ソロー・スワンモデル

ソロー・スワンモデルまたは外生的成長モデルは、長期経済成長の経済モデルである。資本蓄積、労働力または人口の増加、および主に技術進歩によって推進される生産性の向上に注目して、長期経済成長を説明しようとするものである。その中核は集計生産関数であり、コブ・ダグラス型であるとよく指定され、モデルが「ミクロ経済学と接触」することを可能にする。^{[1] ：26}このモデルは、1956年にロバート・ソローとトレバー・スワンによって独立に開発され、 ^{[2] [3] [注1]}ケインズ派のハロッド・ドーマーモデルに取って代わった。

数学的には、ソロー・スワン・モデルは、一人当たり資本ストックの推移をモデル化する単一の常微分方程式からなる非線形システムです。その特に魅力的な数学的特性により、ソロー・スワンはさまざまな拡張の便利な出発点であることが証明されました。たとえば、1965年に、デビッド・キャスとチャリング・クープマンスはフランク・ラムゼイの消費者最適化分析を統合し^[4] 、貯蓄率を内生化^[5]して、現在ラムゼイ・キャス・クープマンス・モデルとして知られるモデルを作成しました。

ソロー・スワンモデルは、1946年のハロッド・ドーマーモデルの拡張版で、資本のみが成長に貢献するという制限的な仮定を取り除いたものである（すべての資本を使用するのに十分な労働力がある限り）。このモデルへの重要な貢献は、ソローとスワンが1956年に独立して比較的単純な成長モデルを開発した研究から生まれた。^{[2] [3]}ソローのモデルは、米国の経済成長に関する既存のデータにある程度適合した。^{[6] 1987年、ソローはその研究により}ノーベル経済学賞を受賞した。今日、経済学者はソローの成長源会計を使用して、技術変化、資本、労働が経済成長に及ぼす個別の影響を推定している。^[7]

ソローモデルは、経済成長を説明するために経済学で最も広く使われているモデルの1つでもあります。^[8]基本的に、このモデルは「全要素生産性（TFP）の結果は、国の生活水準の無限の増加につながる可能性がある」と主張しています。^[8]

ソローは、労働を生産要素として追加し、資本と生産量の比率をハロッド・ドーマー・モデルのように固定しないことにより、ハロッド・ドーマー・モデルを拡張した。これらの改良により、資本集約度の増大と技術進歩を区別できるようになった。ソローは、固定比率生産関数をハロッド・ドーマー・モデルの不安定性の結果に対する「重要な仮定」とみなしている。ソロー自身の研究は、代替仕様、すなわちコブ・ダグラスとより一般的な一定代替弾性（CES）の意味を探求することで、これを拡張している。^{[2]これは経済学の歴史において標準的で称賛される物語[9]}となり、多くの経済学の教科書で取り上げられているが^[10] 、ハロッドの研究の最近の再評価では、これに異議が唱えられている。1つの中心的な批判は、ハロッドの元の論文^[11]が主に経済成長に関係しておらず、固定比率生産関数を明示的に使用していなかったことである。^{[10] [12]}

標準的なソローモデルは、長期的には経済は均衡成長に収束し、一人当たり所得の永続的な成長は技術進歩を通じてのみ達成可能であると予測している。貯蓄と人口増加の両方の変化は、長期的には水平効果しか引き起こさない（つまり一人当たりの実質所得の絶対値）。ソローモデルの興味深い含意は、貧しい国はより速く成長し、最終的にはより豊かな国に追いつくはずであるということである。この収束は次のように説明できる。^[13]

• 知識の普及の遅れ。貧しい国々がよりよい技術と情報を得るにつれて、実質所得の差は縮小するかもしれない。
• 国際資本フローの効率的な配分。資本収益率は貧しい国の方が高くなるはずである。実際には、これはめったに見られず、ルーカスのパラドックスとして知られている。
• モデルの数学的帰結（貧困国がまだ定常状態に達していないと仮定）。

ボーモルはこれを経験的に検証しようとし、長期間（1870年から1979年）にわたる国の生産高の伸びと初期の富の間に非常に強い相関関係があることを発見した。^{[14]彼の発見は後に}デロングによって異議を唱えられ、サンプル国の非ランダム性と1870年の一人当たりの実質所得の推定値の重大な測定誤差の可能性の両方がボーモルの発見に偏りを生じさせたと主張した。デロングは収束理論を裏付ける証拠はほとんどないと結論付けている。

