代替の弾力性

代替の弾力性は、資本労働比率の変化率と技術的代替の限界率の変化率の比率です。^[1] 競争市場において、代替の弾力性は、価格の変化率に応じて使用される2つの投入財の変化率を測定します。^{[2]代替の弾力性は}等量線の曲率の尺度となり、したがって、投入財（または商品）間の代替可能性、つまり、ある投入財（または商品）を他の投入財（または商品）と置き換えるのがどれだけ簡単かを示します。^[3]

ジョン・ヒックスは1932年にこの概念を導入した。ジョーン・ロビンソンは1933年にヒックスと同等の数学的定式化を用いて独自にこの概念を発見したが、当時は実装されていなかった。^[4]

Y に関する X の弾力性の一般的な定義は であり、これは無限小の変化と微分可能変数に対して に簡約されます。代替の弾力性とは、2 つの財の使用比率がそれらの限界価値または価格の比率に対してどのように変化するかです。最も一般的な適用例は、使用される資本 (K) と労働 (L) の比率をそれらの限界生産物の比率、 またはレンタル価格 (r) と賃金 (w) の比率に対してです。もう 1 つの適用例は、消費財 1 と 2 の比率をそれらの限界効用または価格の比率に対してです。まずは消費への適用から始めます。 ${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {\%\ {\mbox{Xの変化}}}{\%\ {\mbox{Yの変化}}}}}$${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {dX}{dY}}{\frac {Y}{X}}}$${\displaystyle MP_{K}}$${\displaystyle MP_{L}}$

消費に対する効用を、とします。代替の弾力性は次のようになります。 ${\displaystyle U(c_{1},c_{2})}$${\displaystyle U_{c_{i}}=\partial U(c_{1},c_{2})/\partial {c_{i}}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}}$

ここで、限界代替率です。(これらの微分は、基点を通過する等量線に沿って取られます。つまり、入力とが独立して変化するのではなく、一方の入力が自由に変化し、もう一方の入力が基点を通過する等量線上にあるように制約されます。この制約により、MRS と入力比は、適切な凸性仮定の下では互いに 1 対 1 の関数になります。) 最後の等式は を表します。ここで、 は商品 1 と 2 の価格です。これは、Arrow–Debreu 内部均衡における消費者効用最大化問題の第 1 次条件からの関係であり、2 つの商品の限界効用は価格に比例します。直感的には、相対価格が変化すると、消費財に対する消費者の選択がどのように変化するかを調べています。 ${\displaystyle MRS}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle MRS_{12}=p_{1}/p_{2}}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

また、次の点にも注意してください。 ${\displaystyle E_{21}=E_{12}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}}$

代替の弾力性の同等の特徴付けは次の通りである: ^[5]

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}}$

離散時間モデルでは、期間における消費の代替の弾力性は、異時点間の代替の弾力性として知られています。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t+1}$

同様に、生産関数がの場合、代替の弾力性は次のようになります。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}}$

ここで、技術的代替の限界率です。 ${\displaystyle MRTS}$

代替の弾力性の逆数は補完の弾力性です。

コブ・ダグラス生産関数 を考えてみましょう。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}}$

技術的代替の限界率は

${\displaystyle MRTS_{21}={\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}$

表記を変更すると便利です。

${\displaystyle {\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}=\theta }$

これを書き直すと

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {a}{1-a}}\theta }$

代替の弾力性は^[6]

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(MRTS_{21})}}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {\theta }{d\theta }}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{d\theta }}{\frac {\theta }{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}={\frac {a}{1-a}}{\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=1}$

元の割り当て/組み合わせと、元の割り当て/組み合わせに対する特定の代替が与えられた場合、代替の弾力性（相対的な割り当ての限界代替弾力性）が大きいほど、代替される可能性が高くなります。市場には常に 2 つの側面があります。ここでは、選好の弾力性が受信者の弾力性であるため、受信者について説明しています。

代替の弾力性は、相対価格の変化に応じて、商品や要素投入に対する相対的な支出がどのように変化するかを決定します。に対する支出を に対する支出と比較して表すとします。つまり、 ${\displaystyle S_{21}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

${\displaystyle S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}}$

相対価格が変化すると、相対支出は次のように変化します。 ${\displaystyle p_{2}/p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)}$

したがって、の相対価格の上昇が の相対支出の増加または減少につながるかどうかは、代替の弾力性が 1 より小さいか大きいかによって決まります 。${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$

直感的には、 の相対価格の上昇の直接的な影響はの支出の増加です。これは、 の所定量のコストが高くなるためです。一方、問題の財がギッフェン財ではないと仮定すると、 の相対価格の上昇は の相対需要の低下につながり、 の購入量が減少し、 の支出が減少します。 ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$

これらの効果のどれが支配的になるかは、代替の弾力性の大きさによって決まります。代替の弾力性が 1 未満の場合は、最初の効果が支配的になります。つまり、 の相対的な需要は減少しますが、その割合は相対価格の上昇よりも小さいため、相対的な支出が増加します。この場合、財は総補完財です。 ${\displaystyle c_{2}}$

逆に、代替の弾力性が 1 より大きい場合、2 番目の効果が支配的になります。つまり、相対的な数量の減少が相対的な価格の増加を上回り、相対的な支出が減少します。この場合、財は総代替品です。 ${\displaystyle c_{2}}$

代替の弾力性がちょうど 1 の場合 (コブ・ダグラスの場合のように)、 に対する支出は相対価格とは無関係であることに注意してください。 ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

• 一定の代替弾力性
• 技術的代替の限界率

• ヒックス、JR（1932年）「賃金理論」マクミラン。
• マスコレル、アンドリュー、ウィンストン、グリーン（2007年）。ミクロ経済理論。ニューヨーク、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0195073409。
• バリアン、ハル（1992）。ミクロ経済分析（第3版）。WWノートン＆カンパニー。ISBN 978-0-393-95735-8。
• Klump, Rainer; McAdam, Peter; Willman, Alpo (2007)。「米国における要素代替と要素増強型技術進歩: 標準化された供給側システムアプローチ」。経済統計レビュー。89 (1): 183–192。doi :10.1162/rest.89.1.183。S2CID 57570638  。

• 代替の弾力性、ゴンサロ・L・フォンセカ、エッセイ、ニュースクール・フォー・ソーシャルリサーチ。