双極子

物理学において、双極子（古代ギリシャ語の δίς （dís）  「二度」とπόλος （pólos）  「軸」に由来）^{[1] [2] [3]は、2つの方法で発生する}電磁気現象です。

• 電気双極子は、あらゆる電磁気システムで見られる正電荷と負電荷の分離を扱います。このシステムの簡単な例としては、通常は小さな距離で隔てられた、大きさは等しいが符号が反対の電荷のペアがあります。(永久的な電気双極子はエレクトレットと呼ばれます。)
• 磁気双極子は電流システムの閉じた循環です。簡単な例としては、一定の電流が流れる単一のワイヤループがあります。棒磁石は永久磁気双極子モーメントを持つ磁石の例です。^{[4] [5]}

電気双極子でも磁気双極子でも、双極子モーメントというベクトル量によって特徴付けることができます。単純な電気双極子の場合、電気双極子モーメントは負電荷から正電荷に向かっており、大きさは各電荷の強度と電荷間の距離の積に等しくなります。(正確には、双極子モーメントの定義では、常に「双極子限界」を考慮する必要があります。たとえば、生成電荷の距離は0 に収束する一方で、電荷の強度は積が正の定数のままになるように無限大に 発散する必要があります。)

磁気（双極子）電流ループの場合、磁気双極子モーメントはループを通過し（右手のグリップのルールに従って）、その大きさはループ内の電流とループの面積の積に等しくなります。

磁気電流ループと同様に、電子粒子やその他の基本粒子には磁気双極子モーメントがあり、電子は非常に小さな電流ループによって生成されるものと同じ磁場を生成します。ただし、電子の磁気双極子モーメントは電流ループによるものではなく、電子の固有の特性によるものです。 ^[6]電子は電気双極子モーメントも持っている可能性がありますが、まだ観測されていません（電子の電気双極子モーメントを参照）。

棒磁石などの永久磁石は、電子の固有の磁気双極子モーメントによって磁性を帯びます。棒磁石の両端は極と呼ばれ (単極子と混同しないでください。以下の分類を参照してください)、「北」および「南」とラベル付けされることがあります。地球の磁場に関して言えば、これらはそれぞれ「北向き」および「南向き」の極です。磁石が地球の磁場内に自由に浮かんでいる場合、北向き極は北を指し、南向き極は南を指します。棒磁石の双極子モーメントは、その磁気南極からその磁気北極を指します。磁気コンパスでは、棒磁石の北極は北を指します。ただし、これは地球の地磁気北極がその双極子モーメントの南極 (南向き極) であり、その逆も同様であることを意味します。

磁気双極子の生成メカニズムとして知られているのは、電流ループまたは量子力学的スピンによるものだけです。磁気単極子の存在は実験的に実証されたことがないためです。

物理的な双極子は、等しく反対の点電荷 2 つで構成されます。文字通り、2 つの極です。遠距離 (つまり、極の間隔に比べて長い距離) での双極子の場は、上で定義した双極子モーメントにほぼ完全に依存します。点(電気) 双極子は、双極子モーメントを固定したまま間隔を 0 に近づけることで得られる極限です。点双極子の場は特に単純な形式であり、多極展開の 1 次項はまさに点双極子場です。

自然界には磁気単極子は知られていないが、電子などの粒子に関連する量子力学的スピンの形で磁気双極子が存在する（ただし、このような効果の正確な説明は古典的電磁気学の範囲外である）。理論上の磁気点双極子は、電気点双極子の電場とまったく同じ形の磁場を持つ。非常に小さな電流を流すループは、ほぼ磁気点双極子である。このようなループの磁気双極子モーメントは、ループを流れる電流とループの（ベクトル）面積の積である。

電荷や電流のいかなる配置にも「双極子モーメント」があり、これは遠距離でその配置の磁場に最も近似する双極子の磁場を表します。これは、総電荷 (「単極子モーメント」) が 0 のときの多極子展開の 1 つの項にすぎません。磁気単極子が存在しないため、磁気の場合は常に0です。遠距離では双極子項が支配的です。その磁場は⁠に比例して減少します。1/r3 ^{3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 49 40 51 42 43 44 46 5}⁠ 、 ⁠と比較して1/r4 ^{4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 52 43 53 44 54 55 66 77 88 99 99 109 119 2}⁠次の（四重極）項および⁠の高次の累乗については、1/r⁠ より高次の用語の場合、または⁠1/r2 ^...⁠モノポール項の場合。

