ソロー残差

ソロー残差は、経済における年ごとおよび10年ごとの実証的な生産性成長を表す数値です。ノーベル経済学賞を受賞した経済学者ロバート・ソローは、生産性の向上を、資本および労働投入量が一定である状態での産出量の上昇と定義しました。これは、資本蓄積や労働投入量の増加の尺度では説明できない成長の部分であるため、「残差」と呼ばれます。物理的スループットの増加、つまり環境資源は計算から明確に除外されているため、残差の一部は物理的スループットの増加によるものと考えられます。ここで使用される例は、投入量が変化しない、資本内における鋼鉄のアルミニウム固定具への代替です。これは、他の多くの変数があるほとんどすべての他の経済状況とは異なります。ソロー残差は順循環的であり、その尺度は現在、多要素生産性の成長率または全要素生産性と呼ばれていますが、ソロー (1957) はこれらの用語を使用していませんでした。

1950年代、多くの経済学者^{[要出典]が}第二次世界大戦後の復興後の経済成長の比較研究を行った。ある経済学者^{[誰? ]}は、長期的な成長への道は産業とインフラへの投資、そして資本集約型の自動化生産へのさらなる移行によって達成されると述べた。設備の減価償却によるこのアプローチの収穫逓減の懸念は常にあったが、それは採用すべき正しい産業政策であるという広範な見解であった。多くの経済学者は、生産物をさらなる産業建設にたゆまぬ再投資することで高度成長を実現したモデルとして ソ連の統制経済を指摘した。

しかし、一部の経済学者^{[誰? ]}は異なる見解を示しました。彼らは、資本の限界収益が労働の限界収益と等しくなると、資本の集中が進むと収益が減少するだろう、また貯蓄率の高い経済の急速な成長は短期的な現象に過ぎないと主張しました。この分析^[要出典]は、労働生産性の向上または全要素技術が国家成長の長期的な決定要因であり、資本不足の国だけがインフラ投資によって一人当たり所得を大幅に増加させることができることを示唆しました。これらの資本不足の国の中には、まだ戦争から立ち直っているところもあり、このようにして先進国との収束の道をたどって急速に発展すると予想されていました。

ソロー残差は、一人当たりの経済成長が一人当たりの資本ストック成長率を上回ると定義されるため、その検出は、経済の工業化の進歩以外の何らかの貢献が産出に存在しているはずであることを示しています。生産量と労働投入量の比率としても知られる生活水準の測定された成長が、資本/労働比率の成長だけで完全に説明できないという事実は重要な発見であり、成長への潜在的な道として資本蓄積ではなくイノベーションを示唆しています。

「ソロー成長モデル」は、経験的残差を説明したり導出したりすることを意図したものではなく、マクロ経済の集計モデルに外生的に適用した場合に、長期的に経済にどのような影響を与えるかを示すことを目的としています。このモデルは、実際には「技術」成長と「産業」成長の影響を示すツールであり、どちらの成長もどこから来ているかを理解しようとするものではありませんでした。ソロー残差は、理論的分析の結果を予測するものではなく、主に説明するための観察です。これは答えではなく質問であり、次の式はその事実を曖昧にしてはいけません。

ソローは、1年間の総生産量（t）の非常に基本的なモデルを想定しました。彼は、生産量は資本量（インフラ）、労働量（労働力の数）、およびその労働の生産性によって決まると述べました。彼は、労働生産性が長期的なGDP増加の原動力であると考えました。この形式の経済モデルの例を以下に示します。^[1]

${\displaystyle Y(t)=[K(t)]^{\alpha }[A(t)L(t)]^{1-\alpha }\,}$

どこ：

• Y ( t ) は、ある年tにおける経済全体の生産量 ( GDP ) を表します。
• K ( t ) は生産経済における資本であり、資本主義経済におけるすべての企業の合計価値を通じて測定される可能性があります。
• A ( t ) は、多要素生産性（「技術」として一般化されることが多い）を表します。この数値のA (1960)からA (1980) への変化は、たとえば 1960 年から 1980 年までの労働「効率」の成長とソロー残差を推定する鍵となります。
• L ( t ) は労働力です。これは単に働く人の数であり、成長モデルは長期モデルであるため、労働力が拡大する人口の一定の割合であると仮定して、景気循環的な失業の影響を無視する傾向があります。

