ゲーデル計量

アインシュタインテンソルの成分（上記のいずれかの座標系に関して）は以下のとおりです。

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (-1,1,1,1)+2\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,0,0).}$

ここで、第1項はラムダ真空解の特徴を示し、第2項は無圧完全流体または塵解の特徴を示す。宇宙定数は、塵の物質密度を部分的に相殺するように慎重に選択されている。

ゲーデル時空は、アインシュタイン場の方程式の正則（特異点のない）解の稀有な例である^。ゲーデルの元の図は測地線的に完全であり、特異点を持たない。したがって、それはグローバルな図であり、時空はR⁴と同相であるため、単連結である。

任意のローレンツ時空において、4階リーマンテンソルは、（ある事象において）4次元接ベクトル空間上の多重線形演算子であるが、その事象における6次元双ベクトル空間上の線形演算子である。したがって、固有値である根を持つ特性多項式が存在する。ゲーデル時空では、これらの固有値は非常に単純である。

• 三重固有値ゼロ、
• 二重固有値${\displaystyle -\omega ^{2}}$、
• 単一固有値${\displaystyle \omega ^{2}}$。

この時空は、時間変換によって生成できるキリングベクトルの5次元リー代数を許容する。${\displaystyle \partial _{t}}$2つの「空間的翻訳」${\displaystyle \partial _{y},\;\partial _{z}}$さらに、2つのキリングベクトル場が追加されます。

${\displaystyle \partial _{x}-y\,\partial _{y}}$

そして

${\displaystyle -2\exp(-x)\,\partial _{t}+y\,\partial _{x}+\left(\exp(-2x)-y^{2}/2\right)\,\partial _{y}.}$

等長変換群は「推移的」に作用します（なぜなら、次のように変換できるからです）。${\displaystyle t,y,z}$4番目のベクトルで、${\displaystyle x}$）、したがって時空は「均質」である。しかし、ご覧のとおり「等方的」ではない。

提示されたデモンストレーターは、スライスが${\displaystyle x=x_{0}}$推移的なアーベル3次元変換群を許容するため、解の商を定常円筒対称解として再解釈することができる。スライス${\displaystyle y=y_{0}}$SL(2, R )アクションを可能にし、スライス${\displaystyle t=t_{0}}$ビアンキ III を認める (第 4 キリングベクトル場を参照)。これは、ビアンキ I、III、および VIII 型の例を示す 3 次元部分群を含む対称群として書き直すことができる。5 つのキリングベクトルのうち 4 つと曲率テンソルは、座標 y に依存しない。ゲーデル解は、因子Rと 3 次元ローレンツ多様体 (署名−++)のデカルト積である。

局所等長変換を除けば、ゲーデル解は、キリングベクトルの5次元リー代数を許容するアインシュタイン場方程式の唯一の完全流体解であることが示される。

ゲーデル解のワイルテンソルはペトロフ型Dである。これは、適切な観測者を選べば、潮汐力がニュートン重力における点質量から感じられる潮汐力と非常に近いことを意味する。

潮汐力をより詳細に研究するために、リーマンテンソルのベル分解を3つの部分に計算することができます。潮汐力または電気重力テンソル（潮汐力を表す）、磁気重力テンソル（回転する試験粒子に対するスピン間力や磁気に類似したその他の重力効果を表す）、および地形重力テンソル（空間断面曲率を表す）です。

塵粒子と共に移動する観測者は、潮汐テンソル（${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$（我々の枠組みで評価されるコンポーネント）は次の形式をとる。

${\displaystyle {E\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,1).}$

つまり、それらは、区別された方向に対して直交する等方性潮汐張力を測定する。${\displaystyle \partial _{y}}$。

重力磁気テンソルは恒等的にゼロになる

${\displaystyle {B\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=0.}$

これはこの時空の特異な対称性によるものであり、塵の想定される「回転」には、回転する物質によって生成される重力場に通常伴う重力磁気効果がないことを示唆している。

リーマンテンソルの主要なローレンツ不変量は以下の通りである。

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=12\omega ^{4},\;R_{abcd}{{}^{\star }R}^{abcd}=0.}$

第二不変量がゼロになるということは、一部の観測者では重力磁気が観測されないことを意味し、これは先ほど述べたことと一致する。第一不変量（クレッチマン不変量）が一定であるという事実は、ゲーデル時空の均質性を反映している。

上記のフレーム場はどちらも慣性場であり、${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$しかし、時間的単位ベクトルによって定義される時間的測地線合同の渦度ベクトルは

