ガブリエルの角笛

ガブリエルの角笛（トリチェリのトランペットとも呼ばれる）は、無限の表面積と有限の体積を持つ幾何学図形の一種です。この名前は、大天使ガブリエルが審判の日を告げるために角笛を吹くというキリスト教の伝統に由来しています。この図形の特性は、17世紀に イタリアの物理学者で数学者のエヴァンジェリスタ・トリチェリによって初めて研究されました。

これらの多彩な非公式な名前と宗教への言及は後になってから現れた。^[1] トリチェリ自身の名前は、1643年に書かれた論文「平面で切断された切頂鋭角双曲立体について」のラテン語のタイトルに見られる。[2] 翌年に出版された彼のオペラ幾何学の第1巻第1部には、その論文と、切頂鋭角双曲立体の^体積に関する定理の2番目のよりオーソドックスな（当時としては）アルキメデスの証明が含まれていた。 [ 2 ] [ 3 ^]この 名前は、18世紀の数学辞書で使用されており、ハリスの1704年の辞書とストーンの1726年の辞書では「Hyperbolicum Acutum」、ダランベールの1751年の辞書ではフランス語訳のSolide Hyperbolique Aiguが使用されている。^[1]

同時代の人々から卓越した人物とみなされていたトリチェリだが、有限の体積や面積を持つ無限に長い形状を描いたのは彼が初めてではない。^{[4] 14世紀の}ニコラ・オレーム の作品は、彼らには忘れられていたか、知られていなかった。^[4] オレームは、有限の総面積 2 の正方形 2 つを等比級数で細分化し、その部分を一連の長方形からなる一次元方向に無限に長い図形に再配置することで構成される無限に長い形状を提唱していた。^[5]

ガブリエルの角は、 のグラフを 領域 で取り、x軸を中心に3次元で回転させることによって形成されます。 この発見は、微積分が発明される前にカヴァリエリの原理 を使用して行われましたが、今日では、微積分を使用して、 x = 1からx = a（ただし、a > 1 ）の間の角の体積と表面積を計算できます。^[6]積分（詳細は回転体と回転面を参照）を使用すると、体積Vと表面積Aを見つけることができます。 $${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$$ ${\displaystyle x\geq 1}$$${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),}$$ $${\displaystyle A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.}$$

値a は必要なだけ大きくすることができますが、方程式からx = 1とx = a の間の部分のホーンの体積がπ を超えることはありません。ただし、 a が増加するにつれて徐々にπに近づきます。数学的には、a が無限大に近づくにつれて体積はπに近づきます。微積分の極限表記法を使用すると、^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}$$

上記の表面積の公式は、面積の下限を 2 πの自然対数a倍としています。 a が無限大に近づくにつれて、aの自然対数の上限はなくなります。つまり、この場合、ホーンの表面積は無限大です。つまり、^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$$

トリチェリの元々の非微積分的証明は、前述のものとは若干異なる、鋭角双曲立体をx 軸に垂直な平面で切断し、その平面の反対側から同じ底の円柱で延長して構築されたオブジェクトを使用していました。^[8] 微積分法では、切断面を に設定してx軸に沿って積分するのに対し 、トリチェリは、この複合立体（追加された円柱を含む）の体積を、その内部にある一連の同心直円柱の表面積をy 軸に沿って合計することによって計算し、これが（有限の）体積がわかっている別の立体内の面積を合計することと同等であることを示しました。^[9]${\displaystyle x=1}$

現代の用語では、この立体は関数の回転面を構築することによって作成された（bが正の場合）^[9]

${\displaystyle \quad {}y={\begin{cases}{\dfrac {1}{c}},&{\text{where }}0\leq x\leq b,\\{\dfrac {1}{x}},&{\text{where }}b\leq x.\end{cases}}}$

トリチェリの定理によれば、その体積は高さと半径を持つ直円柱の体積と同じである：^{[9] [8]}${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

定理。無限に長い鋭角双曲立体を、軸に垂直な平面で切断したものと、同じ底辺の円筒は、その底辺が双曲線の緯度（つまり軸）であり、高さがこの鋭角体の底辺の半径に等しい直円筒に等しい。

— デ・ソリッド・ハイパーボリコ・アキュト。エヴァンジェリスタ・トリチェッリ。 1643年。G. LoriaとG. Vassura 1919年翻訳。^[8]