多くの分子は、さまざまな原子上の正電荷と負電荷の不均一な分布のために、このような双極子モーメントを持っています。フッ化水素(HF) などの極性化合物の場合がその一例で、電子密度が原子間で不均等に分配されます。したがって、分子の双極子は固有の電場を持つ電気双極子であり、磁場を生成する 磁気双極子と混同しないでください。

物理化学者のピーター・J・W・デバイは、分子双極子を広範囲に研究した最初の科学者であり、その結果、双極子モーメントは彼に敬意を表してデバイと名付けられた非SI単位で測定されます。

分子には 3 種類の双極子があります。

永久双極子

これらは、分子内の 2 つの原子の電気陰性度が実質的に異なる場合に発生します 。つまり、一方の原子はもう一方の原子よりも電子を引き付けてより負になり、もう一方の原子はより正になります。永久双極子モーメントを持つ分子は、極性分子と呼ばれます。双極子間引力を参照してください。

瞬間双極子

これらは、偶然に分子内のある場所に電子が他の場所よりも集中し、一時的な双極子を形成することで発生します。これらの双極子は永久双極子よりも大きさは小さいですが、その普及により化学や生化学で大きな役割を果たしています。瞬間双極子を参照してください。

誘導双極子

これらは、永久双極子を持つ分子が別の分子の電子を反発し、その分子に双極子モーメントを誘導するときに発生します。分子は、誘導双極子を持つときに分極します。誘導双極子引力を参照してください。

より一般的には、任意の分極電荷分布 ρ （分子は電荷分布を持つことを思い出してください）の誘導双極子は、ρの外部の電場によって生じます。この電場は、たとえば、 ρ の近くにあるイオンまたは極性分子から発生する場合もあれば、マクロな場合もあります（たとえば、充電されたコンデンサのプレート間の分子）。誘導双極子モーメントの大きさは、外部電場の強度と ρの双極子分極率の積に等しくなります。

双極子モーメントの値は誘電率の測定から得ることができる。単位デバイで示される典型的な気相値は以下の通りである。^[7]

• 二酸化炭素：0
• 一酸化炭素: 0.112 D
• オゾン: 0.53 D
• ホスゲン: 1.17 D
• アンモニア: 1.42 D
• 水蒸気: 1.85 D
• シアン化水素：2.98 D
• シアナミド: 4.27 D
• 臭化カリウム: 10.41 D

臭化カリウム (KBr) は、気相中で分子として存在する イオン化合物であるため、最も高い双極子モーメントを持つ化合物の 1 つです。

分子の全体的な双極子モーメントは、結合双極子モーメントのベクトル和として近似できます。ベクトル和は結合の相対的な向きに依存するため、双極子モーメントから分子の形状に関する情報を推測できます。

たとえば、CO ₂の双極子がゼロであることは、2 つの C=O 結合双極子モーメントが打ち消し合うため、分子が直線状になることを意味します。H ₂ O の場合、分子が曲がっているため、O−H 結合モーメントは打ち消されません。同じく曲がっている分子であるオゾン (O ₃ ) の場合、O−O 結合が類似の原子間にあるにもかかわらず、結合双極子モーメントはゼロではありません。これは、中心の酸素原子に正電荷があることを示すオゾンの共鳴形のルイス構造と一致します。

有機化学において、双極子モーメントを決定する上での形状の役割の例として、1,2-ジクロロエテンのシス異性体とトランス異性体があります。シス異性体では、2 つの極性 C−Cl 結合が C=C 二重結合の同じ側にあり、分子の双極子モーメントは 1.90 D です。トランス異性体では、2 つの C−Cl 結合が C=C の反対側にあり、打ち消されるため、双極子モーメントはゼロです (極性がはるかに低い C−H 結合の 2 つの結合モーメントも打ち消されます)。

分子構造の役割を示すもう 1 つの例は三フッ化ホウ素です。三フッ化ホウ素は、イオン結合の従来から引用されている閾値 1.7 よりも大きな電気陰性度の差を持つ 3 つの極性結合を持っています。しかし、フッ化物イオンがホウ素カチオンを中心として同じ平面内に正三角形に分布しているため、分子の対称性により双極子モーメントはゼロになります。

