プラズマ振動

プラズマ振動はラングミュア波（アーヴィング・ラングミュアにちなんで）とも呼ばれ、紫外線領域におけるプラズマや金属などの伝導媒体内の電子密度の急速な振動です。この振動は、自由電子ガスの誘電関数の不安定性として説明できます。周波数は振動の波長にわずかにのみ依存します。これらの振動の量子化から生じる準粒子がプラズモンです。

ラングミュア波は、1920年代にアメリカの物理学者 アーヴィング・ラングミュアとルイス・トンクスによって発見されました。 ^{[1]ラングミュア波は、静的媒体における重力不安定性によって引き起こされる}ジーンズ不安定波 と形状が似ています。

電気的に中性で平衡状態にあるプラズマを考えてみましょう。このプラズマは正電荷を帯びたイオンと負電荷を帯びた電子のガスから構成されています。イオンに対して電子または電子群をわずかにずらすと、クーロン力が電子を引き戻し、復元力として働きます。

電子の熱運動を無視すれば、電荷密度がプラズマ周波数​​で振動することを示すことができる。

${\displaystyle \omega _{\mathrm {pe} }={\sqrt {\frac {n_{\mathrm {e} }e^{2}}{m^{*}\varepsilon _{0}}}},\left[\mathrm {rad/s} \right]}$（SI単位）、

${\displaystyle \omega _{\mathrm {pe} }={\sqrt {\frac {4\pi n_{\mathrm {e} }e^{2}}{m^{*}}}},\left[\mathrm {rad/s} \right]}$( cgs 単位)、

ここで、 は電子の数密度、は電荷、 は電子の有効質量、は自由空間の誘電率です。上記の式は、イオンの質量が無限大であるという近似のもとで導かれていることに注意してください。電子はイオンよりもはるかに軽いため、これは一般に良い近似です。 ${\displaystyle n_{\mathrm {e}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m^{*}}$${\displaystyle \varepsilon_{0}}$

マクスウェル方程式を使用した証明。^[2]電荷密度の振動を仮定すると、連続の方程式： ガウスの法則 と導電率は 両辺の発散を取り、上記の関係を代入します。 これは、次の場合にのみ常に真となります 。 ただし、これは誘電率（ドルーデモデルを参照） と透明性の条件（つまり、特定のプラズマ周波数​​以上）でもあり、ここでも同じ条件が適用され、電荷密度における密度波の伝播も可能になります。 ${\displaystyle \rho (\omega )=\rho _{0}e^{-i\omega t}}$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=i\omega \rho (\omega )}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\omega )=4\pi \rho (\omega )}$$$${\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )}$$$${\displaystyle i\omega \rho (\omega )=4\pi \sigma (\omega )\rho (\omega )}$$$${\displaystyle 1+{\frac {4\pi i\sigma (\omega )}{\omega }}=0}$$${\displaystyle \epsilon (\omega )=1+{\frac {4\pi i\sigma (\omega )}{\omega }}}$${\displaystyle \epsilon \geq 0}$${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$${\displaystyle \epsilon =0}$

この表現は、天体物理学でよく見られる電子陽電子プラズマの場合には修正する必要がある。^[3]周波数は波長に依存しないため、これらの振動は無限の位相速度とゼロの群速度を持つ。

のとき、プラズマ周波数​​は物理定数と電子密度のみに依存することに注意する。角プラズマ周波数​​の数値表現は ${\displaystyle m^{*}=m_{\mathrm {e} }}$${\displaystyle \omega _{\mathrm {pe} }}$${\displaystyle n_{\mathrm {e} }}$$${\displaystyle f_{\text{pe}}={\frac {\omega _{\text{pe}}}{2\pi }}~\left[{\text{Hz}}\right]}$$

