返品期間

再現期間（再発間隔または繰り返し間隔とも呼ばれる）とは、地震、洪水、^[1] 地滑り、^[2]河川流出などの事象が発生する平均時間または推定平均時間です。

これは、通常、長期間にわたる履歴データに基づく統計的測定であり、通常はリスク分析に使用されます。例としては、特定のリスクのあるゾーンでプロジェクトを進めることを許可するかどうかを決定したり、特定の再発期間のイベントに耐える構造を設計したりすることが挙げられます。以下の分析では、イベントが発生する確率は時間の経過とともに変化せず、過去のイベントとは無関係であると想定しています。

再発間隔${\displaystyle ={n+1 \over m}}$

記録されている年数 。

mは降順に並べたときの観測された発生順位である^[3]

^{洪水の場合、事象はm 3} /sまたは高さで測定されます。高潮の場合は高潮の高さで測定され、他の事象でも同様です。これがワイブルの公式です。^{[4] : 12  [5] [検証失敗]}

発生間の理論的な再現期間は、発生の平均頻度の逆数です。たとえば、10 年に一度の洪水では、 1 年間に超過する確率は 1/10 = 0.1 または 10% であり、50 年に一度の洪水では、1 年間に超過する確率は 0.02 または 2% です。

これは、100 年に一度の洪水が 100 年ごとに定期的に発生する、または 100 年に一度だけ発生するという意味ではありません。「再現期間」という名前には意味合いがありますが。任意の100 年間の期間では、100 年に一度の出来事が 1 回、2 回、それ以上発生するか、まったく発生しない可能性があり、それぞれの結果には以下のように計算できる確率があります。

また、下記の推定再来期間は統計です。これは、理想的な分布における理論値とは異なり、一連のデータ (観測値) から計算されます。特定の規模以上の地震が 1% の確率で発生するかどうかは実際にはわかりません。わかるのは、100 年に 1 回だけ観測されたということだけです。

この区別が重要なのは、まれな出来事の観測例がほとんどないからです。たとえば、観測が 400 年前に遡ると、最も極端な出来事 (統計上の定義では 400 年周期の出来事) は、その後のより長い観測で、200 年周期の出来事 (同等の出来事がすぐに発生する場合) または 500 年周期の出来事 (さらに 100 年間同等の出来事が発生しない場合) に分類される可能性があります。

さらに、このような記録だけに基づいて 1000 年に一度の出来事の規模を判断することはできません。代わりに、統計モデルを使用してこのような (観測されていない) 出来事の規模を予測する必要があります。過去の再現間隔が 1000 年よりはるかに短い場合でも、同様の性質のそれほど深刻ではない出来事が多数記録されている場合、このようなモデルを使用すると、将来の再現間隔を推定するのに役立つ有用な情報が得られる可能性があります。

確率モデルで再来期間を解釈できればよいと思います。最も論理的な解釈は、再来期間をポアソン分布の計数率と見なすことです。これは発生率の期待値だからです。別の解釈としては、二項分布における年間ベルヌーイ試行の確率と見なすこともできます。これは好ましくありません。各年は独立したベルヌーイ試行を表すのではなく、時間の任意の尺度を表すからです。この質問は主に学術的なものであり、得られる結果はポアソンと二項のどちらの解釈でも同様です。

ポアソン分布の確率質量関数は

${\displaystyle P(r;t)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}}$

ここで、は確率が計算される発生回数、は関心期間、は再発期間、は計数率です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu =1/T}$

発生しない確率は、の場合を考慮するだけで簡単に求めることができます。式は次のようになります。 ${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle P(r=0;t)=e^{-\mu t}=e^{-t/T}}$

その結果、超過確率（つまり、再来期のイベントよりも「強い」イベントが、関心のある期間内に少なくとも1回発生する確率）は、 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t>0;t)=1-P(t=0;t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}}$

再現期間 のどの事象についても、再現期間に等しい間隔 (つまり) 内での超過確率は再現期間とは無関係であり、 に等しいことに注意してください。これは、たとえば、50 年再現洪水よりも大きな洪水が 50 年の任意の期間内に発生する確率が 63.2% であることを意味します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle t=T}$${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$

発生頻度が243年（）の場合、10年間に1回発生する確率は ${\textstyle T}$${\textstyle \mu =0.0041}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(r;t)&={\frac {(\mu t)^{r}}{r!}}e^{-\mu t}\\[6pt]P(r=1;t=10)&={\frac {(10/243)^{1}}{1!}}e^{-10/243}\approx 3.95\%\end{aligned}}}$

単位時間当たりの与えられた期間（例：）において、再来期間の与えられた数rの事象の確率は、次のように 二項分布によって与えられます。${\displaystyle n\times \tau }$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau =1{\text{年}}}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{nr}.}$

これは、単位時間あたりに 1 回以上発生する確率がゼロの場合にのみ有効です。多くの場合、これは近似値に近い値であり、その場合、この式によって得られる確率は近似値として保持されます。 ${\displaystyle \tau}$

もしそうであれば ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0}$${\displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$

${\displaystyle {\frac {n!}{(nr)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{nr}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.}$

取る

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{T}}={m \over n+1}}$

どこ

Tは戻り間隔

n は記録されている年数です。

mは、検討中のイベントの記録された発生回数です。

事象の再現期間は100年であることを考えると、

${\displaystyle p={1 \over 100}=0.01.}$

したがって、このようなイベントが 10 年間連続して1 回発生する確率は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1}}\times 0.01^{1}\times 0.99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0.01\times 0.914\\[4pt]&\approx 0.0914\end{aligned}}}$

再現期間はリスク分析（自然災害、固有災害、水文学的災害などの）に役立ちます。^[6]構造物の設計上の期待値を扱う場合、再現期間は構造物の危険性を計算するのに役立ちます。

構造物の予想寿命中に設計限界を超える事象が少なくとも 1 つ発生する確率は、設計限界を超える事象が発生し ない確率の補数です。

このパラメータを評価する式は

${\displaystyle {\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T}\right)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}}$

どこ

${\displaystyle {1 \over T}=P(X\geq x_{T})}$問題のイベントが 1 年間に発生する確率を表す表現です。

n は構造物の予想寿命です。

• 100年に一度の大洪水
• 累積頻度分析
• 超過頻度
• 滞在時間