トリチェリは、立体の体積は、半径が、高さがである一連の同心円状の直円筒の表面積から導かれることを示した。^[9] これらの円筒の表面積（側面のみ）を式に代入すると、 のすべての円筒の表面積は一定となる。^[9] これは半径 の円の面積でもあり、円筒の入れ子になった表面（立体の体積を埋める）は、半径 の円を0 から まで積み重ねた面積に等しいため、前述の直円筒の体積は であることがわかっている：^[9]${\displaystyle 1/b\geq r\geq 0}$${\displaystyle h=1/r}$${\displaystyle 2\pi rh=2\pi r\times 1/r=2\pi }$${\displaystyle {\sqrt {2}},}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle V=\pi r^{2}h=\pi ({\sqrt {2}})^{2}\times 1/b=2\pi /b}$

Propterea omnes simul superficies cylindricae、hoc est ipsumsolidum acutum 、unacum cylindro based 、aequale eritomnibus circulis simul、hoc est cylindro 。クォード・エラットなど${\displaystyle ebd}$${\displaystyle fedc}$${\displaystyle acgh}$

(したがって、円柱のすべての面を合わせたもの、つまり鋭角立体自体は、底辺 の円柱と同じであり、そのすべての円を合わせたもの、つまり円柱 に等しくなります。)${\displaystyle EBD}$${\displaystyle FEDC}$${\displaystyle ACGH}$

— デ・ソリッド・ハイパーボリコ・アキュト。エヴァンジェリスタ・トリチェッリ。 1643。ジャクリーン A. ステッドール訳、2013。^[10]

(追加された円柱の体積は当然 なので、切断された鋭角双曲立体のみの体積は です。 の場合、現代の微積分の導出のように、 です。) ${\displaystyle V_{c}=\pi r^{2}\times h=\pi (1/b)^{2}\times b=\pi /b}$${\displaystyle V_{s}=V-V_{c}=2\pi /b-\pi /b=\pi /b}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle V_{s}=\pi }$

『オペラ・ジオメティカ』では、これは（切頂）鋭角双曲立体の体積の2つの証明のうちの1つである。^[3] この証明でカヴァリエリの不可分数を使用したことは当時物議を醸し、その結果は衝撃的であった（トリチェリは後にジル・ド・ロベルヴァルがそれを反証しようとしたと記録している）。そのため、『オペラ・ジオメティカ』が出版されたとき、つまり『鋭角双曲立体について』の翌年、トリチェリは正統派アルキメデスの原理に基づいて、直円柱（高さ半径）が体積の上限と下限の両方であることを示す2番目の証明も提供した。^{[3]皮肉なことに、これはアルキメデスが}『放物線の求積法』で 機械的証明と幾何学的証明の2つを提供した際の慎重さの反映であった。^[11]${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ガブリエルの角の特性が発見されたとき、xy平面の無限大の断面をx軸を 中心に回転させるときに 有限の体積の物体が生成されるという事実は、パラドックスであると考えられていました。xy 平面にある断面の面積 は無限ですが、それに平行な他の断面の面積は有限です。したがって、断面の「加重合計」から計算される体積は有限です。

もう 1 つのアプローチは、半径が徐々に減少する円板の積み重ねとして立体を扱うことです。半径の合計は、無限大に至る調和級数を生成します。ただし、正しい計算は、それらの平方の合計です。すべての円板の半径はr = 1/ xで、面積はπ r ²またはπ/ x ²です。級数 Σ 1/ x は 発散しますが、級数Σ 1/ x ^{2 は} 収束します。一般に、任意の実数ε > 0に対して、級数Σ 1/ x ^{1+ ε は}収束します。(この結果の詳細については、 リーマン ゼータ関数の特定の値を参照してください)

この明らかなパラドックスは、トーマス・ホッブス、ジョン・ウォリス、ガリレオ・ガリレイなど当時の多くの主要な思想家が関与した無限の性質をめぐる論争の一部を形成していた。^[12]

平面上の長さと面積にも同様の現象が当てはまります。1 から無限大までの曲線1/ x ²と−1/ x ²の間の面積は有限ですが、2 つの曲線の長さは明らかに無限大です。

アイザック・バローは、1666年の著書『数学の講義』第16講義で、トリチェリの定理がアリストテレスの一般論（『天体論』第1巻第6部より）「有限と無限の間には比例関係はない」を制約していると主張した。^{[13] [14]}アリストテレス自身は、厳密に言えば、無限体の物理的存在の不可能性について論じていたのであって、幾何学的抽象としての不可能性について論じていたのではない。^[13] バローは、アリストテレスの格言やその他の幾何学的公理は（第7講義で述べたように）「あるより高度で普遍的な科学」から来ており、数学と物理学の両方の基盤となっているという、当時の17世紀の見解を採用していた。^[15] したがって、有限（体積）と無限（面積）の関係にある物体についてのトリチェリの実証は、少なくとも部分的にはこの格言と矛盾していた。^[15] バローの説明によれば、アリストテレスの格言は依然として当てはまるが、同じ種類のもの、つまり長さと長さ、面積と面積、体積と体積などを比較する場合に限定されるという。^[15] 2つの異なる属のものを比較する場合には当てはまらない（例えば面積と体積）ため、無限の面積を有限の体積に結び付けることができる。 ^[15]

