龍王理論

ドラゴンキングイベントとは、同じシステム内の他のイベントと比較して、規模や影響が非常に大きい（「キング」）と同時に、独自の起源を持つ（「ドラゴン」）イベントのことです。DKイベントは、非線形かつ複雑なシステムで発生しやすい正のフィードバック、ティッピングポイント、分岐、相転移などのメカニズムによって生成されるか、またはそれらに対応しており、ドラゴンキングイベントを極端なレベルまで増幅する役割を果たします。これらのダイナミクスを理解し監視することで、このようなイベントの予測可能性をある程度得ることができます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ディディエ・ソルネットは、多くの危機は実際にはブラックスワンではなくDK （ドラゴンキング）であり、ある程度予測可能であるという仮説を立てた。様々なシステムの長期的な組織化において危機が重要な役割を果たすことを踏まえ、DK理論は極端な事象の研究と監視に特別な注意を払い、動的な視点を持つべきだと主張している。科学的な観点から見ると、こうした極端な事象は、しばしば隠された根底にある組織原理を明らかにする可能性があるため興味深い。実際には、極端なリスクを研究すべきだが、重大な不確実性がほぼ常に存在することを忘れてはならず、リスク管理や設計に関する意思決定においては、その不確実性を厳密に考慮する必要がある。

ドラゴンキング理論は、ブラックスワン理論、外れ値、複雑系、非線形力学、べき乗則、極値理論、予測、極端なリスク、リスク管理といった概念に関連しています。

ブラックスワンとは、観察者にとって驚きであり、大きな影響を与え、観察後に後知恵で合理化される出来事の比喩と考えることができる。ブラックスワン理論は認識論的であり、観察者の限られた知識と理解に関連している。この用語はナシーム・タレブによって導入され普及し、ヘビーテール、非線形ペイオフ、モデル誤差、さらにはナイト的不確実性といった概念と関連付けられてきた。ナイト的不確実性の「知ることのできない未知」という用語法は、元米国国防長官ドナルド・ラムズフェルドによって普及された。タレブは、ブラックスワン現象は予測不可能であると主張しており、実際には、この理論は「予測するよりも準備する」こと、そして極端な変動への曝露を制限することを推奨している。

ブラックスワンの概念は重要であり、リスクを予測し管理する能力に過信しているという意味で無責任な人々、企業、社会に対する正当な批判を提起する。しかし、極端な事象は一般的に予測不可能であると主張することは、リスク管理の役割における説明責任の欠如にもつながる可能性がある。実際、さまざまな物理システムにおいて、極端な事象はある程度予測可能であることが知られている。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 3 ]}必要なのは、対象システムの構造とダイナミクスを十分に深く理解し、それを監視する能力を持つことだけである。これはドラゴンキングの領域である。このような事象は、タレブによって「グレースワン」と呼ばれている。ブラックスワンは物理的および数学的な用語で正確に定義されていないため、ブラックスワン、グレースワン、ドラゴンキングのより厳密な区別は難しい。しかし、ブラック・スワンの本における概念の技術的な詳細については、サイレント・リスク文書で詳しく説明されています。リスク管理の文脈におけるブラック・スワンの正確な定義の分析は、テルジェ・アヴェン教授によって書かれています。^{[ 6 ]}

自然科学と社会科学の両方における多くの現象は、べき乗則統計（パレート分布）を示します。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}さらに、極値理論から、広範囲の分布（フレシェクラス）の裾野が漸近的にべき乗則に従うことが知られています。この結果、危機や極端な事象を扱う場合、べき乗則の裾野は「通常」のケースとなります。べき乗則のユニークな特性は、スケール不変、自己相似、フラクタルであることです。この特性は、大小を問わずすべての事象が同じメカニズムによって生成されることを意味し、したがって、最大の事象を予測できる明確な前兆は存在しません。この種の事象に関するよく知られた概念的枠組みは、自己組織化臨界性です。このような概念は、ブラックスワンの理論と互換性があります。しかし、タレブは、べき乗則を、裾の軽いモデル（例えばガウス分布）の代わりにモデルとして考えると、「ブラックスワンをグレースワンに変えてしまう」とも述べている。これは、べき乗則モデルが大きな出来事に対して無視できない確率を与えるという意味である。

さまざまな研究で、べき乗則が経験的分布の裾野をうまくモデル化しているにもかかわらず、最大の事象は著しく外れ値である（つまり、モデルの下で予想されるよりもはるかに大きい）ことがわかっています。^{[ 7 ] [ 11 ] [ 12 ]}このような事象は、べき乗則の根底にある一般的なプロセスからの逸脱を示しているため、ドラゴンキングと解釈されます。その例としては、原子力発電所事故で発生する最大の放射性物質放出事象、ある国の都市サンプルの中で最大の都市（集積）、金融市場での最大の暴落、および日中の卸売電力価格などがあります。^{[ 7 ] [ 13 ]}