${\displaystyle -\omega {\vec {e}}_{2}}$

これは、近くの塵粒子の世界線が互いにねじれていることを意味する。さらに、合同のせん断テンソルは${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$光が消えるため、塵粒子は剛体回転を示す。

特定の観測者の過去の光円錐を調べると、直交するヌル測地線が${\displaystyle \partial _{y}}$観測者に向かって螺旋状に内側に回転するため、放射状に見ると、他の塵粒子が徐々に時間遅れの位置にあるのが見える。しかし、解は静止しているため、塵粒子に乗っている観測者は、他の粒子が自分の周りを回転しているのを見ることができないように見えるかもしれない。しかし、上記の最初のフレーム (${\displaystyle {\vec {e}}_{j}}$) はチャート上では静止しているように見えるが、フェルミ・ウォーカー微分は、それがジャイロスコープに対して回転していることを示している。2 番目のフレーム (${\displaystyle {\vec {f}}_{j}}$）は図上では回転しているように見えるが、ジャイロ安定化されており、塵の粒に乗っている回転しない慣性観測者は、他の塵の粒が角速度で時計回りに回転しているのを実際に見ることになる。${\displaystyle \omega }$彼の対称軸について。さらに、光学像は回転方向に沿って拡大およびせん断されることがわかった。

自転していない慣性系の観測者が自身の対称軸に沿って観察すると、予想通り、同軸上の自転していない慣性系の仲間は、自分に対して自転していないように見える。

ホーキングとエリスによれば、この時空のもう一つの注目すべき特徴は、不要なy座標が抑制されている場合、特定の塵粒子の世界線上のイベントから放出された光が外側に螺旋を描き、円形の尖点を形成し、その後内側に螺旋を描き、元の塵粒子の世界線上の次のイベントで再び収束するという事実である。これは、この時空に直交して見ている観測者が、${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$方向は有限の遠方しか見ることができず、また過去の自分自身を見ることもできる。

尖点とは、測地線ではない閉じた零曲線である。（より詳細な説明については、別の座標系を用いた以下の説明を参照のこと。）

平坦な時空では、時間軸の周りに（直交して）描かれた円は、それ自体が空間的なループになります。これは、十分に小さな円であればゲーデル時空でも当てはまりますが、円のサイズを大きくすると、近いフレームに対してねじれた遠いフレームに移動します。このねじれによって、（元々は空間的な）ループの方向が最終的に時間円錐に変わり、より大きなループは閉じた時間的曲線（CTC）になります。ゲーデル時空は均質であるため、それは、その中のすべてのイベントにCTCが存在することを意味します。この因果的異常は、ゲーデル自身によってモデルの要点とみなされていたようで、彼は明らかに、アインシュタインの時空方程式が、私たちが直感的に理解する時間（つまり、時間が過ぎ去り、過去はもはや存在しないという哲学者が現在主義と呼ぶ立場）と一致しないことを証明しようと努めていました。一方、ゲーデルは永遠主義の哲学のようなものを主張していたようです。^{[ 2 ]}

アインシュタインはゲーデルの解決策を知っており（二人は親しい友人だった）、著書『アルベルト・アインシュタイン：哲学者・科学者』^{[ 3 ]}の中で、もし「系列がそれ自体で閉じている」（つまり、閉じた時間的曲線である）一連の因果関係のある出来事がある場合、その系列のある出来事が系列内の別の出来事よりも「早く」起こったのか「遅く」起こったのかを定義する良い物理的方法はないことを示唆している、と述べている。

その場合、「以前－以後」という区別は、宇宙論的な意味で遠く離れた世界点においては放棄され、ゲーデル氏が言及したような、因果関係の方向性に関するパラドックスが生じる。

重力方程式のこのような宇宙論的解（A定数がゼロでないもの）は、ゲーデル氏によって発見された。これらの解が物理的な観点から排除されるべきではないかどうかを検討することは興味深いだろう。

ゲーデル時空が境界のない時間的超スライス（例えばコーシー曲面）を許容するとすれば、そのようなCTCは奇数回ゲーデル時空と交差することになり、時空が単連結であるという事実に矛盾する。したがって、この時空は大域的に双曲的ではない。

ゲーデルはどのようにして解を見出したのかを説明していませんが、多くの導出方法が考えられます。ここではそのうちの一つを概説し、同時に上記の主張のいくつかを検証します。

円筒形の図表に、半径座標の2つの未定関数を特徴とするシンプルなフレームから始めましょう。

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\,{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{b(r)}}\,\left(-a(r)\,\partial _{t}+\partial _{\varphi }\right)}$

