ド・ジッター不変な特殊相対性理論

数理物理学において、ド・ジッター不変特殊相対性理論は、時空の基本的な対称群が不定直交群SO(4,1) であり、ド・ジッター空間のそれが不定直交群SO(4,1) であるという推測的な考えである。一般相対性理論の標準理論では、ド・ジッター空間は対称性の高い特殊真空解であり、それを維持するには宇宙定数または一定のスカラー場の応力エネルギーが必要である。

ド・ジッター不変相対論の考え方は、物理法則が特殊相対論のポアンカレ群の下では根本的に不変ではなく、ド・ジッター空間の対称群の下では不変であることを要求するというものである。この仮定により、空の空間は自動的にド・ジッター対称性を持ち、通常一般相対論で宇宙定数と呼ばれるものは、時空の対称構造を記述する基本的な次元パラメータとなる。

この理論は1954年にルイジ・ファンタピエによって初めて提唱され、1968年にアンリ・バクリとジャン＝マルク・レヴィ＝ルブロンによって再発見されるまでは謎のままでした。1972年にフリーマン・ダイソンは、一般相対性理論の構造の一部が発見される前に数学者が推測できた仮説的な方法としてこれを普及させました。^[1]宇宙の加速膨張の発見は、二重特殊相対性理論のような新しい物理学の他の推測的な提案と相まって、ド・ジッター不変理論への関心の復活につながりました。

ド・ジッターは時空の曲率が重力だけによるものではないかもしれないと示唆したが^[2]、それがどのように達成されるかについては数学的な詳細は示さなかった。1968年にアンリ・バクリとジャン＝マルク・レヴィ＝ルブロンはド・ジッター群が等方性、均質性、ブースト不変性と両立する最も一般的な群であることを示した^[3] 。後にフリーマン・ダイソン^[1]はこれを一般相対性理論の数学的構造をより自明にするアプローチとして提唱した。

ミンコフスキーの特殊相対論における空間と時間の統一は、ニュートン力学のガリレイ群をローレンツ群に置き換えるものである。ローレンツ群は単純であるのに対し、ガリレイ群は回転とガリレイブーストの半直積であるため、これは空間と時間の統一と呼ばれる。つまり、ローレンツ群は空間と時間を混同して分離できないのに対し、ガリレイ群は時間を空間とは異なる測定単位を持つパラメータとして扱うということである。

3次元の通常の回転群でも、同様のことが起きる可能性がある。ほぼ平坦な世界、つまりパンケーキのような平坦な世界をパンケーキのように平らな生き物が歩き回っている世界を想像すると、彼らの通常の高さの単位はマイクロメートル（μm）になるかもしれない。なぜなら、その世界の典型的な構造物の高さがそれだからである。一方、距離の単位はメートルになるかもしれない。なぜなら、それが彼らの体の水平方向の範囲だからである。そのような生き物は、自分たちの世界の基本的な対称性をSO(2)、つまり水平（x-y）平面での既知の回転として説明するだろう。後に、彼らはx軸とy軸の周りの回転を発見するかもしれない。そして、彼らの日常の経験では、そのような回転は常に微小角度によるものかもしれないので、これらの回転は事実上互いに交換可能となる。

水平軸の周りの回転により、物体は極微量傾きます。x-z 平面の傾き (「x 傾斜」) は 1 つのパラメータで、y-z 平面の傾き (「y 傾斜」) は別のパラメータです。このパンケーキ ワールドの対称群は、R ²との SO(2) 半直積です。つまり、2 次元回転に x 傾斜と y 傾斜という 2 つの追加パラメータが加わったことになります。半直積である理由は、回転すると、x 傾斜と y 傾斜が互いに回転するためです。これらは2 つのスカラーではなくベクトルを形成します。この世界では、同じ x、y にある 2 つの物体の高さの差は、長さや幅とは関係なく、回転不変量になります。z 座標は、事実上 x および y とは別です。

最終的には、大きな角度での実験により、生物は世界の対称性がSO(3)であると確信するでしょう。そして、回転によって混ざり合う可能性があるため、 z は実際には x および y と同じであることを理解するでしょう。 SO(2) の半直積 R ²極限は、自由パラメータμ、つまり高さの範囲μmと長さの範囲mの比が 0 に近づく極限として理解されます。ローレンツ群は類似しており、時間の範囲が空間の範囲に比べて長くなるとガリレイ群に変わる単純な群、または速度が無限小と見なせる場合、または同等に、相対論的効果が「無限速度の場合と同じくらい」観測可能になる 極限c → ∞と見なすことができます。

特殊相対論の対称群は、平行移動のため、完全に単純ではありません。ローレンツ群は、原点を固定した変換の集合ですが、平行移動は含まれません。完全なポアンカレ群は、平行移動とローレンツ群の半直積です。平行移動がローレンツ群の要素に類似している場合、ブーストは非可換であるため、平行移動も非可換になります。

