合流型超幾何関数

数学において、合流型超幾何関数は合流型超幾何方程式の解であり、これは3つの正則特異点のうち2つが不規則特異点に合流する超幾何微分方程式の退化形である。合流という用語は、微分方程式の族の特異点が合流することを指し、confluereはラテン語で「共に流れる」という意味である。合流型超幾何関数には、いくつかの一般的な標準形式がある。

クンマー（1837年）によって導入されたクンマー関数（合流型超幾何関数） $M （ a 、 b 、 z ）は、$ クンマーの微分方程式の解です。これは、第一種合流型超幾何関数としても知られています。同じ名前を持つ、これとは異なる無関係なクンマー関数が存在します。
フランチェスコ・トリコミ（1947年）によって導入されたトリコミの（合流型超幾何）関数 $U (a, b, z)は、$ $Ψ($ $a$ $;$ $b$ $;$ $z$ $)$ と表記されることもあり、クンマー方程式のもう一つの解です。これは、第2種合流型超幾何関数としても知られています。
ホイッタカー関数（エドモンド・テイラー・ホイッタカーにちなんで）は、ホイッタカー方程式の解である。
クーロン波動関数は、クーロン波動方程式の解である。

クンマー関数、ホイッタカー関数、クーロン波動関数は本質的に同じであり、基本的な関数と変数変換によってのみ互いに異なっている。

クンマー方程式

クンマーの方程式は次のように表すことができます。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(bz){\frac {dw}{dz}}-aw=0,

$z = 0$ に正則特異点、 $z = \infty$ に不規則特異点を持つ。通常は線形独立な2 つの解 $M (a, b, z)$ と $U (a, b, z)$ を持つ。

クンマーの第1種関数 $Mは、$ ( Kummer 1837 )で導入された一般化超幾何級数であり、次のように表される。

M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),

どこ：

a^{(0)}=1,

a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,

は上昇階乗です。この解のもう1つの一般的な表記は $Φ(a, b, z)$ です。他の 2 つを定数に保ったまま $a$ 、 $b$ 、または $z$ の関数として考えると、これは $b$ $= 0、-1、-2、...$ の場合を除いて、 $a$ または $z$ の完全な関数を定義します $。b$ の関数としては、非正の整数での極を除いて解析的です。

$a$ と $b$ の値によっては、他の既知の関数で表現できる解が得られる場合があります。#特別なケースを参照してください。a $が$ 非正の整数の場合、クンマー関数（定義されている場合）は一般化されたラゲール多項式になります。

合流型微分方程式が、1 における特異点を ∞ における特異点に近づけたときの超幾何微分方程式の極限であるのと同様に、合流型超幾何関数は超幾何関数の極限として与えられる。

M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)

また、合流型超幾何関数の多くの性質は、超幾何関数の性質の極限の場合である。

クンマー方程式は2階なので、別の独立した解が存在するはずです。フロベニウス法の指標方程式によれば、クンマー方程式のべき級数解の最低次数は0または $1 - bです。w$ $(z)を$ 次のようにすると

w(z)=z^{1-b}v(z)

すると微分方程式は次のようになる。

z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(bz)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0

$これは、 z 1- b$ で割って簡略化すると、次のようになる。

z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-bz){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.

これは、 b が 1 より大きい整数でない限り、 $z 1- b M (a + 1 - b, 2 - b, z)が解であるのと同様に、$ $b が$ 1 より小さい整数でない限り、 $M (a, b, z)$ が解であることを意味します。また、フランチェスコ・トリコミ( 1947 )によって導入され、 $Ψ ($ $a$ $;$ $b$ $;$ $z$ $)$ と表記されることもあるトリコミ合流超幾何関数U $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $)$ $を$ 使用することもできます。これは、上記の 2 つの解の組み合わせであり、次のように定義されます $。$

U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).