電荷q _iと位置ベクトルr _{i を}持つN個の粒子の集合を考えてみましょう。たとえば、この集合は、電荷が− e の電子と電荷eZ _iの原子核からなる分子である可能性があります。ここで、Z _{i は}i番目の原子核の原子番号です 。双極子観測量 (物理量) には、量子力学双極子演算子があります。^[要出典]

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}\,.}$

この定義は中性原子または分子、つまり全電荷がゼロの場合にのみ有効であることに注意してください。イオン化の場合、

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{c}),}$

は分子/粒子群の質量中心である。^[8]${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$

非縮退（S状態）原子は、ゼロの永久双極子しか持つことができません。この事実は、原子の反転対称性から量子力学的に導かれます。双極子演算子の3つの成分はすべて、原子核に関して 反転に対して反対称です。

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\;{\mathfrak {p}}\;{\mathfrak {I}}^{-1}=-{\mathfrak {p}},}$

ここで は双極子演算子であり、 は反転演算子です。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$

非縮退状態（縮退エネルギーレベルを参照）の原子の永久双極子モーメントは、双極子演算子の期待値（平均）として与えられる。

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {p}}|\,S\,\right\rangle ,}$

ここで、はS状態の非縮退波動関数であり、反転に対して対称または反対称である。波動関数（ケット）とその複素共役（ブラ）の積は反転とその逆に対して常に対称であるため、 ${\displaystyle |\,S\,\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {I}}\,|\,S\,\rangle =\pm |\,S\,\rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,|{\mathfrak {p}}|\,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {I}}\,{\mathfrak {p}}\,{\mathfrak {I}}^{-1}|\,S\,\right\rangle =-\left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle }$

期待値は反転によって符号が変わる。ここでは、対称演算子である がユニタリであるという事実を使用した。また、定義により、エルミート随伴関数はブラからケットに移動でき、 になる。マイナス自身に等しい唯一の量はゼロであるため、期待値は消える。 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{-1}={\mathfrak {I}}^{*}\,}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{*}\,}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{**}={\mathfrak {I}}\,}$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =0.}$

縮退したエネルギー準位を持つ開殻原子の場合、一次シュタルク効果を利用して双極子モーメントを定義できます。これにより、縮退したエネルギーに属する波動関数の一部が反対のパリティを持つ場合、つまり反転時に異なる動作をする場合にのみ、非消滅双極子 (定義により非消滅の一次シュタルクシフトに比例) が得られます。これはまれな発生ですが、励起された H 原子で発生します。励起された H 原子では、2s 状態と 2p 状態が「偶然に」縮退し (この縮退の原因については、ラプラス・ルンゲ・レンツ ベクトルの記事を参照)、反対のパリティ (2s は偶数、2p は奇数) を持ちます。

双極子磁場の 遠方場強度Bは次のように表される。

${\displaystyle B(m,r,\lambda )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m}{r^{3}}}{\sqrt {1+3\sin ^{2}(\lambda )}}\,,}$

どこ

Bは磁場の強さで、テスラで測定される。

rは中心からの距離で、メートル単位で測定されます。

λは磁気緯度（90° −  θに等しい）であり、θは磁気余緯度であり、双極子軸からのラジアンまたは度で測定される^[注1]

mは双極子モーメントであり、アンペア平方メートルまたはジュール/テスラで測定されます。

μ _{0 は}自由空間の透磁率であり、ヘンリー/メートルで測定されます。

円筒座標への変換はr ² = z ² + ρ ²と

${\displaystyle \lambda =\arcsin \left({\frac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\right)}$

ここでρはz軸からの垂直距離である。

${\displaystyle B(\rho ,z)={\frac {\mu _{0}m}{4\pi \left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {1+{\frac {3z^{2}}{z^{2}+\rho ^{2}}}}}}$

フィールド自体はベクトル量です。

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} }{r^{3}}}}$

どこ

Bはフィールド

rは双極子の位置から磁場が測定されている位置までのベクトルである。

rはrの絶対値です。rは双極子からの距離です。

r̂ = ⁠r/r⁠ はrに平行な単位ベクトルです。

mは（ベクトル）双極子モーメントである

μ _{0 は}自由空間の透磁率である

これはまさに点双極子のフィールドであり、任意のフィールドの多重極展開における双極子項であり、遠距離における任意の双極子のような構成のフィールドと ほぼ一致します。

