ベッセル多項式

数学において、ベッセル多項式は多項式の直交列である。いくつかの異なるが密接に関連した定義がある。数学者に好まれる定義は、次の数列で与えられる^{[1] :101 である。}

${\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.}$

電気技術者に好まれる別の定義は、逆ベッセル多項式と呼ばれることもある^{[2] : 8  [3] : 15}

${\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}.}$

2番目の定義の係数は最初の定義と同じですが、順序が逆になっています。たとえば、3次のベッセル多項式は

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1}$

一方、3次の逆ベッセル多項式は

${\displaystyle \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.}$

逆ベッセル多項式はベッセル電子フィルタの設計に使用されます。

ベッセル多項式は、その多項式の名前の由来となった ベッセル関数を使用して定義することもできます。

${\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$

ここでK _n ( x )は第2種の修正ベッセル関数、y _n ( x )は通常の多項式、θ _n ( x )は逆多項式である。^{[2] : 7, 34}例えば: ^[4]

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

ベッセル多項式は合流型超幾何関数としても定義される^{[5] :8}

${\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}$

同様の表現は一般化ベッセル多項式にも当てはまる（下記参照）：^{[2] : 35}

${\displaystyle y_{n}(x;a,b)=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}$

逆ベッセル多項式は一般化ラゲール多項式として定義できます。

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}$

そこから、これは超幾何関数としても定義できることがわかります。

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}$

ここで、(−2 n ) _nはポッホハマー記号（上昇階乗） です。

ベッセル多項式は、指数がシフトされており、生成関数は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

について微分し、を消去すると、多項式の生成関数が得られる。${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{\theta _{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

多項式にも同様の関数が存在する: ^{[1] : 106}${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}$

と設定すると、指数関数は次のように表現される：^{[1] ：107}${\displaystyle t=z-xz^{2}/2}$

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}$

ベッセル多項式は再帰式で定義することもできます。

${\displaystyle y_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}$

そして

${\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}$

ベッセル多項式は次の微分方程式に従います。

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}$

そして

${\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}$

ベッセル多項式は、複素平面の単位円上で積分された重みに関して直交する。 ^{[1] : 104}言い換えれば、 ${\displaystyle e^{-2/x}}$${\displaystyle n\neq m}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0}$

文献では、ベッセル多項式の一般化が次のように提案されています。

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}$

対応する逆多項式は

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}$

多項式の明示的な係数は^{[1] :108}である。${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}$

したがって、多項式は次のように明示的に記述できます。 ${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}$

重み付け関数

${\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):={}_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}$

これらは直交しており、関係は

${\displaystyle 0=\oint _{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y_{n}(x;\alpha ,\beta )y_{m}(x;\alpha ,\beta )\,\mathrm {d} x}$

m ≠ nかつcが0 点を囲む曲線 である場合に成立します。

これらはα = β = 2のベッセル多項式に特化しており、その場合ρ( x ) = exp(−2/ x )となります。

上記の微分方程式の特殊解としてのベッセル多項式のロドリゲス公式は次の通りである。

${\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$

ここで^（α,β）
_n正規化係数です。

この一般化によれば、関連するベッセル多項式に対する次の一般化微分方程式が得られます。

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

ここで、解は、 ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

${\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$

の零点を、 の零点を と表記すると、次の推定値が得られる: ^{[2] : 82}${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},}$

そして

${\displaystyle {\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},}$

すべての に対して です。さらに、これらすべてのゼロは負の実部を持ちます。 ${\displaystyle \alpha \geq 2}$

多項式の零点の推定に関するより強力な定理（より具体的には、サフとヴァルガの放物線定理、または微分方程式の手法）に頼れば、より鮮明な結果が得られる。^{[2] : 88  [6]} 1つの結果は次のとおりです。^[7]

${\displaystyle {\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.}$

までのベッセル多項式は^[8]${\displaystyle y_{n}(x)}$${\displaystyle n=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}$

ベッセル多項式は有理係数を持つ低次多項式に因数分解することはできない。^[9] 逆ベッセル多項式は係数を逆にすることで得られる。等価的に、 となる。この結果は次のようになる。 ${\textstyle \theta _{k}(x)=x^{k}y_{k}(1/x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\\\end{aligned}}}$

• ベッセル関数
• ノイマン多項式
• ロンメル多項式
• ハンケル変換
• フーリエ・ベッセル級数

• Carlitz, Leonard (1957). 「ベッセル多項式に関する注記」. Duke Math. J. 24 ( 2): 151–162. doi :10.1215/S0012-7094-57-02421-3. MR  0085360.
• Fakhri, H.; Chenaghlou, A. (2006). 「関連するベッセル多項式のラダー演算子と再​​帰関係」. Physics Letters A. 358 ( 5–6): 345–353. Bibcode :2006PhLA..358..345F. doi :10.1016/j.physleta.2006.05.070.
• ローマン、S. (1984)。アンブラル計算（ベッセル多項式§4.1.7）。ニューヨーク：アカデミックプレス。ISBN 978-0-486-44139-9。

• 「ベッセル多項式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W.「ベッセル多項式」。マスワールド。