有限単純群の分類

数学において、有限単純群の分類は、群論によって、すべての有限単純群は巡回群、交代群、リー型群と呼ばれる広い無限クラスに属する群、または散在群と呼ばれる26の例外群のいずれかであると述べられた結果である（ティッツ群は厳密にはリー型群ではないため散在群と見なされることがある^[1]。その場合、散在群は27個になる）。証明は、約100人の著者によって書かれた数百の雑誌論文の数万ページで構成され、ほとんどが1955年から2004年の間に出版された。

単純群は、すべての有限群の基本的な構成要素と見なすことができます。これは、素数が自然数の基本的な構成要素であるのと同じです(自然数 0 や 1 は素数から構成できません)。ジョーダン・ヘルダーの定理は、有限群に関するこの事実をより正確に述べたものです。 ただし、 整数因数分解との大きな違いは、このような「構成要素」が必ずしも一意の群を決定するわけではないことです。これは、同じ合成系列を持つ非同型群が多数存在する可能性があるためです。言い換えると、拡張問題には一意の解がありません。

ダニエル・ゴレンスタイン、リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモンは、証明の簡略化および改訂版を徐々に公開しています。

分類定理は数学の多くの分野に応用されており、有限群の構造（および他の数学的対象に対するその作用）に関する質問は、有限単純群に関する質問に還元されることがあります。分類定理のおかげで、このような質問は、単純群の各族と各散在群を調べることで答えられる場合があります。

ダニエル・ゴレンスタインは1983年に有限単純群はすべて分類されたと発表したが、準単純群の分類の証明については誤った情報を得ていたため、これは時期尚早であった。分類の完全な証明は、アッシュバッハーとスミスが欠落していた準単純群のケースに対する1221ページの証明を発表した後、アッシュバッハー (2004) によって発表された。

Gorenstein (1982, 1983) は、証明の低ランク部分と奇数特性部分を概説した 2 巻本を書き、Michael Aschbacher、Richard Lyons、Stephen D. Smith 他 (2011) は、残りの特性 2 の場合を扱った 3 巻目を執筆しました。証明は、次のようにいくつかの主要な部分に分けることができます。

低2 ランクの単純群は、ほとんどが奇数の標数体上の小さなランクのリー型の群であり、これに 5 つの交代群と 7 つの標数 2 型群、および 9 つの散在群が加わります。

小さな 2 ランクの単純なグループには次のものが含まれます。

• 2 階数 0 の群、つまり奇数位数の群は、すべてFeit-Thompson 定理によって解くことができます。
• 2 階数 1 の群。シロー 2 部分群は、転送マップを使用して簡単に処理できる巡回群、またはBrauer-Suzuki 定理を使用して処理される一般化四元数群のいずれかです。特に、位数 2 の巡回群を除いて、2 階数 1 の単純群は存在しません。
• 2 階の群 2. アルペリンは、シロー部分群が二面体、準二面体、輪状、またはU ₃ (4) のシロー 2 部分群のいずれかであることを示した。最初のケースは、q が奇数またはA ₇の場合に、単純な群はL ₂ ( q )に同型であることを示すゴレンスタイン–ウォルターの定理によってなされ、2 番目と 3 番目のケースは、qが奇数またはM 11 の場合に、単純な群はL ₃ ( q ) またはU ₃ ( q )に同型であることを意味するアルペリン–ブラウアー–_{ゴレンスタインの定理によってなされ、最後のケースは、} U ₃ (4) が唯一の単純な可能性であることを示したライオンズによってなされた。
• ゴレンシュタイン-原田定理によって分類される、最大4つのセクション2ランクのグループ。

小さな 2 ランクのグループ、特にランクが最大 2 のグループの分類では、通常の特性理論とモジュラー特性理論を多用しますが、これらの理論は分類の他の部分で直接使用されることはほとんどありません。

小さい 2 階数ではないすべてのグループは、コンポーネント タイプのグループと特性 2 タイプのグループの 2 つの主要なクラスに分けることができます。これは、グループのセクション 2 階数が少なくとも 5 の場合、MacWilliams がその Sylow 2 部分群が連結していることを示し、バランス定理から、連結された Sylow 2 部分群を持つ単純なグループはコンポーネント タイプまたは特性 2 タイプのいずれかであることが示唆されるためです。(低い 2 階数のグループの場合、この証明は破綻します。なぜなら、シグナライザー ファンクタ定理などの定理は、ランクが少なくとも 3 の基本アーベル部分群を持つグループに対してのみ機能するからです。)