他の人々は、トリチェリの定理を、現代の観点から数学とは無関係な、自分たちの哲学的主張を強化するために利用した。^[16] イグナス＝ガストン・パルディーズは1671年に鋭角双曲立体を用いて有限の人間は無限を理解できると主張し、それを神と非物質的な魂の存在の証拠として提示した。^{[16] [17]} 有限の物質は無限を理解できないので、人間がこの証明を理解できるという事実は、人間が物質以上のものであり、非物質的な魂を持っていることを示しているとパルディーズは主張した。^[17] 対照的に、アントワーヌ・アルノーは、人間がここでパラドックスを認識したため、人間の思考は理解できる範囲が限られており、したがって神や宗教の真実を反証することはできないと主張した。^[16]

ホッブスとウォリスの論争は、実は数学の領域に留まっていた。ウォリスは無限と不可分という新しい概念を熱心に受け入れ、トリチェリの研究に基づいてさらに結論を導き、トリチェリの幾何学的議論ではなく算術を採用するようにそれを拡張した。一方ホッブスは、数学は有限なものに対する現実世界の認識から派生したものであるため、数学における「無限」は「不定」を意味するにすぎないと主張した。^[18] この論争は、両者による王立協会および哲学論文集への厳しい内容の書簡につながり、ホッブスはウォリスを「気が狂っている」と罵倒した。^{[19] 1672年、ホッブスは、無限に長いものは無限の体積を持つに違いないと「自然光」（つまり常識）が教えてくれるという主張を貫くために、}無限に拡張された有限の立体 に関する定理としてトリチェリの定理を再構成しようとした。^[19] これは、幾何学におけるゼロ幅の線という概念の使用は誤りであり、カヴァリエリの不可分性の概念は根拠に欠けているというホッブズの他の主張と一致している。^[20] ウォリスは、トリチェリに基づいて、有限の面積/体積を持ちながら重心を持たない幾何学的形状が存在すると主張し、これを理解するには「ホッブズがマスターしている以上の」幾何学と論理の知識が必要であると述べた。[ ^21] 彼はまた、議論を算術的な用語で再構成し、幾何学的不可分性の列ではなく、算術的数列の和、算術的無限小の列とした。^[22]

オレームはすでに、無限に長い形状が有限の面積を持つことができ、一方の次元が無限に大きくなると、もう一方の次元が無限に小さくなることを実証していた。^[23] バロー自身の言葉によれば、「一方の次元の無限の減少は、もう一方の次元の無限の増加を補う」^[23] 。これは、鋭角双曲立体の場合、アポロニウスの 双曲線 の方程式によるものである。^[24]${\textstyle xy=1}$

角は有限の体積を持ちながら表面積は無限であるため、有限の量の塗料で角を満たすことはできるが、その塗料は表面を塗るのに十分ではないという明らかな矛盾がある。^[25] しかし、この矛盾もまた、「塗料」の不完全な定義、または充填と塗装の行為に対して矛盾した塗料の定義を使用することによって引き起こされる明らかな矛盾である。^[26]

無限に分割可能（または無限に細くしたり、ホッブスが問題視したゼロ幅の幾何学的線​​のように単にゼロ幅にしたりできる）で、無限の速度で移動できる「数学的」塗料を仮定することも、現実世界の塗料の特性を備えた「物理的」塗料を仮定することもできる。^[26] どちらでも、明らかなパラドックスは消える。^[26]

「数学的な」絵の具の場合、無限の表面積には無限の絵の具の体積が必要であるという結論はまず出ない。無限の表面積とゼロの厚さの絵の具の積は不確定だからである。 ^[26]

物理的な塗料では、固体の外側を塗るには、厚さがゼロではないため、無限の量の塗料が必要になります。トリチェリの定理は、固体の外側に有限の幅の層があることについては言及していません。実際には、その層は無限の体積を持っています。したがって、塗料の無限の体積と、覆うべき無限の表面積の間には矛盾はありません。 ^[26]また、トリチェリの定理の有限の体積である固体の内部を物理的な塗料で塗ることは不可能であるため、矛盾は存在しません。^[26]これは、物理的な塗料が固体の体積の近似値しか満たすことができないためです。 ^{[27] [28]}分子は3次元空間を完全にタイル張りすることはなく、隙間を残します。また、固体の「喉」が狭くなりすぎて塗料分子が流れ落ちないポイントがあります。^{[26] [27]}

