}$

注:中間値定理は、非標準解析法を用いて証明することもできます。非標準解析法は、無限小値を含む「直感的な」議論を厳密な^{[説明が必要]} 基盤の上に置きます。^[5]

この定理の形式は、紀元前5世紀にはすでに、ヘラクレアのブライソンの円の二乗に関する著作の中で提唱されていた。ブライソンは、与えられた正方形より大きい円と小さい円の両方が存在するので、等しい面積の円が存在するはずだと主張した。^{[6]この定理は、1817年に}ベルナルド・ボルツァーノによって初めて証明された。ボルツァーノは、この定理を次のように定式化した。^[7]

との間の区間上の連続関数で、かつ となる関数があるとします。すると、と の間に となり、 となる関数が存在します。 ${\displaystyle f,\varphi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(\alpha )<\varphi (\alpha )}$${\displaystyle f(\beta )>\varphi (\beta )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(x)=\varphi (x)}$

この定式化と現代の定式化の同等性は、 を適切な定数関数に設定することで示せます。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは1821 年にこの現代の定式化と証明を提供しました。 ^{[8]両者とも関数解析の形式化という目標と}ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの研究に触発されました。 連続関数が中間値特性を持つという考え方は、もっと古い起源を持っています。サイモン・ステヴィンは、解の小数展開を構築するアルゴリズムを提供することで、多項式の中間値定理を証明しました(例として3 次式を使用)。このアルゴリズムは、区間を反復的に 10 の部分に分割し、反復の各ステップで追加の小数桁を生成します。 ^[9]連続性の正式な定義が与えられる前に、中間値特性は連続関数の定義の一部として与えられました。支持者の 1 つであるルイ・アルボガストは、関数にはジャンプがなく、中間値特性を満たし、増分の大きさが変数の増分の大きさに対応すると仮定しました。^[10] 以前の著者らは、この結果は直感的に明らかで証明を必要としないと考えていた。ボルツァーノとコーシーの洞察は、連続性の一般的な概念（コーシーの場合は無限小の観点から、ボルツァーノの場合は実不等式を使用して）を定義し、そのような定義に基づいた証明を提供することであった。 ${\displaystyle \varphi }$

ダルブー関数は、中間値特性を持つ実数値関数fです。つまり、中間値定理の結論を満たします。つまり、fの定義域内の任意の2 つの値aとb、およびf ( a )とf ( b )の間の任意のyに対して、 aとb の間にはf ( c ) = yとなるcが存在します。中間値定理によれば、すべての連続関数はダルブー関数です。ただし、すべてのダルブー関数が連続しているわけではありません。つまり、中間値定理の逆は偽です。

例として、関数f  : [0, ∞) → [−1, 1]を取り上げます。この関数は、 x > 0かつf (0) = 0のとき、f ( x ) = sin(1/ x )で定義されます。この関数は、 xが 0 に近づくときのf ( x )の極限が存在しないため、 x = 0で連続ではありません。ただし、この関数は中間値特性を持ちます。もう 1 つのより複雑な例として、コンウェイの基数 13 の関数が挙げられます。

実際、ダルブーの定理は、ある区間で他の関数を微分して得られるすべての関数は、中間値特性を持つ（連続している必要はないが）と述べています。

歴史的に、この中間値特性は実数値関数の連続性の定義として提案されてきたが、^[11]この定義は採用されなかった。

ポアンカレ-ミランダの定理は、中間値定理を（1 次元の）区間から（2 次元の）長方形、より一般的にはn次元の立方体に一般化したものです。

Vrahatis ^{[12]は、三角形、またはより一般的には}n次元単体に対する同様の一般化を提示している。D n^を、 v ₀、...、v _nで表されるn +1個の頂点を持つn次元単体とする。F =( f ₁、...、f _n )を、 D ⁿからR ⁿへの連続関数とし、 D ⁿの境界上で0になることはないものとする。Fが以下の条件を満たすと仮定する。