ある群が成分型であるとは、反転の中心化群Cに対して、 C / O ( C ) が成分を持つ場合である (ここでO ( C ) はCの核、つまり奇数次の最大正規部分群である)。これらは多かれ少なかれ、大きな階数の奇特性のリー型の群、交代群、およびいくつかの散在群である。この場合の主なステップは、反転の核の障害を除去することである。これは、C / O ( C ) のすべての成分がCの成分の像であると述べるB 定理によって達成される。

これらの群は、より小さな準単純群を成分とする反転の中心化子を持ち、これは帰納法によって既に知られていると仮定できるという考え方です。したがって、これらの群を分類するには、既知の有限単純群の中心拡大をすべて取り、これを成分とする反転の中心化子を持つすべての単純群を見つけます。これにより、確認すべきさまざまなケースがかなり多くなります。26 個の散在群と 16 個のリー型群の族、および交代群があるだけでなく、小さな階数または小さな体上の多くの群は一般的なケースとは異なる動作をするため、別々に処理する必要があり、偶数特性と奇数特性のリー型群もまったく異なります。

群は、任意の 2 局所部分群Yの一般化されたフィッティング部分群 F *( Y )が 2 群である場合に、特性 2 型です。名前が示すように、これらはおおよそ特性 2 の体上のリー型の群と、交代または散在または奇特性の少数の他の群です。それらの分類は、小さいランクの場合と大きいランクの場合に分けられます。ここで、ランクは、非自明な 2 部分群を正規化する奇アーベル部分群の最大ランクであり、グループが特性 2 のリー型のグループである場合、カルタン部分代数のランクと同じになることがよくあります (常に同じとは限りません)。

階数 1 のグループは Aschbacher によって分類された薄いグループであり、階数 2 のグループは Aschbacher と Smith によって分類された悪名高い準薄いグループです。これらは、特性 2 の体上の階数 1 または 2 のリー型のグループにほぼ相当します。

階数が 3 以上の群は、三分法定理によってさらに 3 つのクラスに分類されます。この定理は、階数が 3 の場合は Aschbacher によって、階数が 4 以上の場合は Gorenstein と Lyons によって証明されています。この 3 つのクラスは、GF(2) 型の群 (主に Timmesfeld によって分類)、ある奇数の素数に対する「標準型」の群 ( Gilman–Griess 定理と他の数人の研究によって分類)、および一意性型の群です。一意性型の群では、Aschbacher の結果から単純な群は存在しないことが示唆されます。一般的な高階数のケースは、主に階数が 3 または 4 以上の標数 2 の体上のリー型の群で構成されます。

分類の主要部分では、各単純群の特徴付けが行われます。次に、各特徴付けに対して単純群が存在し、それが一意であることを確認する必要があります。これにより、多数の個別の問題が発生します。たとえば、モンスター群の存在と一意性の元の証明は合計で約 200 ページになり、トンプソンとボンビエリによるリー群の識別は、分類の最も困難な部分の 1 つでした。散在群の存在証明の多くと一意性の証明の一部は、当初はコンピューター計算を使用していましたが、そのほとんどはその後、より短い手作業による証明に置き換えられました。

