ベズーの定理

XとYは、体F上で定義された2つの平面射影曲線であり、共通の成分を持たないと します（この条件は、 XとYが正の次数を持つ共通の約数を持たない多項式によって定義されていることを意味します）。このとき、 Fを含む代数的に閉じた体Eの座標とXとYの交点の総数は、それぞれの重複度を考慮して数えると、 XとYの次数の積に等しくなります。

高次元への一般化は次のように述べることができる。

代数的に閉じた体上の次元nの射影空間において、次数がn + 1のn個の同次多項式によって定義されるn個の射影超曲面が与えられているとする。$d_1,...,d_n.$すると、交点の数は無限であるか、または重複度を考慮して数えた交点の数は積に等しくなります。${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$超曲面が相対的に一般の位置にある場合、${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$交点（重複度1）

この定理には様々な証明方法があり、純粋に代数的な用語で表現されたものもあれば、代数幾何学の用語を用いたものもある。以下に、3つの代数的な証明方法の概要を示す。

ベズーの定理は、いわゆる多重同次ベズーの定理として一般化されている。

この定理のアフィンケースは次の記述であり、1983年にデイヴィッド・マッサーとギスベルト・ヴュストホルツによって証明された。^{[ 8 ]}

代数的に閉じた体上で、 n個の変数と 次数を持つn個の多項式によって定義されるn個のアフィン超曲面を考える。${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}.}$すると、交点の数は無限であるか、または重複度を考慮して数えた交点の数は最大で積になります。${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$超曲面が相対的に一般の位置にある場合、正確には${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$交点（重複度1）

最後の主張はベズーの定理の系であるが、最初の主張はそうではない。なぜなら、アフィン空間には有限個の交点が存在する可能性があり、無限遠には無限個の交点が存在する可能性があるからである。

この定理は、マッサーとヴュストホルツによって証明された、より一般的な命題の系であり、明示的に述べられてはいない。

一般的な結果を述べるには、交点が代数集合を形成し、交点の数が有限であるのは、交点のすべての成分がゼロ次元である場合に限ることを思い出す必要がある（正の次元の代数集合は、代数的に閉じた体上で無限個の点を持つ）。交点が、交点の正の次元の成分に属さない場合、その交点は孤立していると言われる。孤立した交点の近傍（ザリスキ位相の場合、または複素超曲面の通常の位相の場合）には他の交点が含まれていないため、この用語は理にかなっている。

代数的に閉じた体上でn 個の同次多項式によって定義されるn個の射影超曲面を考える。${\displaystyle n+1}$ 変数、次数${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}.}$すると、それらの孤立した交点の重複度の合計は、最大で積になります。${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$結果は、任意の数の超曲面mに対して有効であり、${\displaystyle d_{m+1}=0}$ケース${\displaystyle m<n,}$そうでなければ、${\displaystyle d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{m}\geq d_{1}.}$つまり、孤立した交点が存在しないのは、${\displaystyle m<n,}$それ以外の場合は、境界は最小次数と${\displaystyle n-1}$最大の学位。

ユークリッド平面上の直線の式は線形であり、すなわち、1次多項式を0に等しいと表します。したがって、2つの直線のベズー境界は1であり、これは2つの直線が1点で交わるか、交わらないかのどちらかであることを意味します。後者の場合、2つの直線は平行であり、無限遠点で交わります。

これは方程式で検証できます。最初の直線の式は、傾き切片形式で表すことができます。${\displaystyle y=sx+m}$または、射影座標では${\displaystyle y=sx+mt}$（直線が垂直な場合は、xとyを入れ替えてもよい。）2番目の直線の式が（射影座標で）${\displaystyle ax+by+ct=0,}$置換により${\displaystyle sx+mt}$yの場合、${\displaystyle (a+bs)x+(c+bm)t=0.}$もし${\displaystyle a+bs\neq 0,}$後者の方程式をxについて解き、 t = 1を代入することで、交点のx座標が得られます。

もし${\displaystyle a+bs=0,}$それは${\displaystyle s=-a/b,}$2つの線は同じ傾きを持つため平行です。${\displaystyle m\neq -c/b,}$これらは別個のものであり、代入された方程式はt = 0となる。これにより、射影座標(1, s , 0)の無限遠点が得られる。

上記のように、射影座標における直線の式は次のように表すことができる。${\displaystyle y=sx+mt.}$曲線が射影座標で同次多項式によって定義されている場合${\displaystyle p(x,y,t)}$次数nの多項式において、 yを代入すると、 xとtに関する次数nの同次多項式が得られます。代数学の基本定理によれば、これは線形因数に分解できます。各因数は交点のx座標とt座標の比を表し、因数の重複度は交点の重複度に等しくなります。

tを無限大の座標とみなすと、 tに等しい係数は無限大における交点を表す。

多項式pの少なくとも 1 つの偏導関数が交点でゼロでない場合、その点における曲線の接線が定義され (代数曲線 § 点における接線を参照)、直線が曲線に接している場合に限り、交点の重複度は 1 より大きくなります。すべての偏導関数がゼロの場合、交点は特異点となり、交点の重複度は 2 以上になります。

2つの円錐曲線は一般的に4点で交わり、そのうちいくつかは重なる場合があります。すべての交点を適切に考慮するには、複素座標を許容し、射影平面上の無限直線上の点を含める必要がある場合があります。例：