パンケーキワールドでは、生物が平面ではなく巨大な球体上で生活している場合に、これが明らかになります。この場合、生物が球体上を歩き回っているとき、生物は最終的に、並進運動が回転と完全に分離されているわけではないことに気付くでしょう。なぜなら、生物が球体の表面上を動き回った場合、出発点に戻ったときに、球体上の平行移動のホロノミーによって回転していることに気付くからです。宇宙がどこでも同じ (均質) であり、優先方向がない (等方性) 場合、対称群の選択肢は多くありません。生物は、平面上、または一定の正の曲率を持つ球体上、または一定の負の曲率を持つロバチェフスキー平面上のいずれかに住んでいます。生物が平面上に住んでいない場合、位置を、回転を記述するのと同じパラメーターである無次元角度を使用して記述できるため、並進運動と回転は名目上統一されます。

相対論では、並進運動が回転と非自明に混ざり合っても、宇宙が依然として均質かつ等方性である場合、唯一の選択肢は時空が均一なスカラー曲率を持つことです。曲率が正の場合、2次元の生物の球の場合のアナログですが、時空はド・ジッター空間であり、その対称群はポアンカレ群ではなくド・ジッター群です。

ド・ジッターの特殊相対性理論は、空の空間が自然の基本法則としてド・ジッター対称性を持つと仮定しています。これは、物質やエネルギーが存在しない場合でも時空がわずかに曲がっていることを意味します。この残余曲率は、観測によって決定される正の宇宙定数 Λ を意味します。定数の大きさが小さいため、ほとんどの実用的目的において、ポアンカレ群を持つ特殊相対性理論はド・ジッター空間と区別がつきません。

この考えの現代の支持者であるS.カッチャトリ、V.ゴリーニ、A.カメンシク^{[4]などは、この理論を数学だけでなく物理学として再解釈した。彼らは、宇宙の膨張の加速は}真空エネルギーだけによるものではなく、少なくとも部分的にはポアンカレ群に代わるド・ジッター 群の運動学によるものだと仮定している。

この考え方を修正すると、時間とともに変化することになり、インフレーションはビッグバン付近の宇宙定数が現在よりも大きかったことから生じる可能性がある。これは量子重力の問題に対する別のアプローチとして見ることもできる。^[5]${\displaystyle \Lambda}$

ポアンカレ群は 低速度運動学ではガリレイ群に縮退する。つまり、すべての速度が小さい場合、ポアンカレ群はガリレイ群に「変形」する。（これはイノニュとウィグナーの群縮退の概念で正確に説明できる。^[6]）

同様に、考慮されるすべての並進運動の大きさがド・シッター半径に比べて非常に小さい場合、ド・シッター群は 短距離運動学に対してポアンカレ群に縮約されます。 ^[5]量子力学では、短距離は高エネルギーによってプローブされるため、宇宙定数に関連する非常に小さな値を超えるエネルギーに対しては、ポアンカレ群はド・シッター群の良い近似になります。

ド・ジッター相対論では、宇宙定数はもはや同じタイプの自由パラメータではなく、並進と回転/ブーストの交換関係を決定する基本量であるド・ジッター半径によって決定されます。これは、ド・ジッター相対論の理論が宇宙定数の値に関する洞察を提供し、おそらく宇宙の一致を説明できる可能性があることを意味します。残念ながら、宇宙定数を決定するド・ジッター半径はド・ジッター相対論では調整可能なパラメータであるため、理論では測定スケールに関連してその値を決定するための別の条件が必要です。

宇宙定数を運動学的パラメータとみなす場合、エネルギーと運動量の定義は特殊相対論の定義から変更される必要がある。宇宙定数が当時より大きかった場合、これらの変更は初期宇宙の物理学を大幅に変更する可能性がある。高エネルギー実験により、短期間でミンコフスキー空間から大きな宇宙定数を持つド・ジッター空間へと時空の局所構造を変更できると推測する者もおり、これは最終的に既存または計画中の粒子加速器でテストされる可能性がある。^[7]

ド・ジッター群は当然不変の長さパラメータを組み込んでいるので、ド・ジッター相対性はいわゆる二重特殊相対性理論の例として解釈することができる。しかし、基本的な違いがある。すべての二重特殊相対性モデルではローレンツ対称性が破れているのに対し、ド・ジッター相対性理論ではそれが物理的な対称性として残っている。^{[8] [9]}通常の二重特殊相対性モデルの欠点は、通常の特殊相対性理論が破綻するとされるエネルギースケールでのみ有効であり、パッチワーク相対性を生み出すことである。一方、ド・ジッター相対性理論は、質量、エネルギー、運動量の同時再スケーリングで不変であることがわかっており、^[10]結果的にすべてのエネルギースケールで有効である。二重特殊相対性理論、ド・ジッター空間、一般相対性理論の関係は、デレク・ワイズによって説明されている。^[11]マクドウェル・マンスーリ作用も参照。

v ≪ cの極限では、ド・ジッター群はニュートン・フック群に収縮する。^[12]これにより、非相対論的極限では、ド・ジッター空間内の物体は原点からの余分な「反発力」を持つことになる。つまり、物体は原点からの距離に比例した外向きの架空の力で中心から離れる傾向がある。

