秩序トポロジー

数学において、順序位相とは、任意の全順序集合上で定義できる特定の位相である。これは、実数の位相を任意の全順序集合に自然に一般化したものである。

Xが全順序集合である場合、 X上の順序位相は「開線」の 部分基底によって生成される。

${\displaystyle \{x\mid a<x\}}$

${\displaystyle \{x\mid x<b\}}$

Xの任意のa, bに対して。Xが少なくとも 2 つの要素を持つ場合、これは開区間

${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$

上記の放射線とともに、順序位相の基礎を形成します。Xの開集合は、そのような開区間と放射線 (おそらく無限個) の 和集合です。

位相空間 Xは、その要素に全順序が存在し、その順序によって誘導される順序位相とX上の与えられた位相が一致する場合、順序可能または線型順序可能^[1]と呼ばれます。順序位相は、Xを完全に正規のハウスドルフ空間にします。

R、Q、Z、およびN上の標準トポロジーは順序トポロジーです。

Y がXのサブセットで、X が全順序集合である場合、Y はXから全順序を継承します。したがって、集合Yには順序位相、つまり誘導順序位相があります。 Xのサブセットとして、Yには部分空間位相もあります。部分空間位相は常に誘導順序位相と少なくとも同じくらい細かいですが、一般に同じではありません。

たとえば、有理数の部分集合Y = {−1} ∪ {1/ n  } _{n ∈ N}を考えます。部分空間位相では、単集合{−1} はYで開いていますが、誘導順序位相では、 −1 を含む任意の開集合には、その空間の有限個以外のすべての要素が含まれている必要があります。

上のセクションのY = {−1} ∪ {1/ n  } _{n ∈ N}の部分空間位相は、 Y上の誘導順序によって生成されないことが示されていますが、それでもY上の順序位相です。実際、部分空間位相ではすべての点が孤立しています（つまり、 Y のすべての y に対して、単集合 { y }がYで開いています）。そのため、部分空間位相はY上の離散位相（ Yのすべての部分集合が開いている位相）であり、任意の集合上の離散位相は順序位相です。Y上の離散位相を生成するY上の全順序を定義するには、 Y上の誘導順序を変更し、 −1 をYの最大要素として定義し、その他の点については同じ順序を維持するだけです。そのため、この新しい順序（これを < _{1と呼びます）では、すべての}n  ∈  Nについて 1/ n < ₁ −1になります。すると、 < _{1によって生成される}Y上の順序位相では、Yのすべての点はY内で孤立します。

ここでは、線型順序位相空間Xの部分集合Zを定義し、 Z上の全順序によってZ上の部分空間位相が生成されることがないようにします。これにより、部分空間位相は、位相が順序位相である空間の部分空間位相であっても、順序位相にはなりません。

実数直線を仮定します。前と同じ議論から、Z上の部分空間位相はZ上の誘導順序位相と等しくないことが示されますが、 Z上の部分空間位相はZ上のどの順序位相とも等しくないことも示せます。 ${\displaystyle Z=\{-1\}\cup (0,1)}$

議論は続く。矛盾を避けるために、Z上に厳密な全順序<が存在し、 < によって生成される順序位相がZ上の部分空間位相に等しいと仮定する ( < がZ上の誘導順序であると仮定しているのではなく、部分空間位相を生成するZ上の任意に与えられた全順序であると仮定している点に注意)。

M  =  Z  \ {−1} = (0,1)とすると、 Mは連結なので、< に関して、Mは自身に稠密でギャップはありません。 −1 がZの最小または最大の要素でない場合、およびはM を分離しますが、これは矛盾です。 一般性を失うことなく、 −1 がZの最小の要素であると仮定します。 {−1} はZで開いているので、区間 (−1, p ) が空であるようなM内の点pが存在するので、p はMの最小値です。 このとき、M  \ { p } = (0, p ) ∪ ( p ,1) は、 Rから継承された部分空間位相に関して連結ではありません。 一方、Zの順序位相から継承されたM  \ { p } の部分空間位相は、 < によって誘導されるM  \ { p }の順序位相と一致します。これは、 M  \ { p }にギャップがなく稠密であるため連結です。これは矛盾だ。 ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$${\displaystyle (-1,\infty )}$

順序トポロジーにはいくつかのバリエーションがあります。

• X上の右順序位相^{[2]は、集合}Xとともに、形式のすべての区間を基底として持つ位相である。${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}}$
• X上の左順序位相は、集合Xとともに、形式 のすべての区間を基底として持つ位相です。${\displaystyle (-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}}$

左順序位相と右順序位相は、一般位相における反例を与えるために使用できます。たとえば、有界集合上の左順序位相または右順序位相は、ハウスドルフではない コンパクト空間の例を提供します。

左順序位相は、ブール代数における多くの集合論的目的で使用される標準的な位相である。^{[説明が必要]}

任意の順序数 λに対して、順序数空間を考えることができる。

${\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}}$

${\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}$

と自然順序位相が共存します。これらの空間は順序空間と呼ばれます。(順序数の通常の集合論的構成では、λ = [0, λ ) およびλ + 1 = [0, λ ] となることに注意してください。明らかに、これらの空間はλが無限順序数のときに最も重要であり、有限順序数の場合、順序位相は単に離散位相です。

