ヴァン・シュトックム・ダスト

一般相対性理論では、ファン・シュトックム・ダストは、円筒対称軸の周りを回転するダストによって重力場が生成されるアインシュタイン場方程式の正確な解です。ダストの密度はこの軸からの距離とともに増加するため、この解はかなり不自然ですが、一般相対性理論で知られている最も単純な解の 1 つとして、教育的に重要な例として挙げられます。

この溶液は、 1924 年のコルネリウス ランチョスによるかなり以前の発見とは独立して 1938 年に再発見したウィレム ヤコブ ファン シュトックムにちなんで名付けられました。現在、この溶液をランチョス - ファン シュトックム ダストと呼ぶことが推奨されています。

この解を得るための 1 つの方法は、流体が剛体回転を示す円筒対称の完全流体解を探すことです。つまり、流体粒子の世界線が、渦度はゼロではないが膨張とせん断がゼロである時間的合同を形成することを要求します。(実際、ダスト粒子は力を感じないので、これは時間的測地線合同であることがわかりますが、これを事前に仮定する必要はありません。)

この要求に対応する単純な仮定は、 の 2 つの未決定関数を含む次のフレーム フィールドによって表現されます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=f(r)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=f(r)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }-h(r)\,\partial _{t}}$

誤解を避けるために、二重コフレームを取ることは

${\displaystyle \sigma ^{0}=dt+h(r)r\,d\varphi ,\;\sigma ^{1}={\frac {1}{f(r)}}\,dz,\;\sigma ^{2}={\frac {1}{f(r)}}\,dr,\;\sigma ^{3}=rd\varphi }$

同じ2つの未定関数を使って計量テンソルを与えます。

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

掛け算すると

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r\,dt\,d\varphi +(1-h(r)^{2})r^{2}\,d\varphi ^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{2}}{f(r)^{2}}}}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;0<r<\infty ,\;-\pi <\varphi <\pi }$

このフレームに関して、2つの未定関数を用いてアインシュタインテンソルを計算し、その結果が、時間的単位ベクトルが流体粒子の世界線にどこでも接する完全な流体解に適した形になることを要求します。つまり、 ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle G^{{\hat {m}}{\hat {n}}}=8\pi \mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+8\pi p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

これにより条件が与えられます

${\displaystyle f^{\prime \prime }={\frac {(f^{\prime })^{2}}{f}}+{\frac {f^{\prime }}{r}},\;(h^{\prime })^{2}+{\frac {2h^{\prime }h}{r}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {4f^{\prime }}{rf}}}$

を解いてから を解くと、van Stockum 解を定義する目的のフレームが得られます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-ar\,\partial _{t}}$

このフレームは でのみ定義されることに注意してください。 ${\displaystyle r>0}$

我々のフレームに関してアインシュタインテンソルを計算すると、圧力が実際にゼロになることがわかるので、ダスト解が得られる。ダストの質量密度は、

${\displaystyle \mu ={\frac {a^{2}}{2\pi }}\exp(a^{2}r^{2})}$

幸いなことに、これは対称軸上では有限ですが、密度は半径とともに増加します。この特徴により、残念ながら天体物理学への応用が著しく制限されます。 ${\displaystyle r=0}$

キリング方程式を解くと、この時空はキリングベクトル場の3次元アーベルリー代数を持つことが示され、それは次のように生成される。

${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}=\partial _{t},\;{\vec {\xi }}_{2}=\partial _{z},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{\phi }}$

ここで、渦度はゼロではないため、ダスト粒子の世界線に沿った移動に対しても、円筒対称軸に沿った移動に対しても、またその軸の周りの回転に対しても、静止した時空不変量を持ちます。 ${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}}$

ゲーデルのダスト解とは異なり、ファン・シュトックムのダストでは、ダスト粒子は幾何学的に区別された軸を中心に回転していることに注意してください。

約束通り、時間的測地線合同の膨張とせん断は消えるが、渦度ベクトルは ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-a\exp(a^{2}r^{2}/2){\vec {e}}_{1}}$

これは、共動チャートではダスト粒子の世界線が垂直線として表示されていても、実際にはダスト粒子が対称軸の周りを渦巻くため、世界線は互いの周りでねじれていることを意味します。言い換えると、小さなダストボールの進化を追うと、ダストボールは自身の軸（ に平行）の周りを回転しますが、剪断または膨張しません。後者の特性は、剛体回転が意味するものを定義します。軸自体では、渦度ベクトルの大きさは単純に になることに注目してください。 ${\displaystyle r=0}$${\displaystyle a}$

潮汐テンソルは

${\displaystyle E_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=a^{2}\exp(a^{2}r^{2})\operatorname {diag} (0,1,1)}$

これは、塵粒子に乗っている観測者が回転面内で等方的な潮汐張力を経験することを示しています。磁気重力テンソルは

${\displaystyle B_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=-a^{3}\exp(a^{2}r^{2})\left[{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right]}$

対称軸上に座っている塵粒子に乗っている観察者が、正の半径座標を持つ塵粒子を眺めるという思考実験を考えてみましょう。観察者は塵粒子が回転しているのを見るでしょうか、それとも見ないでしょうか?