これは空間内の優先点、つまり反発の中心を選んだように見えますが、より微妙に等方性です。別の地点にいる観測者の均一に加速された参照フレームに移動すると、すべての加速は新しい地点に反発の中心を持つように見えます。

これが意味するのは、曲率がゼロでない時空では、重力はニュートンの重力から修正されるということです。^[13]空間の半径に匹敵する距離では、物体は座標の中心から追加の線形反発を感じます。

• 「ド・ジッター相対性理論」は、1954年にファンタッピエによって初めて発表されたルイジ・ファンタッピエとジュゼッペ・アルシディアコノの「射影相対性理論」と同じであり^[14]、1976年の別の独立した発見と同じです。^[15]
• 1968年にアンリ・バクリとジャン＝マルク・レヴィ＝ルブロンは、運動学の可能性に関する論文を発表した^[3]
• 1972年にフリーマン・ダイソン^[1]がこれをさらに研究した。
• 1973年にエリアノ・ペッサはファンタピエ・アルキディアコノ射影相対論が射影相対論の初期の概念やカルツァ・クラインの理論とどのように関係しているかを説明した。^[16]
• R. アルドロヴァンディ、JP ベルトラン アルメイダ、JG ペレイラは、2007 年の論文「ド・ジッター特殊相対性」から「ド・ジッター特殊相対性」および「ド・ジッター相対性」という用語を使用しています。^{[10] [17]}この論文は、非ゼロ宇宙定数の結果^[18] 、二重特殊相対性^[19]、ニュートン・フック群^{[3] [20] [21]}、およびド・ジッター空間で特殊相対性理論を定式化する初期の研究^{[22] [23] [24]などに関する以前の研究に基づいています。}
• 2008年にS. Cacciatori、V. Gorini、A. Kamenshchik ^[4]は、ド・ジッター相対論の運動学に関する論文を発表しました。
• 他の著者による論文には、dSRと微細構造定数、^[25] dSRとダークエネルギー、^[26] dSRハミルトニアン形式、^[27]ダイヤモンドの温度からのド・ジッター熱力学、^[28] 6次元からの三重特殊相対論、^[29]変形一般相対論とねじれ^{[30]などがある。}

ド・ジッター特殊相対論には量子化バージョンや量子バージョンがある。^{[31] [32]}

デ・ジッター空間における量子理論の定式化に関する初期の研究には以下のものがある: ^{[33] [34] [35] [36] [37] [38] [39]}

• 非可換幾何学
• 曲がった時空における量子場理論

• R. Aldrovandi、JG Pereira (2009)。「物理学は新しい運動学を求めているか?」International Journal of Modern Physics D . 17 (13 & 14): 2485–2493. arXiv : 0805.2584 . Bibcode :2008IJMPD..17.2485A. doi :10.1142/S0218271808013972. S2CID  14403086.
• S Cacciatori; V Gorini; A Kamenshchik; U Moschella (2008). 「de Sitter 古典粒子の保存則と散乱」.クラス. Quantum Grav . 25 (7): 075008. arXiv : 0710.0315 . Bibcode :2008CQGra..25g5008C. doi :10.1088/0264-9381/25/7/075008. S2CID  118544579.
• S Cacciatori (2009). 「シッター粒子の保存量」. arXiv : 0909.1074 [gr-qc].
• Aldrovandi; Beltran Almeida; Mayor; Pereira; Adenier, Guillaume; Khrennikov, Andrei Yu.; Lahti, Pekka; Man'Ko, Vladimir I.; Nieuwenhuizen, Theo M. (2007). 「de Sitter Relativity and Quantum Physics」. AIP Conference Proceedings . 962 : 175–184. arXiv : 0710.0610 . Bibcode :2007AIPC..962..175A. doi :10.1063/1.2827302. hdl :11449/70009. S2CID  1178656.
• クラウス・レンマーツァル;ユルゲン・エーラース (2005)。特殊相対性理論: 次の 101 年も生き残れるか?。スプリンガー。ISBN 978-3540345220。
• ジュゼッペ・アルシディアコノ（1986年）。『射影相対論、宇宙論、重力』ハドロン出版。ISBN 978-0911767391。