コンウェイ基数13関数

コンウェイの基数 13 関数は、イギリスの数学者 ジョン・H・コンウェイが中間値定理の逆の反例として作成した関数です。言い換えると、これは特定の中間値特性(任意の区間 において、関数はと の間のすべての値を取る) を満たす関数ですが、連続ではありません。 ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$

2018年に、すべての開集合が完全な実数直線上にマッピングされるという性質を持つ、はるかに単純な関数が、数学StackExchangeでアクセル・ベルグフェルトによって公開されました。^[1]この関数もどこでも連続ではありません。

コンウェイ基数13の関数は、「生成」アクティビティの一環として作成されました。この場合の課題は、あらゆる区間であらゆる実数値をとる、つまりどこでも射影的な関数である、わかりやすい関数を作成することでした。^{[2]したがって、}あらゆる点で不連続 です。

• すべての実数は、 13 進法で一意の標準的な方法で表すことができます。このような表現では、0 から 9 までの数字と、{A、B、C} などの 3 つの追加記号が使用されます。たとえば、数値 54349589 は 13 進法で表現されます。${\displaystyle x}$B34C128
• {A, B, C} の代わりに、{+, −, .} という記号を慎重に選択すると、13 進数の一部の数値は、10 進数の整形式の小数のような表現になります。たとえば、数値 54349589 は、13 進数で と表現されます。−34.128もちろん、ほとんどの数値はこのようには理解できません。たとえば、数値 3629265 は、13 進数で と表現されます9+0−−7。
• Conway の 13 進数関数は、実数xを受け取り、その 13 進数表現を記号のシーケンス{0, 1, ..., 9, +, −, .}と見なします。ある位置から先の表現が整形式の 10 進数rのように見える場合、f ( x ) = rとなります。それ以外の場合は、f ( x ) = 0 となります。(整形式とは、+ または − 記号で始まり、小数点記号が 1 つだけ含まれ、それ以外は 0～9 の数字のみを含むことを意味します)。たとえば、数x がという表現を持つ場合8++2.19+0−−7+3.141592653...、f ( x ) = +3.141592653...となります。

Conway の 13 進数関数は、次のように定義される関数です。引数の値を、13 個の記号を「数字」として使用して 31進数 ( 13 進数の「10 進数」 ) として記述します。0、1、...、9、A、B、Cです。末尾に C が繰り返されることはありません。先頭に符号がある場合があり、整数部と小数部を区別するためにどこかに 31 進数の点があるでしょう。これらは両方とも、後続の式では無視されます。これらの「数字」は、それぞれ 0 から 12 の値を持つと考えられます。Conway は当初、A、B、C の代わりに数字「+」、「-」、「.」を使用し、13 進数の「数字」すべてに下線を引いて、通常の 10 進数の数字や記号と明確に区​​別していました。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$

• ある時点から、 の 31 進展開が、すべての数字とが含まれる形式である場合、通常の10 進表記法になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle \{0,\dots ,9\},}$${\displaystyle f(x)=x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots }$
• 同様に、の3進展開がで終わる場合、${\displaystyle x}$${\displaystyle Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots ,}$${\displaystyle f(x)=-x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots .}$
• さもないと、${\displaystyle f(x)=0.}$

例えば：

• ${\displaystyle f(\mathrm {12345A3C14.159} \dots _{13})=f(\mathrm {A3C14.159} \dots _{13})=3.14159\dots ,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {B1C234} _{13})=-1.234,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {1C2​​34A567} _{13})=0.}$

• 中間値定理によれば、すべての連続実関数は中間値特性を持ちます。つまり、すべての区間 ( a、  b ) において、関数はとの間のすべての点を通過します。コンウェイの 13 進関数は、その逆が偽であることを示しています。つまり、中間値特性を満たしますが、連続ではありません。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b).}$
• 実際、コンウェイの 13 進関数は、より強い中間値特性、つまり、すべての区間 ( a、  b ) で関数がすべての実数を通過するという特性を満たしています。その結果、より強い不連続性特性、つまりどこでも不連続であるという特性も満たしています。${\displaystyle f}$
• 上記から、関数の不連続性に関してさらに次のことが分かります。つまり、そのグラフは において稠密です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Conway の 13 進数関数がこのより強い中間特性を満たすことを証明するために、( a ,  b ) を区間、c をその区間内の点、r を任意の実数とします。rの 13 進数エンコードを次のように作成します。 rの 10 進数表現から始めて、小数点を C に置き換え、 rの符号を示すために、先頭に A ( rが正の場合) または B ( rが負の場合) を付加します。 Conway の 13 進数関数の定義により、結果の文字列には次の特性があります。さらに、で終わる 13 進数文字列はすべてこの特性を持ちます。 したがって、 cの末尾を結果の数値で置き換えると、 f ( c ' ) = rになります。 の 31 進数表現に沿って十分に遠くまでこの変更を導入すると、新しい数値が依然として区間内にあることが保証されます。これは、任意の数rについて、すべての区間で次の点を見つけることができることを証明します。${\displaystyle {\hat {r}}}$${\displaystyle f({\hat {r}})=r.}$${\displaystyle {\hat {r}}}$${\displaystyle {\hat {r}},}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle (a,b).}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle f(c')=r.}$
• したがって、コンウェイの 13 進数関数はどこでも不連続です。つまり、 xで連続する実関数は、 xで局所的に有界である必要があります。つまり、 x の周りの何らかの区間で有界である必要があります。しかし、上で示したように、コンウェイの 13 進数関数は、すべての点の周りのすべての区間で有界ではありません。したがって、どこでも連続しているわけではありません。
• コンウェイの13進数関数は、あらゆる区間のほぼすべての実数を0にマッピングします。 ^[3]

• ダルブー関数 – すべての導関数は中間値の性質を持つリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

• Oman, Greg (2014). 「中間値定理の逆: コンウェイからカンター、剰余類、そしてその先へ」(PDF) . Missouri J. Math. Sci . 26 (2): 134–150. doi :10.35834/mjms/1418931955. 2016-08-20 にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。