磁気双極子の ベクトルポテンシャル Aは

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

上記と同じ定義です。

原点の電気双極子による 位置rの静電ポテンシャルは次のように表されます。

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

ここでpは（ベクトル）双極子モーメント、є0_は自由空間の誘電率です。

この項は、任意の静電ポテンシャル Φ( r ) の多重極展開の 2 番目の項として現れます。ここで想定されているように、 Φ( r )のソースが双極子である場合、この項は Φ( r )の多重極展開で唯一消えない項です。双極子からの電場は、このポテンシャルの勾配から求めることができます。

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}}}-\delta ^{3}(\mathbf {r} ){\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}.}$

これは、デルタ関数を無視した点磁気双極子の磁場の表現と同じ形式です。しかし、実際の電気双極子では、電荷は物理的に分離しており、電場は点電荷で発散または収束します。これは、どこでも連続している実際の磁気双極子の磁場とは異なります。デルタ関数は、点電荷間の反対方向を指す強い場を表しますが、双極子の位置の場にはほとんど関心がないため、省略されることがよくあります。双極子の内部場に関する詳細な議論については、^{[5] [9]}または磁気モーメント § 双極子の内部磁場を参照してください。

電場の方向は正電荷にかかる力の方向として定義されるため、電場の線は正電荷から離れて負電荷に向かいます。

均一な電場または磁場の中に置かれると、双極子の両側に等しいが反対の力が生じ、トルク τ }が生成されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$

電気双極子モーメント p（クーロンメートル） の場合、または

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }$

磁気双極子モーメント m (アンペア平方メートル)。

結果として生じるトルクは、双極子を印加された電界に沿わせる傾向があり、電気双極子の場合、位置エネルギーは

${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }$。

磁気双極子のエネルギーも同様に

${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$。

静電気学における双極子に加えて、時間とともに振動する電気双極子または磁気双極子も考慮することが一般的です。これは、球面波放射 の拡張、またはより物理的な次のステップです。

特に、角周波数 ωと形の ẑ方向に沿った双極子モーメントp _{0を持つ調和振動する電気双極子を考える。}

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {p} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}=p_{0}{\hat {\mathbf {z} }}e^{-i\omega t}.}$

真空中では、この振動双極子によって生成される正確な場は、遅延ポテンシャルの定式化を使用して次のように導くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}\left({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \right)\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}\left[{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} \right]-\mathbf {p} \right)\right\}e^{\frac {i\omega r}{c}}e^{-i\omega t}\\\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}e^{-i\omega t}.\end{aligned}}}$

⁠の場合rω/c⁠  ≫ 1、遠方場は放射状の「球状」波というより単純な形をとるが、外積に角度依存性が埋め込まれている：^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}={\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {z} }}){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}\mathbf {\hat {\phi }} \\\mathbf {E} &=c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta )\left({\hat {\phi }}\times \mathbf {\hat {r}} \right){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}{\hat {\theta }}.\end{aligned}}}$

時間平均ポインティングベクトル

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\left({\frac {\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}c}}\right){\frac {\sin ^{2}(\theta )}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

非球形の電磁波の結果として、等方的に分布するのではなく、双極子モーメントに垂直な方向に集中します。実際、このようなトロイダル角度分布の原因となる球面調和関数 (sin θ )は、まさにl  = 1 "p" 波です。

場から放射される全時間平均電力は、ポインティングベクトルから次のように導出できる。

${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}.}$

電力が放射周波数の 4 乗に依存することはレイリー散乱と一致しており、これが空が主に青色で構成されている根本的な影響であることに注意してください。

円偏波双極子は、2 つの線形双極子の重ね合わせとして説明されます。

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• インド洋ダイポールモード現象と亜熱帯インド洋ダイポールモード現象は、2つの海洋現象です。
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• USGS 地磁気プログラム
• 力の場 2010-12-14ウェイバックマシンにアーカイブ: オンライン教科書の章
• Stephen Wolframによる電気双極子ポテンシャルと Franz Krafft による磁気双極子のエネルギー密度。Wolframデモンストレーション プロジェクト。