この式は整数 $bに対しては定義されていませんが、連続性によって任意の整数$ $b$ に拡張できるという利点があります。 $z$ の整関数である Kummer の関数とは異なり、 $U$ $($ $z$ $)は通常ゼロで$ 特異点を持ちます。たとえば、 $b$ $= 0$ かつ $a$ $\neq 0の場合、$ $z$ がゼロに近づくにつれてΓ $($ $a$ $+1)$ $U$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $) - 1は$ $az$ $ln$ $z$ に漸近します。ただし、整関数 (多項式) となる例については#Special cases を参照してください。

クンマー方程式の解 $z 1- b U (a + 1 - b, 2 - b, z)$ は解 $U (a, b, z)と同じであることに注意してください。$ #クンマー変換を参照してください。

実数または複素数の $a$ と $b$ のほとんどの組み合わせでは、関数 $M (a, b, z)$ と $U (a, b, z)$ は独立しており、 $b$ が非正の整数で $M (a, b, z)$ が存在しない場合、 $z 1- b M (a +1- b, 2- b, z)$ を第 2 の解として使用できる可能性があります。しかし、 $a$ が非正の整数で $b が非$ 正の整数でない場合、 $U (z)は$ $M (z)$ の倍数になります。この場合も、 $z 1- b M (a +1- b, 2- b, z)$ が存在し、異なる場合は、第 2 の解として使用できます。しかし、 $b$ が1より大きい整数の場合、この解は存在せず、 $b =1の場合は存在しますが、$ $U (a, b, z)$ と $M (a, b, z)$ の倍数になります。これらの場合、次の形式の2番目の解が存在し、 $aが$ $b$ より小さい正の整数でない限り、任意の実数または複素数 $a$ と任意の正の整数 $b$ に対して有効です。

M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}

a = 0の場合、代わりに以下を使用できます。

\int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.

$b = 1$ の場合、これは指数積分 $E 1 (-z)$ です。

$a - b$ が負の整数で、 $b$ が 1 未満の整数である場合にも同様の問題が発生します。この場合、 $M (a, b, z)$ は存在せず、 $U (a, b, z)は$ $z$ の倍数 $1-$ $b$ $M$ $($ $a$ $+1-$ $b$ $, 2-$ $b$ $,$ $z$ $) となります。$ この場合、2 番目の解は次の形式になります。

z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}

その他の方程式

合流型超幾何関数は、一般形が次のように与えられる拡張合流型超幾何方程式を解くために使用できます。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(bz){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0

^{[ 1 ]}

$M = 0$ の場合、または総和が 1 つの項のみを含む場合は、従来の合流型超幾何方程式に帰着することに注意してください。

$したがって、合流型超幾何関数は、変数係数がすべてz$ の線形関数である「ほとんど」の 2 階常微分方程式を解くために使用できます。なぜなら、それらは拡張合流型超幾何方程式に変換できるからです。次の方程式を考えてみましょう。

(A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0

まず、 $A$ $+$ $Bz$ $\mapsto$ $z$ の置換を用いて正則特異点を $0$ に移動させると、方程式は次のようになります。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0

$C、D、E$ 、 $F$ の新しい値を用いて、次に置換を行います。

z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z

そして、同じ係数を方程式に掛けると、次の式が得られます。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0

その解決策は

\exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),

ここで、 $w (z)$ はクンマー方程式の解であり、

a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.

平方根は虚数または複素数になる場合があることに注意してください。ゼロの場合は、別の解法を使用する必要があります。

\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),

ここで、 $w (z)$ は合流型超幾何極限関数であり、

zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.

後述するように、ベッセル方程式でさえ、合流型超幾何関数を用いて解くことができる。

積分表現

$Re b > Re a > 0$ の場合、 $M (a, b, z)$ は積分として表すことができる。

M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (ba)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{ba-1}\,du.