1972 年に Gorenstein (1979、付録) は、次の 16 のステップからなる有限単純群の分類を完了するためのプログラムを発表しました。

1. 2 ランクが低いグループ。これは基本的に、ゴレンスタインと原田によって行われ、彼らはグループをセクション 2 ランクが最大 4 に分類しました。2 ランクが最大 2 の場合のほとんどは、ゴレンスタインがプログラムを発表した時点で行われていました。
2. 2 層の半単純性。問題は、単純群の反転の中心化の 2 層が半単純であることを証明することです。
3. 奇特性の標準形式。グループが、リー型の奇特性のグループである 2 成分を持つ反転を持つ場合、目標は、反転の中心化が「標準形式」にあることを示すことです。つまり、反転の中心化は、奇特性のリー型の成分を持ち、2 階数 1 の中心化も持っています。
4. 奇数型の群の分類。問題は、群が「標準形式」で反転の中心化を持つ場合、その群は奇数のリー型の群であることを示すことです。これは、アッシュバッハーの古典的な反転定理によって解決されました。
5. 準標準形式
6. 中心退縮
7. 交代グループの分類。
8. いくつかの散発的なグループ
9. 薄い群。奇数の素数pに対して2 局所pランクが最大 1 である単純な薄い有限群は、1978 年に Aschbacher によって分類されました。
10. pが奇数の場合に強くpに埋め込まれた部分群を持つ群
11. 奇数素数に対するシグナライザー ファンクタ法。主な問題は、解決不可能なシグナライザー ファンクタに対するシグナライザー ファンクタ定理を証明することです。これは 1982 年に McBride によって解決されました。
12. 特性p型の群。これは、 p が奇数である強くpに埋め込まれた 2 局所部分群を持つ群の問題であり、Aschbacher によって扱われました。
13. 準シン群。準シン群とは、2 局所部分群のpランクがすべての奇素数pに対して最大 2 である群であり、問​​題は特性 2 のタイプの単純なものを分類することです。これは 2004 年に Aschbacher と Smith によって完成されました。
14. 低い 2 局所 3 ランクのグループ。これは、e ( G )=3のグループに対するAschbacher の三分法定理によって本質的に解決されました。主な変更点は、奇数の素数に対して 2 局所 3 ランクが 2 局所pランクに置き換えられたことです。
15. 標準形式での 3 要素の中心化。これは本質的には三分法定理によって行われました。
16. 特性 2 タイプの単純群の分類。これは、奇数の素数に対して3 元をp元に置き換えたギルマン-グリースの定理によって処理されました。

以下の表の項目の多くは、Solomon (2001) から引用したものです。記載されている日付は通常、結果の完全な証明の公開日ですが、結果の証明または最初の発表から数年後になる場合もあり、そのため一部の項目は「間違った」順序で表示されます。

1985 年頃の定理の証明は、第一世代と呼ぶことができます。第一世代の証明は非常に長いため、第二世代の分類証明と呼ばれる、より簡単な証明を見つけるために多くの努力が払われてきました。「修正主義」と呼ばれるこの努力は、もともとダニエル・ゴレンスタインが主導しました。

2023年現在^[update]、第2世代の証明は10巻が出版されている (Gorenstein、Lyons、Solomon 1994、1996、1998、1999、2002、2005、2018a、2018b; & Capdeboscq、2021、2023)。2012年にSolomonは、プロジェクトにはさらに5巻が必要だと見積もったが、進捗は遅いと述べた。新しい証明は最終的に約5,000ページになると推定されている。(この長さは、第2世代の証明がよりリラックスしたスタイルで書かれていることに一部起因している。) ただし、GLSシリーズの第9巻が出版され、Aschbacher–Smithの貢献も含まれているため、この推定にはすでに達しており、さらに数巻がまだ準備中である (当初第9巻に予定されていた残りの部分と、予定されている第10巻と第11巻)。アッシュバッハーとスミスは、準シンの場合に特化した 2 巻の本を執筆しましたが、その 2 巻は第 2 世代の証明の一部となるようにしました。

ゴレンスタイン氏とその協力者は、より単純な証明が可能である理由をいくつか挙げている。

• 最も重要なことは、定理の正しい最終的な記述が今ではわかっているということです。有限単純であることがわかっているタイプのグループに適切であることがわかっている、より単純な手法を適用できます。対照的に、第一世代の証明に取り組んだ人々は散在群がいくつあるかを知りませんでした。実際、散在群のいくつか (たとえば、Janko 群) は、分類定理の他のケースを証明しているときに発見されました。その結果、定理の多くの部分は、過度に一般的な手法を使用して証明されました。
• 結論が未知であったため、第一世代の証明は、重要な特殊なケースを扱う多くの独立した定理から構成されています。これらの定理を証明する作業の多くは、多数の特殊なケースの分析に費やされました。より大規模で組織化された証明があれば、これらの特殊なケースの多くを扱うことは、最も強力な仮定を適用できるまで延期できます。この改訂された戦略で支払われる代償は、これらの第一世代の定理がもはや比較的短い証明を持たず、代わりに完全な分類に依存することです。
• 第一世代の定理の多くは重複しており、可能なケースを非効率的な方法で分割しています。その結果、有限単純群の族とサブ族が複数回識別されました。改訂された証明では、ケースの異なる細分化に頼ることで、これらの冗長性を排除しています。
• 有限群理論家は、この種の演習に関してより多くの経験を持ち、新しい技術を駆使しています。

Aschbacher (2004) は、Ulrich Meierfrankenfeld、Bernd Stellmacher、Gernot Stroth らによる分類問題に関する研究を第 3 世代プログラムと呼んでいます。このプログラムの目標の 1 つは、アマルガム法を使用して特性 2 のすべてのグループを均一に扱うことです。