このモデル内での生産量の変化を測定または予測するために、上記の式を時間 ( t )で微分し、労働対生産量、資本対生産量、生産性対生産量の関係の偏導関数の式を次のように与えます。

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial t}}={\frac {\partial Y}{\partial K}}{\frac {\partial K}{\partial t}}+{\frac {\partial Y}{\partial L}}{\frac {\partial L}{\partial t}}+{\frac {\partial Y}{\partial A}}{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

観察する：

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}={\alpha }[K(t)]^{\alpha -1}\cdot [A(t)L(t)]^{1-\alpha }={\frac {{\alpha }Y}{K(t)}}}$

同様に:

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial L}}={\frac {(1-{\alpha })Y}{L(t)}}}$そして${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial A}}={\frac {(1-{\alpha })Y}{A(t)}}}$

したがって：

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial t}}={\frac {{\alpha }Y}{K(t)}}{\frac {\partial K}{\partial t}}+{\frac {(1-{\alpha })Y}{L(t)}}{\frac {\partial L}{\partial t}}+{\frac {(1-{\alpha })Y}{A(t)}}{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

経済の成長率は、前年度の生産量に対する割合であり、この式の両辺を生産量Yで割ることで求められます (前年比で小さな変化を想定) 。

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial Y}{\partial t}}{Y}}=\alpha {\frac {\frac {\partial K}{\partial t}}{K(t)}}+(1-{\alpha }){\frac {\frac {\partial L}{\partial t}}{L(t)}}+(1-{\alpha }){\frac {\frac {\partial A}{\partial t}}{A(t)}}}$

この式の右側の最初の 2 つの項は、資本と労働の前年比の変化率であり、左側は生産量の相対的な変化率です。右側の残りの項は、生産性向上がGDPに与える影響を示しており、ソロー残差として定義されています。

${\displaystyle SR(t)={\frac {\frac {\partial Y}{\partial t}}{Y}}-\left(\alpha {\frac {\frac {\partial K}{\partial t}}{K(t)}}+(1-{\alpha }){\frac {\frac {\partial L}{\partial t}}{L(t)}}\right)}$

残差SR ( t ) は、資本の量Kと労働者の数Lの測定可能な変化では説明できない成長の部分です。産出量、資本、労働がすべて 20 年ごとに倍増する場合、残差はゼロになりますが、一般的にはこれよりも高くなります。産出量が投入要素の成長よりも速く増加するからです。残差は時期や国によって異なりますが、平時の資本主義国ではほぼ常にプラスになります。戦後の米国の残差に関する推定では、生産性の伸びが停滞したように見える 1970 年代初頭まで、米国は年間 3% の生産性向上を達成したとされています。

上記の関係は、1 年間の経済の非常に簡略化された図を示しています。成長理論の計量経済学では、一連の年を見て、変数の変化に統計的に有意なパターンを見つけ、おそらく「ソロー残差」の存在と値を特定します。これを行うための最も基本的な手法は、すべての変数の変化率が一定であると仮定し (ノイズによって不明瞭)、データに回帰して、利用可能な履歴データでこれらの率の最良の推定値を見つけることです (通常の最小二乗回帰を使用)。経済学者は常に、最初に方程式の自然対数を取ります(方程式の右側の変数を分離するため)。この生産関数の両辺をログに記録すると、誤差項を含む単純な線形回帰が生成されます。 ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \ln(Y(t))=\alpha \ln(K(t))+(1-\alpha )[\ln(L(t))]+(1-\alpha )[\ln(A(t))]+\varepsilon .\,}$

一定の成長係数は上記の変数の指数関数的成長を意味するため、微分化により成長係数間の線形関係が得られ、これは単純な回帰で推測できます。

回帰分析では、推定される式は次のようになります。

${\displaystyle y=C+\beta k+\gamma \ell +\varepsilon \,}$

どこ：

• Cはlog( A )（技術変化率）の 係数（1− α）として解釈できる。
• kは大文字、ln(K)
• γは（対数）出力、ln(Y)
• ℓは労働、ln(L)

回帰方程式の形式が与えられれば、係数を弾力性として解釈することができます。

実際の技術の量またはレベルを計算するには、レベルの式を参照するだけです。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle Y(t)=A(t)^{C}K(t)^{\beta }L(t)^{\gamma }}$