ヌル測地線の上側の配列は、下側の配列を上方向に平行移動するだけで得られ、3つの世界線はすべて垂直（時間平行移動に対して不変）であるため、答えは「いいえ」であると思われるかもしれません。しかし、上記のフレームは慣性フレームですが、共変微分を計算すると、

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{1},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{2},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{3}}$

最初のものだけが同じように消えることを示しています。言い換えると、残りの空間ベクトルは回転しています（つまり、この時空の円筒対称軸に平行な軸の周りを回転しています）。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

したがって、回転しない慣性フレームを取得するには、次のように元のフレームを回転させる必要がある。

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0},\;{\vec {f}}_{1}={\vec {e}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}=\cos(\theta ){\vec {e}}_{2}+\sin(\theta ){\vec {e}}_{3},\;{\vec {f}}_{3}=-\sin(\theta ){\vec {e}}_{2}+\cos(\theta ){\vec {e}}_{3}}$

ここでqはrの新しい未定関数である。共変微分がゼロになるという条件を代入すると、次式が得られる。 ${\displaystyle \theta =tq(r)}$

${\displaystyle \theta =at\exp(a^{2}r^{2}/2)}$

新しいフレームは、共動座標チャートでは回転しているように見えますが、実際にはジャイロ安定化されています。特に、図の緑の世界線を持つ観測者は、おそらく回転していないダスト粒子に乗っているため (そうでなければ、スピンスピン力がダストのダイナミクスに現れるはずです)、実際には、近くの放射状に離れたダスト粒子が角速度 a で自分の位置を中心に時計回りに回転しているのを観測します。これは、最初のフレームの以前の導出で見つけたパラメータの物理的な意味を説明しています。

(衒学的注記:注意深い読者は、フレーム フィールドのどちらも軸上で明確に定義されていないという事実を無視したことに気付いたでしょう。ただし、適切な片側制限によって軸上の観測者のフレームを定義することはできます。これにより不連続なフレーム フィールドが得られますが、このセクションで検討されている思考実験を続行するには、 軸上の観測者の世界線に沿ってフレームを定義するだけで済みます。)

上の図では、ヌル測地線が内側に螺旋状に伸びていることに注目する価値があります。これは、軸上の観測者が他のダスト粒子を時間差のある位置で見ていることを意味します。これは当然予想どおりです。この図でヌル測地線が「曲がって」見えるのは、もちろん、ダスト粒子の世界線が垂直座標線として表示される共動座標を選択したために生じています。

ファン・シュトックムの塵におけるいくつかの典型的なイベントの光円錐を描いて、その外観（共動円筒図内）が放射座標によってどのように変化するかを見てみましょう。

図^{[ which? ]}が示すように、 では円錐は座標平面 に接し、閉じたヌル曲線 (赤い円) が得られます。これはヌル測地線 ではないことに注意してください。${\displaystyle r=a^{-1}}$${\displaystyle t=t_{0}}$

さらに外側へ進んでいくと、半径の大きい水平の円が閉じた時間的曲線であることが分かります。これらの CTC の逆説的な性質は、どうやら最初に van Stockum によって指摘されたようです。つまり、世界線が閉じた時間的曲線を形成する観測者は、どうやら自分の過去を再訪したり、影響を与えたりすることができるようです。さらに悪いことに、そのような観測者が、たとえば 3 度目の人生で加速をやめると決めて、複数の伝記を持つことを妨げるものはどうやら何もないようです。

これらの閉じた時間的曲線は時間的測地線ではないため、これらの逆説的な観測者はこれらの効果を体験するために加速する必要があります。実際、予想どおり、これらの時間的円が臨界円筒内にあるヌル円に近づくにつれて、必要な加速は発散します。 ${\displaystyle r=a^{-1}}$

閉じた時間的曲線は、一般相対性理論の他の多くの正確な解にも存在することが判明しており、その共通の出現は、この理論に対する最も厄介な理論的反論の 1 つです。しかし、そのような反論を理由に一般相対性理論の使用をまったく拒否する物理学者はほとんどいません。むしろ、ほとんどの物理学者は、この理論が比較的単純で、多くの天体物理学的状況で十分に確立された信頼性があるため、一般相対性理論を使用しても問題がない場合はいつでも使用するのが理にかなっているという実用的な態度をとっています。これは、多くの物理学者が、ガリレオ運動学が相対論的運動学によって「打倒」されたことをよく知っているにもかかわらず、ニュートン力学を毎日使用しているという事実と似ています。

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