ゴレンスタインは、コンパクト・リー群の分類に似た分類の短い証明が存在しないかもしれない理由のいくつかについて議論した。

• 最も明白な理由は、単純群のリストが非常に複雑であることです。26 個の散在群では、証明で考慮しなければならない特殊なケースが多数存在する可能性があります。これまでのところ、ディンキン図によるコンパクト リー群のパラメーター化に類似した有限単純群の明確な統一的な記述をまだ誰も見つけていません。
• アティヤらは、群が作用する何らかの幾何学的オブジェクトを構築し、これらの幾何学的構造を分類することで分類を簡素化すべきだと示唆している。問題は、単純群に関連するそのような幾何学的構造を見つける簡単な方法を誰も提案できなかったことである。ある意味では、BN ペアなどの幾何学的構造を見つけることで分類は機能するが、これは有限単純群の構造の非常に長く困難な分析の末にのみ実現する。
• 証明を簡素化するためのもう 1 つの提案は、表現論をより多く活用することです。ここでの問題は、表現論がうまく機能するには、グループのサブグループを非常に厳密に制御する必要があるように思われることです。ランクの低いグループでは、そのような制御が可能で、表現論は非常にうまく機能しますが、ランクの高いグループでは、誰もそれを使用して分類を簡素化することに成功していません。分類の初期には、表現論を使用するためにかなりの努力が払われましたが、ランクの高いケースではあまり成功しませんでした。

このセクションでは、有限単純群の分類を使用して証明されたいくつかの結果をリストします。

• シュライアー予想
• シグナライザー関数定理
• B予想
• すべてのグループに対する Schur–Zassenhaus の定理 (ただし、ここでは Feit–Thompson の定理のみを使用します)。
• 1 つ以上の元を持つ有限集合上の推移的置換群には、素数べき順序の固定小数点のない元があります。
• 2-推移的置換群の分類。
• ランク3の順列群の分類。
• シムズ予想^[3]
• x ⁿ = 1の解の数に関するフロベニウスの予想。