ソロー・スワン成長モデルの主要な仮定は、閉鎖経済においては 資本は収益減少の影響を受けるというものです。

• 労働力のストックが一定であれば、最後に蓄積された資本の単位が生産量に与える影響は、常にその前の単位よりも小さくなります。
• 簡単にするために技術進歩や労働力の伸びがないと仮定すると、収穫逓減は、ある時点で新たに生産される資本の量が減価償却により失われた既存資本の量を補うのにちょうど十分になることを意味します。^[1]この時点で、技術進歩や労働力の伸びがないという仮定のため、経済は成長を停止することがわかります。
• 労働力の成長率がゼロでないと仮定すると、事態は多少複雑になるが、基本的な論理は依然として当てはまる^[2]。つまり、短期的には、収穫逓減の効果が表れるにつれて成長率は鈍化し、経済は一定の「定常」成長率（つまり、一人当たりの経済成長がない）に収束する。
• 非ゼロの技術進歩を考慮することは、「有効労働」の観点から、非ゼロの労働力成長の仮定と非常によく似ています。つまり、単位生産量に必要な労働者時間当たりの生産量が一定である新しい定常状態に到達します。ただし、この場合、一人当たりの生産量は「定常状態」 ^[3]における技術進歩の速度（つまり、生産性成長率）で増加します。

ソロー・スワン・モデルでは、資本蓄積の影響を考慮した後の産出量の成長における説明できない変化は、ソロー残差と呼ばれます。この残差は、特定の期間における全要素生産性(TFP) の外生的増加を測定します。TFP の増加は、多くの場合、完全に技術進歩によるものとされますが、生産要素が時間の経過とともに組み合わされる効率の永続的な改善も含まれます。暗黙的に、TFP 成長には、経済の民間部門または公共部門における管理慣行の改善から生じる永続的な生産性向上が含まれます。逆説的ですが、TFP 成長はモデルでは外生的ですが、観察できないため、特定の期間における資本蓄積の成長への影響の同時推定と組み合わせてのみ推定できます。

このモデルは、異なる生産性の仮定や異なる測定基準を使用して、わずかに異なる方法で再定式化できます。

• 平均労働生産性 ( ALP ) は、労働時間あたりの経済生産量です。
• 多要素生産性( MFP ) は、出力を資本と労働投入の加重平均で割ったものです。使用される加重は通常、いずれかの要素が獲得する総投入シェアに基づきます。この比率は、資本収益率 33%、労働収益率 67% (西洋諸国) とよく言われます。

成長経済では、資本の蓄積は人の出生よりも速いため、MFP 計算における成長関数の分母は ALP 計算における成長よりも速く成長します。したがって、MFP の成長は、ほとんどの場合、ALP の成長よりも低くなります。(したがって、ALP で測定すると、見かけの資本深化効果が増大します。) MFP は、ALP ではなく「ソロー残差」によって測定されます。

教科書的なソロー・スワンモデルは、政府や国際貿易のない連続時間世界を舞台にしている。単一の財（産出物）は、労働（）と資本（）という2つの生産要素を使用して生産され、稲田条件を満たす総生産関数で生成される。稲田条件は、代替の弾力性が漸近的に1に等しくなければならないことを意味する。 ^{[15] [16]}${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

ここで、は時間、は資本に対する産出の弾力性、 は総生産を表します。は労働増強技術または「知識」を指し、したがって有効労働を表します。 すべての生産要素が完全に雇用され、初期値、、が与えられます。 労働者数、つまり労働力、および技術レベルは、それぞれ および の率で外生的に増加します。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle A(0)}$${\displaystyle K(0)}$${\displaystyle L(0)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

したがって、有効な労働単位数 は、 の割合で増加します。一方、資本ストックは時間の経過とともに一定の割合 で減価します。ただし、出力の一部 (の場合)のみが消費され、投資用に貯蓄された部分が残ります。このダイナミクスは、次の微分方程式で表現されます。 ${\displaystyle A(t)L(t)}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle cY(t)}$${\displaystyle 0<c<1}$${\displaystyle s=1-c}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

ここで、 は時間に関する微分の省略形です。時間に関する微分は、資本ストックの変化、つまり消費も古くなった資本財の交換にも使用されない産出が純投資であることを意味します。 ${\displaystyle {\dot {K}}}$${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$

生産関数は規模の経済性が一定であるため、労働の有効単位あたりの産出量として表すことができ、これは富の創造の尺度となる。^{[注 2]}${\displaystyle Y(K,AL)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

このモデルの主な関心は、資本集約度 、つまり有効労働単位あたりの資本ストックのダイナミクスである。その時間経過に伴う挙動は、ソロー・スワン・モデルの重要な方程式によって与えられる： ^{[注 3]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

最初の項 は、有効労働単位あたりの実際の投資、つまり、有効労働単位あたりの産出量のうち貯蓄され投資される割合である。2番目の項 は、「損益分岐点投資」、つまり下落を防ぐために投資しなければならない投資額である。^{[17] : 16}この式は、 が で定義される定常値 に収束することを意味しており、その値では資本集約度の増加も減少もない。 ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle k^{*}}$${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

