佐々木多様体

微分幾何学において、佐々木多様体（佐々木茂雄にちなんで名付けられた）は、佐々木計量と呼ばれる特殊な種類のリーマン計量を備えた接触多様体 である。 ${\displaystyle (M,\theta )}$ ${\displaystyle g}$

ササキ計量はリーマン錐の構成を用いて定義される。リーマン多様体 が与えられたとき、そのリーマン錐は積である。 ${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle (M\times {\mathbb {R} }^{>0})\,}$

半線付き、コーンメトリックを装備${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$

${\displaystyle t^{2}g+dt^{2},\,}$

のパラメータはです。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$

1-形式を備えた多様体は 、2-形式が ${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle d(t^{2}\theta )=t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta \,}$

接触リーマン多様体は、その円錐上のリーマン円錐がシンプレクティックである（これは接触構造の可能な定義の1つである）。接触リーマン多様体は、その円錐計量を持つリーマン円錐がケーラー形式を持つ ケーラー多様体である場合、ササキアンである。

${\displaystyle t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta .}$

例として、

${\displaystyle S^{2n-1}\hookrightarrow {\mathbb {R} }^{2n}={\mathbb {C} }^{n}}$

ここで、右辺は自然なケーラー多様体であり、球面上の円錐（埋め込まれた計量を持つ）として読み取られます。 上の接触 1 形式は、接線ベクトル に関連付けられた形式であり、球面への単位法線ベクトル（上の複素構造）から構築されます。 ${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle i{\vec {N}}}$${\displaystyle {\vec {N}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$

もう一つの非コンパクトな例は、contact-formを付与した 座標である。${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{2n+1}}}$${\displaystyle ({\vec {x}},{\vec {y}},z)}$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}dz+\sum _{i}y_{i}\,dx_{i}}$

そしてリーマン計量

${\displaystyle g=\sum _{i}(dx_{i})^{2}+(dy_{i})^{2}+\theta ^{2}.}$

3 番目の例として、次のものを考えてみましょう。

${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2n-1}{\mathbb {R} }\hookrightarrow {\mathbb {C} }^{n}/{\mathbb {Z} }_{2}}$

ここで、右辺は自然なケーラー構造を持ち、群は原点で反射によって作用します。 ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{2}}$

佐々木多様体は1960年に日本の幾何学者佐々木繁雄によって導入されました。^[1] 1970年代半ば以降、弦理論の出現まで、この分野ではあまり活動がありませんでした。それ以来、佐々木多様体は、主にチャールズ・P・ボイヤーとクリストフ・ガリツキとその共著者 による一連の論文のおかげで、物理学と代数幾何学で注目を集めるようになりました。

ササキ多様体上の円錐上の 相似ベクトル場は次のように定義される。

${\displaystyle t\partial /\partial t.}$

円錐は定義によりケーラー円錐なので、複素構造Jが存在する。ササスキ多様体上の レーブベクトル場は次のように定義される。

${\displaystyle \xi =-J(t\partial /\partial t).}$

それはどこにも消えません。円錐上のすべての正則キリング ベクトルと可換であり、特にササキアン多様体のすべての等長変換と可換です。ベクトル場の軌道が閉じている場合、軌道の空間はケーラー オービフォールドです。単位半径のササキアン多様体におけるレーブ ベクトル場は単位ベクトル場であり、埋め込みに接しています。

ササキ多様体は、リーマン円錐がケーラーである多様体です。さらに、この円錐がリッチ平坦である場合は、ササキ・アインシュタイン多様体と呼ばれます。また、超ケーラーである場合は、3-ササキ多様体と呼ばれます。任意の 3-ササキ多様体は、アインシュタイン多様体とスピン多様体の両方です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Mが正のスカラー曲率ケーラー・アインシュタイン多様体である場合、小林昭七の観察によれば、その標準直線束内の円束S は、 SからMへの射影がリーマン沈み込みとなるような方法で、ササキ・アインシュタイン計量を許容する。(例えば、3 番目から 8 番目のデル・ペッツォ面上の適切な円束上にササキ・アインシュタイン計量が存在することになる。) このリーマン沈み込み構成は、任意のササキ・アインシュタイン多様体の正しい局所的描像を提供するが、そのような多様体の大域的構造はより複雑になることがある。例えば、ケーラー・アインシュタインのオービフォールドMから始めて、より一般的にササキ・アインシュタイン多様体を構築することができる。この観察を用いて、ボイヤー、ガリツキ、ヤノシュ・コラーは、ササキ・アインシュタイン 5 次元多様体のホメオタイプを無限に構築した。同じ構成から、5 次元球面上のアインシュタイン計量のモジュライ空間には少なくとも数百の連結成分があることが分かります。

• 佐々木繁雄、「概接触構造に密接に関係する特定の構造を持つ微分可能多様体について」、 東北数学誌 2 (1960)、459-476。
• チャールズ・P・ボイヤー、クリストフ・ガリツキ、ササキアン幾何学
• Charles P. Boyer、Krzysztof Galicki、「3-Sasakian Manifolds」、 Surveys Diff. Geom. 7 (1999) 123-184 頁
• Dario Martelli、James Sparks、Shing-Tung Yau、「Sasaki-Einstein 多様体と体積最小化」、ArXiv hep-th/0603021

• EoM ページ、佐々木多様体