物理的に言えば、ドラゴンキングは複雑な非平衡システムの体制変化、分岐、転換点と関連付けられる可能性がある。 ^{[ 1 ]}例えば、図に示されている地球規模の生態系の破局（フォールド分岐）は、ドラゴンキングとみなすことができる。多くの観察者は、このような劇的な状態変化に驚くだろう。しかし、動的システムでは、システムが破局に近づくにつれて多くの前兆があることはよく知られている。

正のフィードバックもまた、ドラゴンキングを生み出すメカニズムの一つである。例えば、牛の暴走では、逃げる牛の数が増えるほどパニックのレベルが高まり、さらに多くの牛が逃げる、といった具合である。人間のダイナミクスにおいても、このような群れ行動や集団行動は、群衆、株式市場などで観察されている（群集行動を参照）。ドラゴンキングの形成における正のフィードバックループの役割は、特に振動ネットワークやカスケードネットワークにおいてよく知られている。このようなシステムは周期的に転換点に達し、不安定になり、自己増幅的なカスケードの連鎖を引き起こし、ドラゴンキングを生み出す。^{[ 15 ]}

結合振動子システムにおけるアトラクターのバブリングによってもドラゴンキングが発生します。^{[ 16 ]}アトラクターのバブリングは、結合振動子のネットワークで発生する一般的な挙動で、システムは通常、カオスアトラクターを持つ不変多様体（ピーク軌道が低い）を周回しますが、断続的に（ノイズによって）軌道が不変多様体から局所的に反発される領域（ピーク軌道が大きい）に押し込まれます。これらの逸脱が、図に示すようにドラゴンキングを形成します。このようなモデルは、地震、脳活動など、多くの実際の現象を記述できると主張されています。^{[ 16 ]}地質断層とその地震ダイナミクスのモデルとして考えられるブロックとバネの力学モデルでも、同様の分布が生成されました。^{[ 17 ]}

龍王は、システムの制御や介入の結果として生まれる場合もある。つまり、動的複雑系におけるストレスや死の解放を抑制しようとすると、ストレスの蓄積や不安定化への成熟につながる可能性がある。例えば、多くの地域では、低木や森林火災は自然現象である。こうした火災は不便なため、私たちはそれらを徹底的に消火したいと考えるかもしれない。その結果、不便な火災のない期間が長くなるが、火災がないと枯れ木が蓄積する。この蓄積が臨界点に達し、火災が発生すると、火は制御不能なほど大きくなる。これは龍王とみなせる特異な出来事である。何もしない（小さな火災が自然に発生するのを許容する）か、戦略的な制御された火入れを行うなどの他の政策は、頻繁に小さな火災を許容することで、巨大な火災を回避する。別の例としては、金融政策がある。量的緩和プログラムや低金利政策は、景気後退を回避し、成長を促進することなどを目的として一般的に行われている。しかし、こうしたプログラムは、所得格差を拡大させ、弱い企業を存続させ、資産バブルを膨張させることで不安定性を生み出す。^{[ 18 ] [ 19 ]}最終的に、経済変動を平準化することを目的としたこうした政策は、巨大な調整、すなわち龍王を引き起こすことになるだろう。

前のセクションで説明したように、ドラゴンキングは、他のイベントがべき乗則分布に従うシステムでよく発生します。べき乗則を生成するメカニズムは、自己組織化臨界性(SOC)の枠組みでよく研究されています。べき乗則とともにドラゴンキングを示す多くのシステムは、そのダイナミクスが純粋な SOC とどのように異なるかによって理解できます。^{[ 20 ]} SOC は通常、連続吸収状態相転移 (ASPT) を中心とした自己組織化 (SO) を伴います。ここで、SO は外部駆動と内部散逸の間の出現的なバランスを指し、ASPT はアクティブ相と非アクティブ (吸収) 相の間の遷移を示します。この相転移が一次 (不連続) の場合、ヒステリシスが発生し、大きなドラゴンキングイベントにつながります。^{[ 25 ] [ 26 ]} 通常 SOC をもたらす連続遷移でさえ、駆動と散逸のニュアンスによっては、ドラゴンキングを生成する領域に入る可能性があります。^{[ 20 ]}右の図は、この分類に基づくドラゴンキングの分類を示しています。セットAにはすべてのドラゴンキングが含まれ、セットBとCは連続遷移と不連続遷移の近くで自己組織化を行うものとを区別します。セットDとEは、特に吸収状態遷移のあるケースに焦点を当てています。

