下降階乗と上昇階乗

数学 において、下降階乗（下降階乗、^[1] 下降逐次積、または下階乗と呼ばれることもある）は、多項式として定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).\end{aligned}}}$$

上昇階乗（ポッホハマー関数、ポッホハマー多項式、上昇階乗、^[1] 上昇逐次積、または上階乗と呼ばれることもある）は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)^{n}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

のとき、それぞれの値は1（空積）とされる。これらの記号は総称して階乗累乗と呼ばれる。^[2]${\displaystyle n=0}$

レオ・アウグスト・ポッホハマーによって導入されたポッホハマー記号は、 という表記法で、nは非負の整数である。これは上昇階乗または下降階乗のいずれかを表すことができ、異なる論文や著者は異なる表記法を使用している。ポッホハマー自身は実際には別の意味で使用しており、つまり二項係数 を表していた。^[3]${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$

この記事では、記号 は下降階乗を表し、記号 は上昇階乗を表すために使用されています。これらの規則は組合せ論で使用されています が、^[4]クヌースの下線と上線表記法とがますます人気を集めています。^{[2] [5]}特殊関数 の理論（特に超幾何関数）と標準的な参考文献であるアブラモウィッツとステグンでは、ポッホハマー記号が上昇階乗を表すために使用されています。^{[6] [7]}${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle x^{\underline {n}}}$${\displaystyle x^{\overline {n}}}$${\displaystyle (x)_{n}}$

が正の整数のとき、 x要素の集合からのn順列（異なる要素のシーケンス）の数、またはそれと同等に、サイズの集合からサイズ の集合への単射関数の数を返します。 上昇階乗は、 要素の集合を順序付けられたシーケンス（空の場合もある）に分割する数を返します。 ^[a]${\displaystyle x}$${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

最初のいくつかの下降階乗は次のとおりです。 最初のいくつかの上昇階乗は次のとおりです。 展開に現れる係数は、第 1 種のスターリング数です(以下を参照)。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$$

変数が正の整数の場合、その数はx個のアイテムの集合からのn順列の数、つまり、サイズ 個のコレクションから抽出された異なる要素で構成される長さnの順序付きリストを選択する方法の数に等しくなります。たとえば、は、8 人制のレースで可能な、金メダル、銀メダル、銅メダルの割り当てである異なる表彰台の数です。一方、は「旗竿に旗を配置する方法の数」です^[8]。ここでは、すべての旗を使用する必要がありますが、各旗竿には任意の数の旗を置くことができます。同様に、これは、サイズ 個の集合(旗) を区別可能な部分 (竿) に 分割する方法の数であり、各部分に割り当てられた要素に線形順序 (特定の竿上の旗の順序) が適用されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (8)_{3}=8\times 7\times 6=336}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

上昇階乗と下降階乗は単純に相互に関連しています。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(- x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n }.\end{alignedat}}}$$

整数の下降階乗と上昇階乗は、通常の階乗に直接関係しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$

半整数の階乗は二重階乗に直接関係しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$

下降階乗と上昇階乗は二項係数を表現するために使用できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$

したがって、二項係数に関する多くの恒等式は、下降階乗と上昇階乗にも適用されます。

上昇階乗と下降階乗は任意の単位 環で明確に定義されているため、たとえば、負の整数を含む複素数、複素係数を持つ多項式、または任意の複素数値関数としてとらえることができます。 ${\displaystyle x}$

下降階乗は、提供されているガンマ関数を使用して、負の整数ではない 実数値に拡張できます。 上昇階乗も同様です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$$${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}$$$${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}$$

階乗の低下は、単純なべき乗関数の 多重微分で現れます。$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$$

上昇階乗は、超幾何関数の定義にも不可欠です。超幾何関数は、 が成り立つ場合、べき級数によってに対して定義されます。ただし、超幾何関数の文献では通常、上昇階乗の表記法が使用されることに注意してください。 ${\displaystyle |z|<1}$ $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$$${\displaystyle c\neq 0,-1,-2,\ldots }$${\displaystyle (a)_{n}}$

階乗の減少と増加はスターリング数と密接に関係している。実際、積を展開すると第一種スターリング数が明らかになる。$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$

そして逆の関係は第二種スターリング数を使用する。$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$

下降階乗と上昇階乗は、 Lah数${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$を通じて互いに関連している。^[9]$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}}$$

下降階乗は多項式環の基底なので、それらの2つの積は下降階乗の線形結合として表すことができる。^[10] $${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$

係数は接続係数と呼ばれ、サイズmのセットとサイズnのセットからそれぞれk個の要素を識別する (または「接着する」) 方法の数として組み合わせ論的に解釈されます。 ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$

2つの上昇階乗の比に対する接続式も存在し、 $${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$

さらに、一般化された指数法則と負の上昇および下降のべき乗を次の恒等式で拡張することができます。^{[11] (p 52)}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}$$

最後に、下降階乗と上昇階乗の 複製と乗算の式により、次の関係が得られます。$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

階乗の低下は、前進差分演算子を使用して多項式を表す式で発生し、形式的にはテイラーの定理に似ています。 ${\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}$$

この式や他の多くの箇所で、差分法における階乗の下降は、微分法におけるの役割を果たします。たとえば、と の類似性に注意してください。 ${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}}$${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}x^{n}=nx^{n-1}}$

上昇階乗演算子と後退差分演算子についても同様の結果が得られます。

この種の類推の研究は、陰関数計算として知られています。下降階乗関数と上昇階乗関数を含むこのような関係をカバーする一般理論は、二項型の多項式列とシェファー列の理論によって与えられます。下降階乗と上昇階乗は二項型のシェファー列であり、次の関係で示されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}}$$

ここで係数は二項定理の係数と同じです。

同様に、ポッホハマー多項式の生成関数は、暗黒指数関数に等しい。

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},}$$

以来

$${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}$$

上昇階乗の別の表記法 $${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

そして、下降階乗については $${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

それぞれA. Capelli (1893)とL. Toscano (1939)に遡ります。^[2] Graham、Knuth、Patashnik ^{[11] (pp 47, 48)} は、これらの表現をそれぞれ「to the rising」と「to the falls」と発音することを提案しています。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$

上昇階乗の別の表記法として、あまり一般的ではない が使われる。が上昇階乗を表すために使われる場合、混乱を避けるために、通常の下降階乗には という表記法が使われることが多い。^[3]${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$

ポッホハマー記号には、多変量解析で使用される一般化ポッホハマー記号と呼ばれる一般化されたバージョンがあります。また、q類似体であるq -ポッホハマー記号もあります。

任意の固定された算術関数と記号パラメータx、tに対して、関連する一般化階乗積は次の形式で表される。 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

は、 ( x ) _n、f、tの展開におけるxの累乗の次の係数によって定義される第一種一般化スターリング数のクラスの観点から研究することができ、次に次の対応する三角漸化式によって研究することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

これらの係数は、第一種スターリング数やf調和数に関連する再帰関係や関数方程式と同様の多くの性質を満たしている。^[12] $${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

• ポッホハマーk記号
• ヴァンデルモンドのアイデンティティ

• Weisstein、Eric W.「ポッホハマー記号」。MathWorld。