• 1,..., nのすべてのiについて、 f _i ( v _i )の符号は、 v _iの反対面上のすべての点xについてf _i ( x )の符号と逆になります。
• v ₀上のf ₁ ,..., f _nの符号ベクトルは、v ₀ の反対面上のすべての点上のf ₁ ,..., f _nの符号ベクトルと等しくありません。

^{すると、Dn}の内部に点zが存在し、その点においてF ( z )=(0,...,0)が成立する。

すべてのiに対してf _i ( v _i )>0となるようにf _{i を}正規化することが可能であり、その場合条件はより単純になる。

• 1,..., nのすべてのiについて、f _i ( v _i )>0 であり、v _iの反対面上のすべての点xについてf _i ( x )<0 です。特に、f _i ( v ₀ )<0 です。
• v ₀の反対側の面上のすべての点xについて、1,..., n のうちの少なくとも 1 つのiに対してf _i ( x )>0 が成立します。

この定理はクナスター・クラトフスキー・マズルキエヴィチの補題に基づいて証明できる。は不動点と零点の近似に使用できる。^[13]

中間値定理は連結性の位相的概念と密接に関連しており、特に 距離空間内の連結集合とRの連結部分集合の基本的な性質から導かれます。

• およびが距離空間、が連続写像、が連結な部分集合である場合、 は連結です。( * )${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E\subset X}$${\displaystyle f(E)}$
• 部分集合が連結であるとは、次の性質を満たす場合のみである: . ( ** )${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$

実際、連結性は位相的な性質であり、(*) は位相空間に一般化されます。と が位相空間、が連続写像、 が連結空間である場合、 は連結されています。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$ 連続写像の下での連結性の保存は、実変数の連続した実数値関数の性質である中間値定理を一般空間の連続関数に一般化したものと考えることができます。

前に述べた中間値定理の最初のバージョンを思い出してください。

中間値定理は、連結性のこれら2つの性質から直接導かれるものである。^[14]

中間値定理は自然な形で一般化されます。Xが連結な位相空間で、( Y ,<) が順序位相を備えた全順序集合で、f  : X → Y が連続写像であるとします。a と b が X 内の 2 つの点であり、u が < に関して f(a) と f(b) の間にある Y 内の点である場合、X内にf ( c ) = uとなるcが存在します。Rが連結であり、その自然な位相が順序位相であることに注目 すると、元の定理が復元されます。

ブラウワーの不動点定理は、1 次元で中間値定理の特殊なケースを与える関連定理です。

構成的数学では、中間値定理は正しくありません。代わりに、結論を弱める必要があります。

• およびを実数とし、閉区間から実数直線までの点単位連続関数とし、およびであると仮定する。すると、すべての正の数に対して、単位区間内に となる点が存在する。^[15]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f:[a,b]\to R}$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(a)<0}$${\displaystyle 0<f(b)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \vert f(x)\vert <\varepsilon }$

同様の結果がボルスク・ウラム定理であり、これは-球面からユークリッド -空間への連続写像は、常にいくつかの反対称点のペアを同じ場所に写像することを述べています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

一般に、ある閉じた凸次元形状とその形状内の任意の点（必ずしも中心とは限らない）を定義域とする任意の連続関数に対して、与えられた点に関して関数値が同じである 2 つの反対心点が存在します。 ${\displaystyle n}$

この定理は、ぐらついたテーブルを回転させると安定する理由（簡単に満たされる特定の制約に従う）を説明する基礎にもなります。^[16]

• 平均値定理 – 数学の定理
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• 毛玉定理 – 微分位相幾何学における定理
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• https://mathoverflow.net/questions/253059/estimate-intermediate-value-theorem-in-pure-constructive-mathematics

• 中間値定理 -結び目を切る際のボルツァーノ定理
• ボルツァーノの定理 by Julio Cesar de la Yncera、Wolfram Demonstration Project。
• Weisstein、Eric W.「中間値定理」。MathWorld。
• Belk, Jim (2012 年 1 月 2 日)。「中間値定理の 2 次元バージョン」。Stack Exchange。
• Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4