• 平面上では2つの円は2点以上で交わることはないが、ベズーの定理は4点交わると予測している。この矛盾は、すべての円が無限遠点上の同じ2つの複素点を通るという事実から生じる。円を描く$${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$同次座標では、$${\displaystyle (x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,}$$これから、2点(1  : i  : 0)と(1  : – i  : 0)がすべての円上にあることが明らかです。実平面上で2つの円が全く交わらない場合、他の2つの交点は非実数座標を持ちます。また、円が同心円の場合は、無限遠の直線上の2点で交わり、交点の重複度は2となります。
• 定理によれば、円錐曲線は無限遠点で直線と2点で交わるはずです。双曲線は漸近線の2つの方向に対応する2つの実点で交わります。楕円は互いに共役な2つの複素点で交わります。円の場合は、(1  : i  : 0)と(1  : – i  : 0)です。放物線は1点でしか交わりませんが、接点であるため2点として数えられます。
• 以下の図は、円x ² + y ² – 1 = 0が別の楕円と交わる点の数が少なくなる例を示しています。これは、少なくとも一方の交点の重複度が 1 より大きいためです。

PとQを、それぞれ次数がpとqである不定元x、y、tに関する2つの同次多項式とする。これらの零点は、 2つの射影曲線の同次座標である。したがって、それらの交点の同次座標は、PとQの共通零点となる。

1つの不定元、例えばyのべき乗をまとめると、係数がxとtの同次多項式である単変数多項式が得られます。

技術的な理由から、座標変換を適用して、点PとQのyの次数がそれらの合計次数 ( pとq ) に等しくなり、2 つの交点を通過する各直線が点(0, 1, 0)を通過しないようにする必要があります(これは、どの 2 つの点も同じデカルトx座標を持たないことを意味します)。

PとQのyに関する結果R ( x , t )は、xとtに関する同次多項式であり、次の性質を持つ。 ${\displaystyle R(\alpha ,\tau )=0}$と${\displaystyle (\alpha ,\tau )\neq (0,0)}$それが存在する場合に限り${\displaystyle \beta }$そのため${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\tau )}$はPとQの共通零点である(結果 § 零点を参照)。上記の技術的条件により、${\displaystyle \beta }$これは一意です。上記の最初の技術的条件は、結果式の定義で使用される次数がpとqであることを意味します。これは、 Rの次数がpq であることを意味します(結果式 § 同次性を参照)。

Rは2つの不定元に関する同次多項式であるため、代数学の基本定理によれば、Rはpq個の線形多項式の積である。PとQの共通零点の重複度を、対応する因子が積中に現れる回数と定義すれば、ベズーの定理が証明される。

先ほど定義した交差多重度が変形による定義と等しいことを証明するには、結果関数、ひいてはその線形因子がPとQの係数の連続関数であることを指摘すれば十分である。

交差多重度に関する他の定義との等価性を証明するには、これらの定義の技術的な詳細が必要となるため、本稿の範囲外とする。

20世紀初頭、フランシス・ソーワービー・マコーレーは、 n個の不定元に関するn個の同次多項式の多変数終結式（マコーレー終結式とも呼ばれる）を導入しました。これは、2つの多項式の通常の終結式の一般化です。マコーレー終結式は、 n個の同次多項式の係数の多項式関数であり、係数を含む代数的に閉じた体において、多項式が非自明な（つまり、何らかの成分が非ゼロである）共通零点を持つ場合に限り、ゼロになります。

U終結式は、マコーレーによって導入されたマコーレー終結式の特殊な例である。n個の同次多項式が与えられた場合、${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$n + 1 個の不定元${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n},}$Uの結果は、${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n},}$そして${\displaystyle U_{0}x_{0}+\cdots +U_{n}x_{n},}$ここで係数は${\displaystyle U_{0},\ldots ,U_{n}}$これらは補助不定式です。U結果式は、${\displaystyle U_{0},\ldots ,U_{n},}$その次数は、${\displaystyle f_{i}.}$

多変数多項式は一般に既約ですが、U の結果は線形に因数分解できます (${\displaystyle U_{i}}$）代数的に閉じた体上の多項式で、その係数を含む。${\displaystyle f_{i}.}$これらの線形因子は、${\displaystyle f_{i}}$次のようにして、各共通ゼロに${\displaystyle (\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n})}$線形係数に対応する${\displaystyle (\alpha _{0}U_{0}+\cdots +\alpha _{n}U_{n}),}$そしてその逆もまた然り。

これは、共通零点の重複度をU結果の対応する線形因子の重複度として定義すれば、ベズーの定理を証明する。前述の証明と同様に、この重複度と変形による定義との等価性は、 U結果が係数の関数として連続であることから導かれる。${\displaystyle f_{i}.}$

ベズーの定理のこの証明は、現代の厳密性の基準を満たす最も古い証明であると思われる。

ベズーの定理は、次の定理を用いて多項式の個数に関する漸化式によって証明することができる。

V を次元の射影代数集合とする${\displaystyle \delta }$学位​${\displaystyle d_{1}}$、そしてH は次数 の超曲面 (単一の多項式で定義される) とする。${\displaystyle d_{2}}$Vの既約成分を含まないもの。これらの仮定の下では、VとHの共通部分の次元は${\displaystyle \delta -1}$学位${\displaystyle d_{1}d_{2}.}$

ヒルベルト級数を用いた（概略的な）証明については、ヒルベルト級数とヒルベルト多項式§ 射影多様体の次数とベズーの定理を参照してください。

この定理は、ベズーの定理の概念的に単純な証明を可能にするだけでなく、交差理論にとって基礎となるものである。なぜなら、この理論は本質的に、上記の定理の仮定が適用されない場合の交差の多重度を研究することに専念しているからである。