ドラゴンキングは定義上外れ値です。ただし、DK を外れ値と呼ぶ場合、重要な但し書きがあります。標準的な統計では、外れ値は通常誤った値であり、破棄されるか、外れ値に何らかの形で影響を受けない統計的手法が選択されます。それとは逆に、DK は非常に情報量の多い外れ値であり、統計的に大いに注目されるべきです。したがって、最初のステップは、履歴データから DK を特定することです。既存のテストは、経験分布関数(EDF) ^{[ 13 ]}の漸近特性に基づいているか、データの基礎となる累積分布関数(CDF) ^{[ 7 ]に関する仮定に基づいています。}

指数分布に対する外れ値の検定は非常に一般的であることがわかります。これは、極値理論のピカンズ・バルケマ・デ・ハーンの定理から導かれるもので、広範囲の分布が漸近的に（高い閾値を超えると）指数分布またはべき乗則の裾を持つことを示しています。余談ですが、これは極値を研究する際にべき乗則の裾が非常に一般的である理由の1つです。最後に、べき乗則の裾の自然対数は指数分布であるため、べき乗則データの対数を取ってから、指数分布の裾に対する外れ値の検定を行うことができます。指数分布のサンプルにおける外れ値の検定には、多くの検定統計量と手法があります。内向き検定では、最大の点、次に2番目に大きい点、といったように、棄却されない最初の検定（つまり、その点が外れ値ではないという帰無仮説が棄却されない）まで順に検定します。棄却された検定の数が外れ値の数を示します。例えば、${\displaystyle x_{(1)}>x_{(2)}>\cdots >x_{(n)}}$はソートされたサンプルであり、内向きロバスト検定では検定統計量を使用します。${\displaystyle T_{r,m}=x_{(r)}/(x_{(m)}+\cdots +x_{(n)})}$ここで、rはテスト対象の点である。${\displaystyle (r=1,2,3,\ldots )}$、 そして${\displaystyle r<m<n}$ここで、m は事前に指定された外れ値の最大数です。各ステップで、検定統計量のp 値を計算し、あるレベルより低い場合は検定を棄却する必要があります。この検定には多くの望ましい特性があります。外れ値の数を指定する必要がなく、外れ値の数の過小評価 (マスキング) や過大評価 (スワンピング) の傾向がなく、実装が容易で、指数分布の裾のパラメータの値に依存しない検定です。^{[ 7 ]}

例

竜王が異常値として検出された例には、次のものがあります。^{[ 7 ] [ 13 ]}

• 金融危機は、ドローダウンによって測定され、外れ値はテロ攻撃（例：2005年のロンドン爆破事件）や2010年のフラッシュクラッシュに対応します。
• 原子力発電所の事故によって放出された放射線量と発生した経済的損失。例外的な事例は、安全機構が機能しなくなった暴走災害に相当する。
• ある国における都市群の中で、人口規模が最も大きい都市（都市圏全体の人口で測定）であり、その都市が国のダイナミクスにおいて不釣り合いに重要な役割を果たし、独自の成長の恩恵を受けている場合。
• 日中の卸売電力価格、および
• 3波非線形相互作用により、ドラゴンキングの出現を抑制することが可能です。^{[ 27 ]}

ドラゴンキングをどのようにモデル化して予測するかは、その根底にあるメカニズムに依存します。しかし、一般的なアプローチでは、対象システムの継続的な監視と、測定値を（非線形または複雑な）動的モデルと比較する必要があります。システムがより均質で、相互作用が強いほど、予測しやすくなると提案されています。^{[ 28 ]}

例えば、臨界点で相転移を起こす非線形システムでは、前兆現象により臨界点の近傍に予測可能な領域が存在することがよく知られています。すなわち、摂動からの回復が遅くなる、自己相関が変化する、分散が増加する、空間コヒーレンスが増加するなどです。^{[ 30 ] [ 31 ]}これらの特性は、生物圏の変化^{[ 14 ]}からアリアンロケットの圧力タンクの破裂^{[ 32 ]}まで、多くの応用分野で予測に利用されてきました。幅広い現象への応用は、学際的なアプローチであり、第一原理の理解に依存しない複雑系視点を刺激しました。