物理的な絵の具は有限の速度で流れ、流れ落ちるのに無限の時間がかかります。 [ ^29]これは、無限の速度で流れると仮定しない限り、厚さがゼロの「数学的な」絵の具にも当てはまります。^[29]

十分に速い速度で薄くなる無限速度の塗料など、「数学的」塗料に関する他のさまざまな仮定も、このパラドックスを排除します。塗料の体積については、塗られる表面積A が無限大に近づくにつれて、塗料の厚さはゼロに近づきます。^[30]固体自体と同様に、ある次元で塗装される表面積が無限に増加すると、別の次元、つまり塗料の厚さが無限に減少することで補われます。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi /A}$

トリチェリの鋭角双曲立体の逆は、表面積は有限だが体積は無限である回転面である。

トリチェリの定理に対して、マリン・メルセンヌから学んだ後、クリスティアーン・ホイヘンスとルネ・フランソワ・ド・スルーズは、定理を他の無限に長い回転体に拡張することについて手紙を交わしたが、これはそのような逆定理を見つけるものと誤って認識されていた。^[31]

ユトレヒト大学の数学教授ヤン・A・ファン・マーネンは1990年代に、クリスチャンサンでの会議で、1658年にド・スルーズがホイヘンスにそのような形を発見したと書いたと誤って述べたと報告した。^[32]

エビ オペラの献身者は、血管のことを意味し、非マグニのポンデレ、暫定的なヘルオ ヌルス エビバットを意味します。

（私は、重さは小さいが、どんなに酒好きでも空にできないほどのコップ（または花瓶）の寸法を示します。）

—  de Sluse ホイヘンスへの手紙、翻訳 Jan A. van Maanen ^[32]

これに対して香港大学のトニー・ガーディナーとマン・キョン・シウは、有限の表面積を持つ回転面は必然的に有限の体積を持つと答えた。 ^[32]

ヴァン・マーネン教授は、これがド・スルースの手紙の誤解であり、ド・スルースが実際に報告していたのは、ディオクレスのシソイドとその漸近線をy 軸を中心に回転させることによって形成される固体の「ゴブレット」形状が有限の体積（したがって「小さな重量」）を持ち、無限の体積の空洞を囲んでいるということであると認識した。^[33]

ホイヘンスはまず、回転した2次元形状（シソイドとその漸近線の間）の面積が有限であることを示し、その面積はシソイドの生成円の面積の3倍であると計算した。そしてデ・スルースはパップスの重心定理を適用して、回転体の体積は有限であり、有限の面積と有限の回転軌道の積であることを示した。^[33]回転する 面積は有限である。デ・スルースは回転して得られる体積の表面積については実際には何も述べていない。^[33]

このような逆は、連続関数を閉集合上で回転させるときには 起こりません (ユークリッド幾何学を仮定)。

f  : [1, ∞) → [0, ∞)を連続的に微分可能な関数とします。グラフy = f ( x )のx軸周りの回転体をSと書きます 。Sの表面積が有限であれば、体積も有限です。

側面積A は有限なので、上限: したがって、上限sup{ f ( x ) | x ≥ t ₀ } が有限になる ようなt _{0 が} 存在します。したがって、 f は連続関数であり、 fが区間[1, ∞)で制限されることを意味するため、 は有限でなければなりません。最後に、体積 : したがって、面積Aが有限であれば、体積Vも有限でなければなりません。$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}-f(1)^{2}&=\limsup _{t\to \infty }\int _{1}^{t}\left(f(x)^{2}\right)'\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }\left|\left(f(x)^{2}\right)'\right|\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{\infty }2f(x)\left|f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{\pi }}\\&<\infty .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle M=\sup\{f(x)\mid x\geq 1\}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\cdot A.\end{aligned}}}$$

• コッホ雪片 – フラクタル曲線
• ピカールホーン – ウィルキンソンマイクロ波異方性プローブによると、宇宙の「形」を表す円錐形の構造。Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 擬似球面 – 幾何学的表面
• 宇宙の形 – 宇宙の局所的および全体的な幾何学
• ゼノンのパラドックス – 哲学的問題集

• PlanetMath の Torricelli のトランペット
• ワイスタイン、エリック W.「ガブリエルの角笛」。MathWorld。
• 「ガブリエルの角笛」ジョン・スナイダー著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。
• ガブリエルの角笛: 有限の体積と無限の表面積を持つ固体の理解、Jean S. Joseph 著。