• オナン・スコット定理

• Aschbacher, Michael (2004). 「有限単純群の分類の現状」(PDF) .アメリカ数学会の通知. 第 51 巻、第 7 号、pp. 736–740。
• アッシュバッハー、マイケル、ライオンズ、リチャード、スミス、スティーブン D.、ソロモン、ロナルド (2011)、「有限単純群の分類: 特性 2 型の群」、数学調査とモノグラフ、第 172 巻、ISBN 978-0-8218-5336-8
• コンウェイ、ジョン・ホートン、カーティス、ロバート・ターナー、ノートン、サイモン・フィリップス、パーカー、リチャード・A、ウィルソン、ロバート・アーノット（1985年）、有限群のアトラス：単純群の最大部分群と通常特徴、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853199-9
• ゴレンスタイン、D. (1979)、「有限単純群の分類。I.単純群と局所解析」、アメリカ数学会報、新シリーズ、1 (1): 43–199、doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8、ISSN  0002-9904、MR  0513750
• ゴレンスタイン、D. (1982)、有限単純群、University Series in Mathematics、ニューヨーク：Plenum Publishing Corp.、ISBN 978-0-306-40779-6、MR  0698782
• ゴレンスタイン、D. (1983)、有限単純群の分類。第1巻。非特性2型群、数学大学シリーズ、プレナム・プレス、ISBN 978-0-306-41305-6、MR  0746470
• ダニエル・ゴレンスタイン（1985）「巨大な定理」、サイエンティフィック・アメリカン、1985年12月1日、第253巻第6号、pp.104-115。
• ゴレンスタイン、D. (1986)、「有限単純群の分類」、アメリカ数学会報、新シリーズ、14 (1): 1–98、doi : 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9、ISSN  0002-9904、MR  0818060
• ゴレンスタイン、D. ;リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン(1994)、「有限単純群の分類」、数学調査とモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-0334-9、MR  1303592
  • ゴレンスタイン、D. ;リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン(1996)、「有限単純群の分類」、第 2 号、数学調査とモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-0390-5、MR  1358135
  • ゴレンスタイン、D. ;リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン(1998)、「有限単純群の分類」、第 3 号、数学調査とモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-0391-2、MR  1490581
  • ゴレンスタイン、D. ;リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン(1999)、「有限単純群の分類」、第 4 号、第 2 部、第 1 章から第 4 章: 一意性定理、数学サーベイおよびモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1379-9、MR  1675976
  • ゴレンスタイン、D. ;リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン(2002)、「有限単純群の分類」、第 5 号、数学調査とモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-2776-5、MR  1923000
  • ゴレンスタイン、D. ;リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン(2005)、「有限単純群の分類、第 6 号: パート IV: 特殊な異常ケース」、数学調査とモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2777-2、MR  2104668
  • ゴレンスタイン、D. ;リチャード・ライオンズ;ロナルド・ソロモン(2018)、「有限単純群の分類」第 7 号: 第 3 部、第 7 章から第 11 章: 一般的なケース、ステージ 3b と 4a、「数学概論とモノグラフ」第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4069-6、MR  3752626
  • ゴレンスタイン、D. ;ライオンズ、リチャード;ソロモン、ロナルド(2018)、「有限単純群の分類、第 8 号: パート III、第 12 章から第 17 章: 一般的なケース、完了」、数学サーベイおよびモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-1-4704-4189-0、MR  3887657
  • Capdeboscq, Inna; Gorenstein, D. ; Lyons, Richard ; Solomon, Ronald (2021)、「有限単純群の分類、第9号：第5部、第1-8章：定理C 5 {\displaystyle C_{5}} および定理C 6 {\displaystyle C_{6}} 」、ステージ1、数学サーベイおよびモノグラフ、第40巻、プロビデンス、RI：アメリカ数学会、ISBN 978-1-4704-6437-0、MR  4244365
  • Capdeboscq, Inna; Gorenstein, D. ; Lyons, Richard ; Solomon, Ronald (2023)、有限単純群の分類、第10号：第5部、第9-17章：定理 C 6 {\displaystyle C_{6}} および定理 C 4 ∗ {\displaystyle C_{4}^{*}} 、ケースA、Mathematical Surveys and Monographs、第40巻、プロビデンス、RI：アメリカ数学会、ISBN 978-1-4704-7553-6、MR  4656413
• マーク・ロナン、『対称性と怪物』、ISBN 978-0-19-280723-6、オックスフォード大学出版局、2006年。（一般読者向けの簡潔な紹介） 
• マーカス・デュ・ソートイ、『Finding Moonshine』、Fourth Estate、2008年、ISBN 978-0-00-721461-7（一般読者向けのもう一つの入門書。アメリカ版は2009年に『Symmetry: A Journey into the Patterns of Nature』として出版） 
• ロン・ソロモン(1995)「有限単純群とその分類について」アメリカ数学会の通知。(あまり技術的ではなく、歴史に関する内容が充実。アメリカ版は 2009 年に「Symmetry: A Journey into the Patterns of Nature」として出版)
• Solomon, Ronald (2001)、「有限単純群の分類の簡単な歴史」(PDF)、米国数学会報、新シリーズ、38 (3): 315–352、doi : 10.1090/S0273-0979-01-00909-0、ISSN  0002-9904、MR 1824893、2001-06-15にオリジナルから アーカイブ(PDF)– 記事はレヴィ・L・コナント賞を受賞
• トンプソン、ジョン G. (1984)、「有限非可解群」、グルンバーグ、KW、ローズブレード、JE (編)、群論。フィリップ・ホールのためのエッセイ、ボストン、マサチューセッツ州:アカデミック・プレス、pp. 1-12、ISBN 978-0-12-304880-6、MR  0780566
• ウィルソン、ロバート A. (2009)、「有限単純群」、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl  1203.20012

• 有限群表現の ATLAS。多くの有限単純群の表現およびその他のデータの検索可能なデータベース。
• Elwes, Richard、「巨大な定理: 有限単純群の分類」、Plus Magazine、第 41 号、2006 年 12 月。一般向け。
• Madore, David (2003)非可換単純群の順序。Wayback Machine^{に 2005-04-04 にアーカイブ。10 10}の順序までのすべての非可換単純群のリストが含まれています。
• すべての有限群の分類が「不可能」であるというのはどういう意味ですか?
• オーンズ、スティーブン (2015)。 「巨大な証明が消える前に、研究者は巨大な定理を救出するために競争する」。サイエンティフィック・アメリカン。313 (1): 68–75。doi :10.1038/scientificamerican0715-68。PMID 26204718  。
• 「有限単純群の分類の第 2 世代 (および第 3 世代) の証明はどこにあるか?」。MathOverflow。（最終更新日：2024年2月）