したがって、 $M (a, a + b, it)は$ ベータ分布の特性関数である。実部が正である $aの場合、$ $Uは$ ラプラス積分によって得られる。

U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{ba-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)

この積分は右半平面 $Re z > 0$ における解を定義する。

これらはバーンズ積分として表すこともできる。

M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds

$ここで、等高線はΓ(- s)$ の極の片側と $Γ(a + s)$ の極のもう一方の側を通過する。

漸近挙動

クンマー方程式の解が $z$ $\to \infty$ のとき $z$ のべき乗に漸近する場合、そのべき乗は $-$ $a$ でなければなりません。これは実際、トリコミの解 $U$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $)$ の場合に当てはまります。z $\to \inftyのときの$ 漸近挙動は $、$ 積分表現から推測できます。z $=$ $x$ $\in$ $R$ の場合、積分で変数変換を行い、二項級数を展開して $、$ それを項ごとに形式的に積分すると、 $x$ $\to \infty$ のときに有効な漸近級数展開が得られます。^[²^]

U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),

どこ ${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot$ は、先頭項が 1 である一般化超幾何級数であり、一般にどこにも収束しませんが、 $1/$ $x$ の形式的べき級数として存在します。この漸近展開は、 $|$ $arg$ $z$ $|$ $<$ $3π$ $/2$ の $実数x$ の代わりに $複素数z$ に対しても有効です

$| z |$ が大きい場合のクンマー解の漸近挙動は次のとおりです。

M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)

$z$ のべき乗は $-3 π /2 < arg z \leq π /2$ を使用して取られます。^{[ 3 ]} $Γ(b - a)$ が有限の場合、つまり $b - a$ が非正の整数ではなく、 $z$ の実部が負の無限大になる場合は、第1 項は必要ありません。一方、 $Γ(a)$ が有限の場合、つまり $a$ が非正の整数ではなく、 $z$ の実部が正の無限大になる場合は、第 2 項は必要ありません。

クンマー方程式には、 $z$ $\to -\infty$ のとき $e z z a - b$ $に漸近する解が常に存在します。通常、これはM$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $)$ と $U$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $)$ の両方の組み合わせになりますが、 $e$ $z$ $(-1)$ $a$ $-$ $b$ $U$ $($ $b$ $-$ $a$ $,$ $b$ $, -$ $z$ $)$ と表現することもできます。

関係

様々な引数に対するクンマー関数とその導関数には多くの関係が存在する。本節では、いくつかの典型的な例を示す。

隣接する関係

$M (a, b, z)$ が与えられたとき、4 つの関数 $M (a \pm 1, b, z)、 M (a, b \pm 1, z)は$ $M (a, b, z)$ に隣接していると呼ばれます。関数 $M ( a , b , z)は、 a 、 b 、$ zの有理係数を持つ、その隣接関数の任意の 2 つの線形結合として書くことができます。これにより $、$ $($ $4$ $2$ $) = 6 つの$ 関係が得られます。これは、右辺の任意の 2 つの直線を同一視することによって得られます $。$

{\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}

上記の表記では、 $M = M (a, b, z)$ 、 $M (a +) = M (a + 1, b, z)$ などとなります。

$これらの関係を繰り返し適用すると、 M (a + m 、 b + n 、 z)$ の形の任意の 3 つの関数(およびその高階導関数) の間に線形関係が得られます。ここで、 $m$ 、 $n$ は整数です。

$U$ についても同様の関係がある。

クマーの変貌

クンマー関数は、クンマー変換によっても関連付けられています。

M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)

U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)

。

乗法定理

以下の乗法定理が成り立つ。

{\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}

ラゲール多項式および類似の表現との関連性

ラゲール多項式の観点から見ると、クンマー関数にはいくつかの展開があり、例えば

M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}

( Erdélyi et al. 1953 , 6.12)

または

M\left(a,\,b,\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot L_{-a}^{(b-1)}\left(z\right)

特別なケース

合流型超幾何関数の特殊な場合として表現できる関数には、以下のようなものがある。

$b$ が非正の整数の場合、左辺は定義されないが、右辺は対応するクンマー方程式の解となるような基本的な関数をいくつか挙げる。

M(0,b,z)=1

U(0,c,z)=1

M(b,b,z)=e^{z}

U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du

（ a

が非正の整数の場合は多項式となる）

{\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}

M(n,b,z)

非正の整数

nに対して、は

一般化ラゲール多項式である。

U(n,c,z)

非正の整数

n

は、一般化ラゲール多項式の倍数であり、

{\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)

後者が存在する場合。

U(c-n,c,z)

n

が正の整数の場合、

z

のべき乗を含む閉じた形式であり、

{\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)

後者が存在する場合。

U(a,a+1,z)=z^{-a}

U(-n,-2n,z)

非負整数

n

の場合、はベッセル多項式です (下記参照)。

M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}

等

隣接関係を使用する

aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b

例えば、

M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.