資本ストックと有効労働力が の割合で増加している状態。同様に、に対応する創造された富の定常状態を計算することも可能である。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle y^{*}}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

一定の収益を前提とすると、生産量もその割合で成長している。本質的には、ソロー・スワン・モデルは、経済がどの時点から始まっても均衡成長均衡に収束すると予測している。この状況では、労働者一人当たりの生産量の成長は技術進歩の速度によってのみ決定される。^{[17] : 18}${\displaystyle Y}$

定義により、平衡状態では ${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

したがって、均衡状態では、資本/産出比率は貯蓄率、成長率、減価率のみに依存します。これは、ソロー・スワン・モデルの黄金律貯蓄率のバージョンです。

なので、ソロー・スワンモデルにおける資本の限界生産性は、いつでも資本労働比率と反比例関係にある。 ${\displaystyle {\alpha }<1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

生産性が各国で同じであれば、労働者一人当たりの資本が少ない国の方が限界生産性が高く、資本投資の収益率も高くなります。その結果、このモデルは、自由市場経済とグローバル金融資本の世界では、資本/労働者と所得/労働者が各国間で均等になるまで、投資は富裕国から貧困国へと流れると予測しています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle Y/L}$

物的資本の限界生産性は貧困国の方が富裕国よりも高くないので^[18] 、貧困国では生産性が低いということになる。基本的なソローモデルでは、なぜこれらの国で生産性が低いのかを説明できない。ルーカスは、貧困国における人的資本の水準が低いことが生産性の低さを説明できるのではないかと示唆した^{[19] 。}

資本の限界生産性は 収益率に等しいため${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,}$

つまり、それは資本によって充当される所得の割合です。したがって、ソロー・スワンモデルは、最初から労働所得と資本所得の分配は一定であると仮定しています。 ${\displaystyle \alpha }$

1992年、N・グレゴリー・マンキュー、デイビッド・ローマー、デイビッド・N・ワイルは、人的資本の役割を組み込んだソロー・スワン・モデルのバージョンを理論化し、国際投資が貧困国に流れない理由を説明できるとした。^[20]このモデルでは、貧困国では富裕国よりも人的資本が少ないため、産出量と資本の限界生産性（K）が低くなる。

教科書のソロー・スワンモデルと同様に、生産関数はコブ・ダグラス型です。

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

ここで、 は人的資本のストックであり、物的資本と同じ率で減価します。簡単にするために、両方の種類の資本に対して同じ蓄積関数を仮定します。ソロー・スワンの場合と同様に、結果の一部 が各期間に貯蓄されますが、この場合は分割され、一部が物的資本に、一部が人的資本に投資されるため、 となります。したがって、このモデルには 2 つの基本的な動的方程式があります。 ${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle sY(t)}$${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

バランスのとれた（または定常状態の）平衡成長経路は によって決定され、これはおよび を意味します。 および の定常状態レベルについて解くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

定常状態では、. ${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$

クレノウとロドリゲス＝クレアは、マンキュー、ローマー、ワイルの推定値が、教育水準の上昇が労働者の給与に与える影響に関する一般に認められた推定値と一致していないため、拡張モデルの妥当性に疑問を投げかけた。推定モデルは各国の所得の変動の78%を説明したが、推定値は人的資本の国民所得に対する外部影響が労働者の給与に対する直接影響よりも大きいことを示唆した。^[21]${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

セオドア・ブレトンは、マンキュー、ローマー、ワイルのモデルにおける教育による人的資本の大きな影響と、教育が労働者の給与に与える小さな影響を調和させる洞察を提供した。彼は、人的資本と物的資本は乗法的生産要素であるため、モデルの数学的特性には生産要素間の重要な外部効果が含まれることを実証した。^[22]人的資本が物的資本の生産性に及ぼす外部効果は、物的資本の限界生産量に明らかである。

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

彼は、モデルの国際比較推定における人的資本の影響の大きな推定値は、人的資本が物的資本と労働に及ぼす外部効果を考慮すると、労働者の給与に典型的に見られるより小さな影響と一致していることを示した。この洞察は、マンキュー、ローマー、およびワイル版のソロー・スワン・モデルの根拠を大幅に強化する。このモデルを批判するほとんどの分析は、モデルに内在する両方のタイプの資本の金銭的外部効果を考慮に入れていない。^[22]

ソロー・スワン・モデルにおける TFP (全要素生産性) 成長の外生率は、資本蓄積を考慮した後の残差です。マンキュー、ローマー、およびワイルのモデルは、モデルに人的資本を追加することで、資本蓄積が各国間の所得の変動をより多く説明できるため、基本的なソロー・スワン・モデルよりも低い TFP (残差) の推定値を提供します。基本モデルでは、人的資本は生産要素として含まれていないため、TFP 残差には人的資本の影響が含まれます。