ここでは、時間的単位ベクトル場を考える。${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$塵粒子の世界線に接するものとして、それらの世界線は一般にゼロでない渦度を示すが、膨張とせん断はゼロになる。アインシュタインテンソルが塵項と真空エネルギー項に一致することを要求しよう。これは、完全流体に一致することを要求するのと同等である。つまり、我々の座標系に関して計算されたアインシュタインテンソルの成分が次の形式をとることを要求している。

${\displaystyle G^{{\hat {i}}{\hat {j}}}=\mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

これにより条件が与えられます

${\displaystyle b^{\prime \prime \prime }={\frac {b^{\prime \prime }\,b^{\prime }}{b}},\;\left(a^{\prime }\right)^{2}=2\,b^{\prime \prime }\,b}$

これらをアインシュタインテンソルに代入すると、実際には次のようになることがわかります。${\displaystyle \mu =p}$このようにして構築できる最も単純な非自明な時空では、この係数は明らかに動径座標の非ゼロかつ定数関数となる。具体的には、少し先見の明を持って、${\displaystyle \mu =\omega ^{2}}$これにより

${\displaystyle b(r)={\frac {\sinh({\sqrt {2}}\omega \,r)}{{\sqrt {2}}\omega }},\;a(r)={\frac {\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}{\omega }}+c}$

最後に、この枠組みが以下の条件を満たすことを要求しよう。

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }+O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$

これにより${\displaystyle c=-1/\omega }$そして私たちのフレームは

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {{\sqrt {2}}\omega }{\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{\varphi }-{\frac {{\sqrt {2}}\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}{1+\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{t}}$

計量テンソルから、ベクトル場が${\displaystyle \partial _{\varphi }}$は、半径が小さい場合は空間的であるが、${\displaystyle r=r_{c}}$どこ

${\displaystyle r_{c}={\frac {\operatorname {arccosh} (3)}{{\sqrt {2}}\omega }}}$

これは、その半径では次のことが分かるためです。${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }-\partial _{t}}$⁠、だから${\displaystyle {\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }={\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{0}}$したがって、それはnullです。円${\displaystyle r=r_{c}}$ある時点tにおいて、それは閉じたヌル曲線であるが、ヌル測地線ではない。

上記のフレームを調べると、座標が${\displaystyle z}$は本質的ではない。我々の時空は、符号が −++ の 3 次元多様体を持つ因子Rの直接積である。抑制${\displaystyle z}$この3次元多様体に注目するために、対称軸から外側へ移動するにつれて光円錐の見え方がどのように変化するかを調べてみましょう。${\displaystyle r=0}$:

臨界半径に達すると、円錐は閉じた零曲線に接するようになる。

臨界半径において${\displaystyle r=r_{c}}$ベクトル場${\displaystyle \partial _{\varphi }}$はゼロになる。半径が大きい場合、それは時間的である。したがって、対称軸に対応して、円で構成され、特定の観測者に対応する時間的合同関係が存在する。ただし、この合同関係は円筒の外側でのみ定義される。${\displaystyle r=r_{c}}$。

これは測地線上の合同ではなく、この族の各観測者は、進路を維持するために一定の加速度を維持しなければならない。半径が小さい観測者はより強く加速しなければならない。${\displaystyle r\rightarrow r_{c}}$加速度の大きさは発散するが、これは予想通りである。${\displaystyle r=r_{c}}$これはヌル曲線です。

対称軸上の事象の過去の光円錐を調べると、次の図が得られます。

図中の垂直座標線は塵粒子の世界線を表していますが、図上では直線に見えても、これらの曲線によって形成される合同線にはゼロでない渦度が存在するため、世界線は実際には互いにねじれています。ヌル測地線が上記のように内側に螺旋状に伸びているということは、観測者が放射状に外側を見ているとき、近くの塵粒子を現在の位置ではなく、以前の位置に見ていることを意味します。これは、塵粒子が実際に互いに回転している場合に予想される結果です。

ヌル測地線は幾何学的には直線である。図中では、塵粒子が静止しているように見えるように座標が「回転」しているため、螺旋のように見えるだけである。

ホーキングとエリスによれば（下記に引用されているモノグラフを参照）、対称軸上の事象から放出されたすべての光線は、軸上の後の事象で再び収束し、ヌル測地線は円形の尖点（ヌル曲線ではあるが、ヌル測地線ではない）を形成する。

これは、ゲーデルのラムダダスト解においては、各事象の絶対的な未来は、私たちが素朴に予想するものとは全く異なる性質を持つことを意味する。