金属は、金属のプラズマ周波数​​よりも高い周波数の光に対してのみ透過します。アルミニウムや銀などの一般的な金属の場合、プラズマ周波数​​は約 10 ²³ cm ⁻³で、プラズマ周波数​​は紫外線領域になります。ほとんどの金属が可視光を反射して光沢があるように見えるのは、このためです。 ${\displaystyle n_{\mathrm {e} }}$

電子の熱速度の効果を考慮すると、電子圧力は電場と同様に復元力として作用し、振動は周波数と波数で伝播します。これらは縦方向のラングミュア^[4]波によって関連付けられます。 これはボーム-グロス分散関係 と呼ばれます。空間スケールがデバイ長に比べて大きい場合、振動は圧力項によってわずかに修正されるだけですが、小さなスケールでは圧力項が支配的になり、波は速度で分散がなくなります。しかし、そのような波では、電子の熱速度は位相速度に匹敵します。つまり、 プラズマ波は、波の位相速度にほぼ等しい速度で動いている電子を加速できます。このプロセスは、多くの場合、ランダウ減衰と呼ばれる衝突のない減衰の一種につながります。したがって、分散関係の大きなk部分は観察が難しく、ほとんど影響しません。 ${\textstyle v_{\mathrm {e,th} }={\sqrt {k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {e} }}}}$$${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{\mathrm {pe} }^{2}+{\frac {3k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}{m_{\mathrm {e} }}}k^{2}=\omega _{\mathrm {pe} }^{2}+3k^{2}v_{\mathrm {e,th} }^{2},}$$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}\cdot v_{\mathrm {e,th} }}$$${\displaystyle v\sim v_{\mathrm {ph} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega }{k}},}$$

境界のあるプラズマでは、電子が冷たい場合でも、フリンジ電界によってプラズマ振動が伝播する可能性があります。

金属や半導体では、イオンの周期的ポテンシャルの影響を考慮する必要があります。これは通常、電子の有効質量をmの代わりに使用して行われます。

プラズマ振動は「負の質量」効果を引き起こす可能性がある。負の有効質量効果を引き起こす力学モデルを図 1に示す。質量 のコアは、定数 のバネを介して 質量 のシェルに内部接続される。システムは外部正弦波力 の影響を受ける。質量 と の運動方程式を解き 、 システム全体を単一の有効質量に置き換えると、次式 が得られる。^{[5] [6] [7] [8] [9]} ただし。周波数が上から 近づくと、 有効質量は 負になる。^{[5] [6] [7] [8]}${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle F(t)={\widehat {F}}\sin \omega t}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{\rm {eff}}}$ $${\displaystyle m_{\rm {eff}}=m_{1}+{m_{2}\omega _{0}^{2} \over \omega _{0}^{2}-\omega ^{2}},}$$${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k_{2}/m_{2}}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle m_{\rm {eff}}}$

負の有効質量（密度）も、自由電子ガスのプラズマ振動を利用した電気機械結合に基づいて可能になる（図 2を参照）。^{[9] [10]}負の質量は、 イオン格子に対する電子ガスのプラズマ振動の周波数に近い周波数で金属粒子が振動した結果として現れる。プラズマ振動は弾性バネで表され、ここで は プラズマ周波数​​である。したがって、外部周波数ωで振動する金属粒子は 、周波数が上から 近づくと負になる有効質量で表されます  。プラズマ周波数​​付近での負の質量の効果を利用したメタマテリアルが報告されている。^{[9] [10]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle k_{2}=\omega _{\rm {p}}^{2}m_{2}}$${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$$${\displaystyle m_{\rm {eff}}=m_{1}+{m_{2}\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega _{\rm {p}}^{2}-\omega ^{2}},}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$

• 電子の航跡
• プラズモン
• 相対論的量子化学
• 表面プラズモン共鳴
• 上部混成振動、特に磁場に対して斜めの伝播角度におけるモードの修正についての議論
• プラズマの波

• ロンゲール、マルコム S. (1998)、銀河形成、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 978-3-540-63785-1