人的資本を考慮したソロー・スワンモデルは、貧困国の物的資本と人的資本の貯蓄率が産出額に占める割合が同程度であれば、貧困国の所得水準は富裕国の所得水準に追いつくか、または富裕国の所得水準に収束する傾向にあると予測している。このプロセスは条件付き収束と呼ばれる。しかし、貯蓄率は国によって大きく異なる。特に、教育への投資には相当な資金制約があるため、人的資本の貯蓄率は各国の文化的・イデオロギー的特徴に応じて異なる可能性が高い。^[23]

1950年代以降、富裕国と貧困国の労働者一人当たりの産出量は一般的には収束していないが、貯蓄率を大幅に引き上げた貧困国では、ソロー・スワン・モデルが予測した所得収束がみられる。例えば、かつては比較的貧しかった日本では、労働者一人当たりの産出量は富裕国のレベルに収束している。日本は1950年代と1960年代に貯蓄率を引き上げた後、高い成長率を経験し、モデルが予測したように、1970年頃に貯蓄率が安定して以来、労働者一人当たりの産出量の成長が鈍化している。

アメリカ合衆国南部諸州の一人当たり所得水準は、北部諸州の水準に収束する傾向にあります。これらの州で観察された収束は、条件付き収束の概念とも一致しています。国や地域間で絶対的な収束が起こるかどうかは、次のような類似した特徴があるかどうかによって決まります。

• 教育政策
• 制度上の取り決め
• 国内の自由市場と他国との貿易政策。 ^[24]

条件付き収束のさらなる証拠は、多変量クロスカントリー回帰分析から得られます。^[25]

シンガポールやその他の「東アジアの虎」に関する計量分析では、労働者一人当たりの生産量は増加しているものの、急速な成長のほとんどが一人当たりの生産性の上昇によるものではないという驚くべき結果が得られた（「ソロー残差」が低い）。^[7]

• 経済成長
• 内生的成長理論

• アジェノール、ピエール＝リチャード（2004年）。「成長と技術進歩：ソロー・スワンモデル」。調整と成長の経済学（第2版）。ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。439～462ページ。ISBN 978-0-674-01578-4。
• Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004)。「外生的貯蓄率による成長モデル」。経済成長(第 2 版)。ニューヨーク: McGraw-Hill。pp. 23–84。ISBN 978-0-262-02553-9。
• Burmeister, Edwin; Dobell, A. Rodney (1970)。「単一セクター成長モデル」。経済成長の数学的理論。ニューヨーク: Macmillan。pp. 20–64。
• Dornbusch, Rüdiger ; Fischer, Stanley ; Startz, Richard (2004) 「成長理論: 新古典派モデル」マクロ経済学(第 9 版) ニューヨーク: McGraw-Hill Irwin。pp. 61–75。ISBN 978-0-07-282340-0。
• ファーマー、ロジャー EA (1999)。「新古典派成長理論」。マクロ経済学(第 2 版)。シンシナティ: サウスウェスタン。pp. 333–355。ISBN 978-0-324-12058-5。
• ファーガソン、ブライアン・S、リム、GC（1998）。『ダイナミック経済モデル入門』マンチェスター：マンチェスター大学出版局。pp.42-48。ISBN 978-0-7190-4996-5。
• ガンドルフォ、ジャンカルロ (1996)。「新古典派成長モデル」。経済ダイナミクス(第 3 版)。ベルリン: シュプリンガー。pp. 175–189。ISBN 978-3-540-60988-9。
• Halsmayer, Verena (2014)。「探索的モデリングから技術的専門知識へ: 多目的設計としてのソローの成長モデル」。政治経済史。46 (補足 1、MITとアメリカ経済の変革): 229–251。doi :10.1215/00182702-2716181。2017年 11 月 29日閲覧。
• イントリリゲーター、マイケル・D. (1971)。数学的最適化と経済理論。イングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール。pp. 398–416。ISBN 978-0-13-561753-3。
• ファン・ライケゲム・ヴィリー（1963）：「いくつかのマクロ経済成長モデルの構造：比較」世界経済アーカイブ第91巻、pp.84-100

• ソロー モデル ビデオ - ソロー成長モデルの結論の導出を解説する 20 以上のビデオ
• マージナル革命大学によるビデオ解説
• パラメータを試したり、ソローモデルについて学習したりできるJavaアプレット
• フィオナ・マクラクランによるソロー成長モデル、Wolframデモンストレーションプロジェクト。
• ソローモデルを理解するためのステップバイステップの説明
• ミネソタ大学のホセ・ビクトル・リオス・ルル教授のコース