ハーヴィッツの自己同型定理

数学において、フルヴィッツの自己同型定理は、種数g > 1のコンパクトリーマン面の自己同型群の順序を、向きを保存する 等角写像を介して制限し 、そのような自己同型の数は 84( g  − 1) を超えることができないことを述べています。最大値が達成される群はフルヴィッツ群と呼ばれ、対応するリーマン面はフルヴィッツ面と呼ばれます。コンパクト リーマン面は非特異複素射影代数曲線と同義であるため、フルヴィッツ面はフルヴィッツ曲線とも呼ばれます。^[1]この定理は、(Hurwitz 1893) で証明した アドルフ フルヴィッツにちなんで名付けられました。

フルヴィッツの境界は、標数 0 の体上の代数曲線、および、位数がpと互いに素な群に対する正の標数p >0 の体上でも成り立ちますが、 p が群の位数を割り切る場合は、正の標数p >0の体上では成り立ちません。たとえば、素体上で定義されたすべての点で分岐する射影直線y ² = x ^p − xの二重被覆は、種数g =( p −1)/2 を持ちますが、位数p ³ − pの群 PGL ₂ ( p )によって作用されます。

微分幾何学における基本的なテーマの 1 つは、正、ゼロ、負の曲率Kを持つリーマン多様体間の三分法です。これは、さまざまな状況やさまざまなレベルで現れます。コンパクトなリーマン面Xのコンテキストでは、リーマンの均一化定理を介して、これは異なる位相の面間の区別として見ることができます。

• X は球面、K  > 0の種数0のコンパクトなリーマン面です。
• X は平坦トーラス、または楕円曲線、 K  = 0の種数 1 のリーマン面です 。
• Xは種数が 1 より大きく、K  < 0である双曲面です。

最初の 2 つのケースでは、曲面X は無限個の共形自己同型を許容しますが (実際、共形自己同型群は球面の場合は次元 3、トーラスの場合は次元 1 の複素リー群です)、双曲リーマン面は離散的な自己同型集合のみを許容します。フルヴィッツの定理は、実際にはそれ以上のことが当てはまると主張しています。つまり、自己同型群の位数に種数の関数として一様な境界を与え、その境界が鋭いリーマン面を特徴付けます。

定理:を種数 の滑らかな連結リーマン面とします。このとき、その自己同型群のサイズは最大で です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle 84(g-1)}$

証明:今のところは有限であると仮定します (これは最後に証明されます)。 ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$

• 商写像 について考えます。 は正則関数によって作用するため、商は局所的に の形になり、商は滑らかなリーマン面になります。 商写像 は分岐被覆であり、分岐点は非自明な安定子を持つ軌道に対応することが以下でわかります。の種数を とします。${\displaystyle X\to X/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle z\to z^{n}}$${\displaystyle X/G}$${\displaystyle X\to X/G}$${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle X/G}$
• リーマン・フルヴィッツの公式により、和は商写像 の分岐点にわたっています。における分岐指数は、の原像の数(軌道上の点の数)、およびであるため、安定群の位数にちょうど等しくなります。 分岐点の定義により、すべての分岐指数に対して となります。$${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle p_{i}\in X/G}$${\displaystyle X\to X/G}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$${\displaystyle e_{i}\geq 2}$${\displaystyle k}$

ここで、右辺を と呼び、となるはずなので、 となります。方程式を整理すると、次のようになります。 ${\displaystyle |G|R}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle R>0}$

• ならば、そして${\displaystyle g_{0}\geq 2}$${\displaystyle R\geq 2}$${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• ならば、となり 、とな​​る。${\displaystyle g_{0}=1}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
• ならば、そして ${\displaystyle g_{0}=0}$${\displaystyle k\geq 3}$
  • ならば、​${\displaystyle k\geq 5}$${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • ならば、したがって、${\displaystyle k=4}$${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$
  • ならばと書きます。 と仮定します。 ${\displaystyle k=3}$${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$
    • ならば、そうなるように、${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$
    • もしそうなら ${\displaystyle p=2}$
      • ならば、そうなるように、${\displaystyle q\geq 4}$${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$
      • ならば、そうなる。${\displaystyle q=3}$${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$

結論は、。 ${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$

が有限であることを示すには、ホッジ分解と格子を保存するコホモロジーに が作用することに注意します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$

• 特に、 への作用は離散像との準同型を与える。${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle h(G)}$
• さらに、この像は上の自然な非退化エルミート内積を保存します。特に、この像はコンパクトなのユニタリ群に含まれます。したがって、この像は単に離散的であるだけでなく、有限でもあります。${\displaystyle h(G)}$ ${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle h(G)}$
• が有限核を持つことを証明することが残っている。実際、 が単射であることを証明しよう。 が上の恒等関数として作用すると仮定する。 が有限ならば、レフシェッツの不動点定理により、${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varphi \in G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$$${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

これは矛盾であり、無限です。は正の次元の閉じた複素部分多様体であり、 は滑らかな連結曲線 (つまり) であるため、 が成り立つ必要があります。したがって は恒等式であり、 は単射であり、 は有限であると結論付けられます。QED ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle G\cong h(G)}$

証明の系:種数 のリーマン面が自己同型を持つのは、 が指数2、3、7の 3 つの分岐点を持つ分​​岐被覆である場合に限ります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle 84(g-1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$

