カニンガム関数

統計学において、カニンガム関数またはピアソン・カニンガム関数ω _{m , n} ( x ) は、ピアソン (1906) によって導入され、カニンガム (1908) によってここでの形で研究された特殊関数の一般化である。これは、合流型超幾何関数 U を用いて次の ように定義できる。

${\displaystyle \displaystyle \omega _{m,n}(x)={\frac {e^{-x+\pi i(m/2-n)}}{\Gamma (1+nm/2)}}U(m/2-n,1+m,x).}$

この関数は、確率密度関数をその（結合）モーメントに基づいて近似するためのエッジワース展開の多変量一般化の文脈でカニンガム^[1]によって研究されました。より一般的な文脈では、この関数は、1次元以上の定数係数拡散方程式の解に関連しています。 ^[1]

関数ωm _{, n (} x )はXに関する微分方程式の解である: ^[1]

${\displaystyle xX''+(x+1+m)X'+(n+{\tfrac {1}{2}}m+1)X.}$

ピアソンが研究した特殊関数は、彼の表記法では次のように表される。^[1]

${\displaystyle \omega_{2n}(x)=\omega_{0,n}(x).}$

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 13 章」。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。応用数学シリーズ。第 55 巻 (第 10 刷の訂正を加えた第 9 刷 (1972 年 12 月)、初版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。p. 510。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN  65-12253 。 ​ ​
• カニンガム、E. (1908)、「ω 関数、統計学で発生する正規関数のクラス」、ロンドン王立協会紀要。シリーズ A、数学的および物理的性質の論文を含む、81 (548)、王立協会: 310–331、doi : 10.1098/rspa.1908.0085、ISSN  0950-1207、JSTOR  93061
• ピアソン、カール(1906)、「ランダム移住の数学的理論」、ロンドン、デュラウ他著。
• ウィテカー、ET; ワトソン、GN (1963)、現代分析コース、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58807-2演習10、第16章、353ページを参照