ベイトマンの機能
ベッセル関数、およびエアリー関数、ケルビン関数、ハンケル関数などの多くの関連関数。例えば、 $b = 2aの特殊な場合、関数$ はベッセル関数に帰着します。

{}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).

このアイデンティティは、クンマーの第二の変容とも呼ばれることがある。同様に

U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),

a

が非正の整数の場合、これは

2 - a θ - a (x /2)

に等しくなります。ここで

θは

ベッセル多項式です。

誤差関数は次のように表すことができます。

\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).

クーロン波動関数
カニンガム関数
指数積分および正弦積分、対数積分などの関連関数
エルミート多項式
不完全なガンマ関数
ラゲール多項式
放物線円筒関数（またはウェーバー関数）
ポアソン・シャルリエ関数
トロントの機能
ホイッタカー関数 $M κ,μ (z) 、 W κ,μ (z)は、クンマー関数$ $M$ および $U$ を用いて次のように表されるホイッタカー方程式の解である。

M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)

W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)

一般の $p$ 次生モーメント ( $p は$ 必ずしも整数ではない) は次のように表すことができます^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}

2 番目の式では、関数の 2 番目の分岐カットは

(-1) p

を掛けることによって選択できます。

連分数への応用

ガウスの連分数に極限論法を適用することにより、 ^[⁵^]が示される。

{\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}

そして、この連分数は、極を含まないすべての有界領域において、 $z$ の有理型関数に一様に収束する。

注記

↑ Campos, LMBC (2001). "On Some Solutions of the Extended Confluent Hypergeometric Differential Equation". Journal of Computational and Applied Mathematics . 137 (1): 177–200 . Bibcode : 2001JCoAM.137..177C . doi : 10.1016/s0377-0427(00)00706-8 . MR 1865885 .
↑ Andrews, GE; Askey, R.; Roy, R. (2001).特殊関数. Cambridge University Press. ISBN 978-0521789882。。
↑これは、Abramowitz と Stegun (下記の参考文献を参照) の508 ページから導き出されたもので、完全な漸近級数が示されています。彼らは右半平面で $exp(iπa)$ の指数の符号を反転させていますが、この項は無視できるほど小さいか、または $a$ が整数で符号が関係ないため、これは重要ではありません。
↑ 「多変量統計理論の側面 | Wiley」。Wiley.com。2021年1月23日取得。
↑ Frank, Evelyn (1956). "超幾何関数の比に対する新しいクラスの連分数展開". Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453– 476. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0 . JSTOR 1992927 . MR 0076937 .

参考文献

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外部リンク

NISTデジタル数学関数ライブラリにおける合流型超幾何関数
Wolfram Functionsサイトにあるクンマー超幾何関数
Wolfram Functionsサイトにあるトリコミ超幾何関数

[1] Campos, LMBC (2001). "On Some Solutions of the Extended Confluent Hypergeometric Differential Equation". Journal of Computational and Applied Mathematics . 137 (1): 177–200 . Bibcode : 2001JCoAM.137..177C . doi : 10.1016/s0377-0427(00)00706-8 . MR 1865885 .

[2] Andrews, GE; Askey, R.; Roy, R. (2001).特殊関数. Cambridge University Press. ISBN 978-0521789882。。

[3] これは、Abramowitz と Stegun (下記の参考文献を参照) の508 ページから導き出されたもので、完全な漸近級数が示されています。彼らは右半平面で $exp(iπa)$ の指数の符号を反転させていますが、この項は無視できるほど小さいか、または $a$ が整数で符号が関係ないため、これは重要ではありません。

[4] 「多変量統計理論の側面 | Wiley」。Wiley.com。2021年1月23日取得。

[5] Frank, Evelyn (1956). "超幾何関数の比に対する新しいクラスの連分数展開". Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453– 476. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0 . JSTOR 1992927 . MR 0076937 .

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