λ = ω (最初の無限順序数)のとき、空間 [0,ω) は通常の (依然として離散的な) 位相を持つNですが、[0,ω] はNの1 点コンパクト化です。

特に興味深いのは、 λ = ω ₁、すべての可算順序数の集合、および最初の非可算順序数の場合です。元 ω ₁は、部分集合 [0,ω _{1 ) の}極限点ですが、[0,ω _{1 ) 内のどの元}列もω _{1 を}その極限として持ちません。特に、[0,ω _{1 ] は}第 1 可算ではありません。ただし、部分空間 [0,ω _{1 ) は第 1 可算です。これは、[0,ω 1} ] 内で可算な局所基底を持たない唯一の点がω ₁であるためです。その他の特性には以下が含まれます。

• [0,ω ₁ ) も [0,ω ₁ ]も分離可能でも2番目に可算でもない
• [0,ω ₁ ]はコンパクトであるが、[0,ω ₁ )は逐次コンパクトかつ可算コンパクトであるが、コンパクトでもパラコンパクトでもない。

任意の順序数は、順序位相を付与することで位相空間として見ることができます (実際、順序数は整列しており、特に全順序です)。特に指定がない限り、これは順序数に与えられる通常の位相です。さらに、適切なクラスを位相空間として受け入れる場合は、同様に、すべての順序数のクラスを順序位相を持つ位相空間として見ることができます。

順序数αの極限点の集合は、 αより小さい極限順序数の集合とまったく同じです。 αより小さい後続順序数(およびゼロ) はα内の孤立点です。特に、有限順序数と ω は離散位相空間であり、それを超える順序数は離散的ではありません。順序数αが位相空間としてコンパクトであるためには、αが後続順序数またはゼロのいずれかである必要があります。

極限順序数αの閉集合は、すでに定義した意味での閉集合、つまり、その極限順序数より下の十分に大きい順序数をすべて含む場合は常にその極限順序数を含む閉集合です。

もちろん、任意の順序数は、任意のより大きな順序数の開集合です。また、次の帰納的な方法で順序数上の位相を定義することもできます。0 は空の位相空間、α +1 はα​​ の1 点コンパクト化によって得られ、δ が極限順序数の場合、δには帰納的極限位相が備わっています。αが後続順序数の場合、αはコンパクトであり、その場合、その 1 点コンパクト化α +1 はα​​ と点 の非結合和集合であることに注意してください。

位相空間として、すべての順序数はハウスドルフであり、正規でもあります。また、完全に不連続（連結成分は点である）、散在（空でない部分空間はすべて孤立点を持つ。この場合は、最小の要素を取るだけ）、0次元（位相には閉開 基底がある。ここで、開区間（β、γ ）を、 γ '< γに対して閉開区間（β、γ '+1）= [ β +1、γ ']の和集合として表す）です。ただし、一般に極端に不連続ではありません（ωからの偶数など、閉包が開いていない開集合が存在します）。

位相空間 ω ₁とその後継である ω ₁ +1 は、非可算位相空間の教科書的な例としてよく使用されます。たとえば、位相空間 ω ₁ +1 では、元 ω _{1 は部分集合 ω 1}の閉包内にありますが、ω ₁内の元のシーケンスのいずれもω _{1 を}その極限として持つことはありません。ω ₁内の元は可算集合です。このような集合のシーケンスでは、これらの集合の和集合は可算個の可算集合の和集合であるため、やはり可算です。この和集合はシーケンスの元の上限であり、シーケンスに極限がある場合はその上限です。

空間 ω _1は第 1 可算ですが第 2 可算ではありません。また、 ω ₁ +1 はコンパクトであるにもかかわらず、これら 2 つの特性のどちらも持ちません。また、 ω _1からR (実数直線)への任意の連続関数は最終的には定数になることも注目に値します。したがって、 ω ₁のStone–Čech コンパクト化は、その 1 点コンパクト化と同じく ω ₁ +1です(これは、Stone–Čech コンパクト化が ω よりもはるかに大きいω とは対照的です)。

αが極限順序数でX が集合である場合、 Xの要素のαインデックス付きシーケンスは、単にαからXへの関数を意味します。この概念、超限シーケンスまたは順序インデックス付きシーケンスは、シーケンスの概念の一般化です。通常のシーケンスは、 α = ω の場合に対応します。

X が位相空間である場合、 Xの要素のαインデックス付きシーケンスが極限xに収束するとは、それがネットとして収束すること、つまり、xの任意の近傍Uが与えられたときに、すべてのι ≥ βに対してx _{ι が}Uに含まれるような順序数β < αが存在することを意味します。

順序数でインデックスされたシーケンスは、通常の (ω インデックス) シーケンスよりも、位相の極限を決定するのに強力です。たとえば、 ω _{1 はω 1} +1の極限点です(極限順序数であるため)。実際、これはω ₁より小さい順序数をそれ自体にマップするω _{1インデックス シーケンスの極限です。ただし、これは ω 1}内の任意の通常の (ω インデックス) シーケンスの極限ではありません。これは、そのような極限がその要素の和集合以下であり、和集合は可算な集合であるため、それ自体が可算であるためです。

しかし、順序インデックス付きシーケンスは、一般にネット（またはフィルター）を置き換えるほど強力ではありません。たとえば、チコノフのプランク（積空間）上では、コーナーポイントは開部分集合の極限点（閉包内）ですが、順序インデックス付きシーケンスの極限ではありません。 ${\displaystyle (\omega _{1}+1)\times (\omega +1)}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega )}$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega }$

• トポロジのリスト
• 下限トポロジー
• ロングライン（トポロジー）
• 線形連続体
• 順序位相（関数解析）
• 部分的に順序付けられた空間

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Order topology の資料が組み込まれています。