シェファーシーケンス

数学において、シェファー列またはべき乗数とは、多項式列、すなわち、各多項式の指数がその次数に等しく、組合せ論における暗黒計算に関連する条件を満たす多項式の列 ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ...)である。これらは、イサドール・M・シェファーにちなんで名付けられている。

多項式列（p _n）を固定する。xの多項式上の線形演算子 Qを次のように 定義する。$${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.}$$

これにより、すべての多項式上のQ が決定されます。多項式シーケンスp _nは、定義した線形演算子Q がシフト同変である場合にシェファー シーケンスになります。そのようなQはデルタ演算子です。ここで、多項式上の線形演算子Q がシフト同変であると定義すると、f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) がg ( x )の「シフト」である場合は常に、 ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a ) です。つまり、Q はすべてのシフト演算子と可換です。T _a Q = QT _aです。

シェファー列全体の集合は、多項式列の 暗黒合成の作用による群であり、次のように定義される。 ( p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) と (  q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) が多項式列であるとすると、 $${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$$

すると、アンブラル合成は、 n番目の 項が ( p _nでは 下付き文字nが現れますが、これはその数列のn番目の項であるためです。しかし、 qでは現れません。これは、数列の項の 1 つではなく、数列全体を指すためです) である多項式数列です。 ${\displaystyle p\circ q}$$${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$$

この群の単位元は標準単項式基底である $${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}$$

2 つの重要なサブグループとして、アペル シーケンスのグループ(演算子Q が単なる微分であるシーケンス) と二項型シーケンスのグループ (恒等式を満たすシーケンス) があります。 シェファー シーケンス (  p _n ( x ) : n  = 0, 1, 2, ... ) が二項型であるためには、次の両方を満たす必要があります 。 $${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$$$${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$$$${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ for }}n\geq 1.\,}$$

アペル数列の群はアーベル群ですが、二項型数列の群はそうではありません。アペル数列の群は正規部分群ですが、二項型数列の群はそうではありません。シェファー数列の群は、アペル数列の群と二項型数列の群の半直積です。したがって、アペル数列の群の各剰余類には、二項型数列が 1 つだけ含まれます。2 つのシェファー数列が同じ剰余類に含まれるのは、上記の演算子Q (その数列の「デルタ演算子」と呼ばれる) が、どちらの場合も同じ線形演算子である場合のみです。(一般に、デルタ演算子は、次数を 1 つ減らす多項式上のシフト同変線形演算子です。この用語は F. ヒルデブラントに由来します。)

s _n ( x ) がシェファー列であり、p _n ( x ) が同じデルタ演算子を共有する二項型列である場合 、$${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).}$$

シェファー列という用語は、二項式型の列とこの関係を_持つ列を意味すると 定義されることがある。特に、( sn ( x ))がアペル列である場合、 $${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).}$$

エルミート多項式の列、ベルヌーイ多項式の列、単項式( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... ) は、アペル列の例です。

シェファー数列p _{n は}指数生成関数 によって特徴付けられ 、ここでAとBはtの（形式的な）べき級数です。したがって、シェファー数列は一般化されたアペル多項式の例であり、したがって関連する再帰関係を持ちます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}$$

シェファー列である多項式列の例には次のものがあります。

• アーベル多項式;
• ベルヌーイ多項式;
• オイラー多項式;
• 中心階乗多項式。
• エルミート多項式;
• ラゲール多項式;
• 単項式( x ⁿ  : n = 0, 1 , 2, ... );
• モット多項式;
• 第二種ベルヌーイ多項式。
• 下降階乗と上昇階乗;
• タッチャード多項式;
• ミタグ・レフラー多項式;

• Weisstein、Eric W.「シェファー シーケンス」。MathWorld。