均一化定理により、任意の双曲面 X（つまり、Xのガウス曲率はすべての点で負の 1 に等しい）は双曲平面で覆われます。表面の等角写像は、双曲平面の方向保存自己同型に対応します。ガウス・ボネ定理により、表面の面積は

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1)。

Xの自己同型群G をできるだけ大きくするためには、この作用の基本領域Dの面積をできるだけ小さくする必要があります。基本領域が頂点角 π/p、π/q、π/r を持つ三角形で、双曲面のタイル張りを定義する場合、 p、q、r は1 より大きい整数であり、面積は

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r )。

つまり、次の式を満たす整数を求めているのです。

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

厳密に正で可能な限り小さい。この最小値は1/42であり、

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

はそのような整数の唯一の三つ組を与える。これは自己同型群の位数 | G | が

A( X )/A( D )≤168( g −1)である。

しかし、より慎重に推論すると、群G には向きを反転する変換が含まれる可能性があるため、これは 2 倍の過大評価であることがわかります。向きを保存する共形自己同型の場合、境界は 84( g − 1) です。

フルヴィッツ群の例を示すために、まず双曲面の (2,3,7) タイル張りから始めましょう。その完全な対称群は、角度 π/2、π/3、π/7 を持つ単一の基本三角形の辺をまたぐ反射によって生成される完全な(2,3,7) 三角形群です。反射によって三角形が反転して向きが変わるため、三角形を 2 つずつ結合して向きが保存されたタイル張りポリゴンを得ることができます。フルヴィッツ面は、双曲面のこの無限タイル張りの一部を、種数 g のコンパクトなリーマン面に「閉じる」ことによって得られます。これには、必ず 84( g − 1) 個の二重三角形タイルが必要になります。

次の 2 つの正規のタイリングには、必要な対称グループがあります。回転グループは、エッジ、頂点、面の周りの回転に対応し、完全な対称グループには反射も含まれ​​ます。タイリング内のポリゴンは基本ドメインではありません。(2,3,7) 三角形によるタイリングは、これら両方を洗練しており、正規ではありません。

ウィトフ構成により、さらに均一なタイリングが生成され、ここで示した 2 つの通常のタイリングを含む8 つの均一なタイリングが生成されます。これらはすべて Hurwitz 曲面に帰着し、曲面のタイリング (三角形分割、七角形によるタイリングなど) が生成されます。

以上の議論から、フルヴィッツ群Gは、2つの生成元aとbと3つの関係 を持つ群の有限商であるという性質によって特徴付けられると推論できる。

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

したがって、G は2 次と 3 次の 2 つの元によって生成される有限群であり、その積は 7 次です。より正確には、任意の Hurwitz 面、つまり、与えられた種数の面の自己同型群の最大次数を実現する双曲面は、与えられた構成によって得ることができます。これが Hurwitz の定理の最後の部分です。

最小のフルヴィッツ群は位数168の射影特殊線型群PSL(2,7)であり、対応する曲線はクラインの四次曲線である。この群はPSL(3,2)とも同型である。

次はマクビース曲線で、自己同型群 PSL(2,8) の位数は 504 です。 有限単純群の多くはフルヴィッツ群です。 たとえば、交代群のうち 64 を除くすべてがフルヴィッツ群であり、最大の非フルヴィッツ群の例は次数 167 です。 フルヴィッツ群である最小の交代群は A ₁₅です。

大きな階数の射影特殊線型群のほとんどはハーウィッツ群です (Lucchini、Tamburini & Wilson 2000)。階数が低い場合、ハーウィッツ群となる群は少なくなります。7を法とするpの位数がn _pの場合、q =7 またはq = p ^{n _p}の場合にのみPSL(2, q ) がハーウィッツ群となります。実際、q = 2の場合にのみPSL(3, q ) がハーウィッツ群となり、 PSL(4, q ) がハーウィッツ群となることはなく、 q = 7 ⁴またはq = p ^{n _p}の場合にのみPSL(5, q ) がハーウィッツ群となります(Tamburini & Vsemirnov 2006)。

同様に、リー型の多くの群はハーウィッツ群です。高階数の有限古典群はハーウィッツ群です (Lucchini & Tamburini 1999)。G2型の例外リー群と 2G2 型のリー群は、ほぼ常にハーウィッツ群です (Malle 1990)。低階数の例外リー群とねじれリー群の他の族は、ハーウィッツ群であることが示されています (Malle 1995)。

ハーヴィッツ群として生成できる散在群は12 個あります。ヤンコ群J ₁、 J ₂、 J ₄、フィッシャー群Fi ₂₂、 Fi' ₂₄、ルドバリス群、ヘルド群、トンプソン群、原田–ノートン群、第 3コンウェイ群Co ₃、ライオンズ群、およびモンスター群です (Wilson 2001)。

種数gのリーマン面Xで得られる最大の|Aut( X )|を、2≤ g _≤10に対して、 |Aut( X0 )|が最大となる _面X0とともに以下に示します。

この範囲では、種数g =3 およびg =7 の Hurwitz 曲線のみが存在します。

フルヴィッツ面の概念は、いくつかの方法によって一般化することができ、少数の属を除くすべての属に例がある定義にすることができます。おそらく最も自然なのは、「最大対称」面です。これは、等しく対称な面を介して連続的に変更することができず、元の面の対称性を適切に含む面になる面です。これは、すべての有向コンパクト属で可能です (上記の「低属の自己同型群」セクションを参照)。

• (2,3,7) 三角形群