ほぼ接触する多様体

微分幾何学という数学の分野において、概接触構造は滑らかな多様体上のある種の幾何学的構造である。このような構造は1960年に佐々木繁雄によって導入された。

正確には、滑らかな多様体が与えられた場合、ほぼ接触構造は、超平面分布、上のほぼ複素構造、およびを横切るベクトル場から構成されます。つまり、の各点に対して、接空間の余次元 1 の線形部分空間、となるような線形写像、およびに含まれないの要素を選択します。 $M$ $Q$ $J$ $Q$ $\xi$ $Q$ $p$ $M$ $Q_{p}$ $T_{p}M$ $J_{p}:Q_{p}\to Q_{p}$ $J_{p}\circ J_{p}=-\operatorname {id} _{Q_{p}}$ $\xi_{p}$ $T_{p}M$ $Q_{p}$

このようなデータが与えられると、の各に対して、による線型写像とによる線型写像を定義できます。これは上の1 形式および(1,1)-テンソル場を定義し、を直和分解に対して分解することにより、の任意のに対してであることが直接確認できます。逆に、ほぼ接触構造を、次の 2 つの条件を満たす 3 重写像として定義することもできます。 $p$ $M$ $\eta_{p}:T_{p}M\to \mathbb{R}$ $\varphi _{p}:T_{p}M\to T_{p}M$ ${\begin{aligned}\eta _{p}(u)&=0{\text{ if }}u\in Q_{p}\\\eta _{p}(\xi _{p})&=1\\\varphi _{p}(u)&=J_{p}(u){\text{ if }}u\in Q_{p}\\\varphi _{p}(\xi )&=0.\end{aligned}}$ $\eta$ $\varphi$ $M$ $v$ $T_{p}M=Q_{p}\oplus \left\{k\xi _{p}:k\in \mathbb {R} \right\}$ ${\begin{aligned}\eta _{p}(v)\xi _{p}&=\varphi _{p}\circ \varphi _{p}(v)+v\end{aligned} }$ $v$ $T_{p}M$ $(\xi ,\eta ,\varphi )$

$\eta _{p}(v)\xi _{p}=\varphi _{p}\circ \varphi _{p}(v)+v$ いかなる $v\in T_{p}M$
$\eta _{p}(\xi _{p})=1$

次に、を線型写像の核として定義し、への制限がにおいて値を持つことを確認して、を定義することができます。 $Q_{p}$ $\eta_{p}$ $\varphi_{p}$ $Q_{p}$ $Q_{p}$ $J_{p}$

参考文献

デイビッド・E・ブレア。接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学。第 2 版。Progress in Mathematics、203。Birkhäuser Boston、Ltd.、ボストン、マサチューセッツ州、2010 年。xvi+343 ページ。ISBN 978-0-8176-4958-6 、 doi : 10.1007/978-0-8176-4959-3
佐々木茂雄 (1960). 「概接触構造に密接に関連する特定の構造を持つ微分可能多様体について、I」.東北数学ジャーナル. 12 (3): 459–476. doi : 10.2748/tmj/1178244407 .