プライムシグネチャー

数学において、数の素数符号とは、その数の素因数分解の（ゼロでない）指数の多重集合のことである。素因数分解される数の素数符号は多重集合である。 ${\displaystyle p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\dots p_{n}^{m_{n}}}$${\displaystyle \left\{m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\right\}}$

たとえば、すべての素数の素数符号は {1} で、素数の平方の素数符号は {2} で、2 つの異なる素数の積の素数符号は{1, 1 } で、素数の平方と異なる素数 (例: 12、18、20、...) の積の素数符号は{2, 1 } です。

約数関数τ( n )、メビウス関数 μ ( n )、 nの異なる素約数 ω( n )の数、 nの素約数 Ω( n )の数、平方自由整数の指示関数、および整数論における他の多くの重要な関数は、 nの素数の符号の関数です。

特に、 τ( n ) は、 nの素数符号から 1 だけ増加した指数の積に等しくなります。たとえば、 20 の素数符号は {2,1} なので、約数の数は (2+1) × (1+1) = 6 です。実際、約数は 1、2、4、5、10、20 の 6 個あります。

各素数署名の最小数は、原始数の積です。最初のいくつかは次のとおりです。

1、2、4、6、8、12、16、24、30、32、36、48、60、64、72、96、120、128、144、180、192、210、216、...（OEISの配列A025487 ）。

ある数の素数符号がヤングの格子内の他の数の素数符号に含まれていない限り、その数は他の数を割り切ることはできません。

素数符号Sを持つ数が与えられた場合、

• S = {1}の場合、素数、
• gcd ( S )が偶数であれば平方、
• gcd ( S )が3で割り切れる場合、立方体である。
• max( S ) = 1のとき平方数のない整数、
• max( S )≤2であれば立方体フリー整数、
• min( S )≥2の場合、強力な数となる。
• gcd( S ) > 1 の場合、完全累乗となる。
• sum( S ) = kであればkはほぼ素数、または
• min( S )≥2かつgcd( S )=1の場合、アキレス数となる。

• 正の整数の正規表現

• 最初の 400 個のプライム署名のリスト
• プライム署名の反復マッピング