持続不可能な成長現象（例えば、人口増加や株価増加）については、成長体制が変化する臨界点である有限時間特異点を特徴とする成長モデルを検討することができる。離散スケール不変なシステムでは、このようなモデルは対数周期関数で装飾されたべき乗則成長である。^{[ 34 ] [ 35 ]}このモデルを成長データに適合させること（非線形回帰）により、特異点、すなわち持続不可能な成長の終焉を予測することができる。これは多くの問題に適用されており、^{[ 3 ]}例えば、材料の破壊、^{[ 32 ] [ 36 ]}地震、^{[ 37 ]}および金融市場におけるバブルの成長と崩壊^{[ 12 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]などである。}

大ヒット作の誕生の要因を明らかにする興味深いダイナミクスとして、疫病の蔓延、メディアにおけるウイルス現象、株式市場におけるパニックやボラティリティの蔓延などが挙げられます。このような場合、活動や変動を外生的要因と内生的要因に分解し、活動の爆発的な増加につながる可能性のある内生的ダイナミクスについて学ぶことが有効なアプローチとなります。^{[ 33 ] [ 42 ] [ 43 ]}

龍王は、極端なリスク（機会にもなり得る）につながる特別な種類のイベントを形成します。極端なリスクが重要であることは自明であるべきです。自然災害は多くの例を提供します（たとえば、小惑星の衝突による絶滅）。極端な影響の統計的例としては、次のものがあります。最大の原子力発電所事故（チェルノブイリ原発事故）の損害コスト（推定米ドルコストで測定）は、他のすべての（±175）過去の原子力事故の合計とほぼ同等でした^{[ 44 ]。}組織からの個人データ漏洩の上位10%が、漏洩した個人データ全体の99%を占めています^{[ 45 ]。} 1900年以降の最大の5つの伝染病は、残りの1363人の20倍の死者を出しました^{[ 7 ] [ 46 ]}など。一般的に、このような統計は裾の重い分布の存在下で得られ、龍王の存在は、極端なイベントのすでに過大な影響を増幅させます。

極端な事象の重要性にもかかわらず、無知、インセンティブの不一致、認知バイアスなどが原因で、それらを適切に予測できないことがしばしばあります。技術的に言えば、これは分布の裾が十分に重くなく、極端な事象の連続的および多変量依存性を過小評価する、不適切な仕様のモデルにつながります。リスク評価におけるこのような失敗の例としては、金融におけるガウスモデル（ブラック・ショールズ、ガウス・コピュラ、LTCM ）の使用、異常波の発生を予測できなかったガウス過程と線形波動理論の使用、 2008年の金融危機を予測できなかった経済モデル全般の失敗、確率的リスク評価における外部事象、連鎖反応、非線形効果の過小評価による2011年の福島第一原子力発電所事故の予測失敗などが挙げられます。このような影響力のある失敗は、極端な事象の研究の重要性を強調しています。

龍王の概念は、リスクへの対処法について多くの疑問を投げかけます。もちろん、可能であれば大きなリスクへの曝露は避けるべきです（これはしばしば「ブラックスワン・アプローチ」と呼ばれます）。しかし、多くの事業展開において、リスクへの曝露は不可欠であり、リスクとリターンのトレードオフを適切に判断する必要があります。

適応システムでは、ドラゴンキングの予測が成功すれば、システムを防御したり、利益を得たりするための行動をとることができます。このような回復力のあるシステムや、それらのリアルタイムのリスク監視システムをどのように設計するかは、ドラゴンキングを考慮しなければならない重要な学際的問題です。^{[ 47 ]}

別の観点から言うと、特定のシステム（銀行、保険会社、堤防、橋、社会経済システムなど）におけるリスクの定量化に関しては、リスクは年間などの一定期間にわたって考慮する必要があります。通常、ある値を超える損失または損害の年間確率（リスク値）、その他のテールリスク指標、および再現期間などの統計に関心があります。このようなリスク特性を提供するには、動的なドラゴンキングを年間頻度と深刻度の統計の観点から考察する必要があります。これらの頻度と深刻度の統計は、複合ポアソン過程などのモデルにまとめることができます。

システムの統計的特性が時間を通じて一貫している（定常的である）場合、頻度と深刻度の統計は、過去の観測、シミュレーション、および/または仮定に基づいて構築できます。そうでない場合は、シナリオのみを構築できます。ただし、いずれの場合も、存在する不確実性を考慮すると、さまざまなシナリオを検討する必要があります。極端な事象に関するデータの不足、節約の原則、および普遍的な裾モデルに関する極値理論の理論的結果により、通常は一般化パレート分布（GPD）裾モデルに頼ります。ただし、このようなモデルはDKを除外します。したがって、ドラゴンキングが存在すると信じるに足る十分な理由がある場合、または単にシナリオを検討したい場合は、たとえば、GPDとDKレジームの密度の密度の混合を検討することができます。