出力、資本、労働の量と、およびの推定値を知っているので、次のように解くことができます。 ${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle K(t)}$${\displaystyle L(t)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle A(t)=\left({\frac {Y(t)}{K(t)^{\beta }L(t)^{\gamma }}}\right)^{\frac {1}{C}}}$

マンキュー、ローマー、およびワイルは、ソロー・スワン モデルに人的資本の項を追加しました。この項をモデルに明示的に含めることで、人的資本の変化の影響がソロー残差から資本蓄積に移されます。その結果、ソロー残差は拡張ソロー モデルで小さくなります。

${\displaystyle Y(t)=[K(t)]^{\alpha }[H(t)]^{\beta }[A(t)L(t)]^{1-\alpha -\beta }\,}$

どこ：

• H ( t ) は、ある年tにおける経済における人的資本ストック ( GDP ) を表します。

このモデルを推定するための関連回帰は次のとおりです。

${\displaystyle \ln(Y(t))=\alpha \ln(K(t))+\beta \ln(H(t))+(1-\alpha -\beta )[\ln(L(t))]+(1-\alpha -\beta )[\ln(A(t))]+\varepsilon .\,}$

ブレトンは、20世紀にわたるソロー・スワン・モデルの人的資本増強版のソロー残差を推定している。^[2]彼は、1910年から2000年まで世界の主要経済42か国で平均1%/年で増加し、2002年には0.3%/年で増加したこと を発見した。${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle A(t)^{1-\alpha -\beta}}$

ソロー残差は全要素生産性を測るが、ソロー・スワン・モデルでは、技術成長を労働増加型にするため、生産性変数は通常労働変数に付随する。このタイプの生産性成長は、生産要素に帰属する国民所得のシェアを時間の経過とともに一定に保つために数学的に必要である。これらのシェアは、発展途上国および先進国では歴史的に安定しているようである。^[3]しかし、2014年にソロー・モデルのバージョンを使用して行われたトマ・ピケティの有名な不平等に関する研究では、国民所得に占める利益のシェアが安定して比較的低いのは、主に20世紀の現象であると主張した。^[4]

急速に拡大している国（危機や貿易自由化の後に追いついている国）は、資本を蓄積するにつれて技術の転換が急速に進む傾向がある。このため、利用可能な技術に関する経験を積むことが難しくなる傾向があり、これらのケースでソロー残差がゼロであることは、実際には労働生産性の上昇を示していると示唆されている。この理論では、新しいスキルが不可欠になってもA（労働生産性）が低下していないという事実は、労働力が適応能力があり、残差によって生産性の伸びが過小評価される可能性が高いことを示している。この考え方は、「実践による学習」に関連している。

• ソローのコンピュータパラドックスは、情報技術がより広く利用されるようになったにもかかわらず、多くの国で残差がゼロであることがわかったことに基づいています。
• 経済における資本のレベルが理論上も測定できるかどうかについての資本論争。もし測定できないのであれば、ソロー残差も測定できない。
• ソロー成長モデルは、ソロー残差を外生的に追加して、さまざまな生産性成長レベルでのGDP成長を予測できる経済発展モデルです。
• バラッサ・サミュエルソン効果は、変動するソロー残差の効果を表します。つまり、大量生産された貿易財の残差はサービス部門の残差よりも高いと仮定します。この仮定はPPP 偏差を説明するために使用されており、サービス産業の生産性成長が低い (自動化が難しい)という理由だけで、より多くの労力がサービス産業に移されるため、全体の残差に「足かせ」となる可能性があります。
• 多要素生産性

• ロマー、デイビッド（2000年）。『マクロ経済学入門（第2版）』ボストン：マグロウヒル/アーウィン。ISBN 0-07-231855-4。本書の第 1 章では、上記のモデルについてわかりやすく紹介しています。後の章では、これを内生的成長の現代的な分析にまで拡張しています。また、本書では、成長会計における残差の重要性についても説明しています。
• ソロー、ロバート（1957年）。 「技術 変化と総生産関数」。経済統計レビュー。39 （3）：312-320。doi ：10.2307/1926047。JSTOR 1926047。S2CID  44651616。
• ソロー、ロバート・M（1955年）「生産関数と資本理論」経済研究評論：103-107。

• 韓国のソロー残差は純粋な技術ショックを反映しているか? – 現実世界はここでの単純回帰で説明されているスムーズに進化するモデルとは異なるため、共和分などの現代の計量経済学の手法を使用してソロー残差に関するより信頼性の高い推論を導き出す方法を示す論文。