手術理論

数学、特に幾何学的位相幾何学において、外科手術理論は、ジョン・ミルナー （1961）によって提唱され、ある有限次元多様体から別の有限次元多様体を「制御された」方法で生成するために使用される一連の技術である。ミルナーはこの技術を外科手術と呼び、アンドリュー・ウォレスは球面修正と呼んだ。^[1]次元の微分可能多様体Mに対する「外科手術」は、次元pの埋め込まれた球をMから削除することとして説明できる。^[2]もともと微分可能（または滑らかな）多様体のために開発された外科手術技術は、区分線型（PL-）多様体や位相多様体にも適用される。 ${\displaystyle n=p+q+1}$

手術とは、多様体の一部を切り取り、それを別の多様体の一部と置き換え、切り口または境界に沿って一致させることを指します。これは、ハンドルボディ分解と密接に関連していますが、同一ではありません。

より技術的に言えば、このアイデアは、よく理解されている多様体Mから始めて、その多様体のホモロジー、ホモトピー群、またはその他の不変量への影響が既知であるような方法で、望ましい特性を持つ多様体M ′を生成する手術を行うことです。モース理論を使用した比較的簡単な議論は、多様体が別の多様体から球面修正のシーケンスによって得られるのは、それら 2 つが同じコボルディズムクラスに属する場合のみであることを示しています。^[1]

ミシェル・ケルヴェールとミルナー(1963)によるエキゾチック球の分類により 、高次元位相幾何学の主要なツールとして手術理論が登場しました。

X、Y が境界を持つ多様体である場合、積多様体の境界は

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

手術を正当化する基本的な観察は、空間が の境界として、または の境界として理解できるということです。記号では、 ${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$、

ここで はq次元円板、すなわち、与えられた固定点（円板の中心）から 1 以下の距離にある 内の点の集合です。たとえば、 は単位区間に同相ですが、 はその内部の点とともに円になります。 ${\displaystyle D^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle D^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$

さて、次元の多様体Mと埋め込みが与えられたとき、別のn次元多様体を次のように 定義する。${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$${\displaystyle M'}$

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

これまでの基本的な観察からの方程式から、接着は正当化される 。${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})}$

${\displaystyle \phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).}$

多様体M ′ は、 を切り取って貼り付ける手術、または数pを指定する場合はp手術によって生成されると言われています。厳密に言えば、M ′ は角のある多様体ですが、角を滑らかにする標準的な方法があります。Mで置き換えられた部分多様体は、 Mと同じ次元（余次元0）であったことに注意してください。 ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$

手術はハンドルを取り付けることと密接に関係しているが、同じではない。境界を持つ -多様体と埋め込み（ただし ）が与えられたとき、境界L ′ を 持つ別の -多様体を次のように定義する。${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle (L,\partial L)}$${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

多様体L ′は「 -ハンドルを取り付ける」ことによって得られ、 p-手術 によって得られる${\displaystyle (p+1)}$${\displaystyle \partial L'}$${\displaystyle \partial L}$

${\displaystyle \partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Mに対する手術は、新しい多様体M ′ を生成するだけでなく、MとM ′の間に共形 Wも生成する。手術の痕跡は共形であり、 ${\displaystyle (W;M,M')}$

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

ハンドルを付加することで積から得られる境界を持つ -次元多様体。 ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle \partial W=M\cup M'}$${\displaystyle M\times I}$${\displaystyle (p+1)}$${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$

手術は、多様体MがM ′ から -手術によって再取得でき、そのトレースが方向付けまで元の手術のトレースと一致するという 意味で対称です。${\displaystyle (q-1)}$

ほとんどのアプリケーションでは、多様体Mには、何らかの参照空間へのマップや追加のバンドル データなどの追加の幾何学的構造が付属しています。そのため、手術プロセスによってM ′ に同じ種類の追加構造を付与する必要があります。たとえば、手術理論の標準的なツールは法線マップの手術です。このようなプロセスでは、同じボルディズム クラス内の法線マップを別の法線マップに変更します。

直感的に言えば、手術のプロセスは、セルを位相空間に接続する多様体の類似物であり、埋め込みが接続マップの代わりとなります。-セルをn -多様体に単純に接続すると、次元上の理由から多様体構造が破壊されるため、別のセルと交差させて厚くする必要があります。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (p+1)}$

ホモトピーまでは、埋め込みの手術のプロセスは、トレースのホモトピー型を与える -セルの取り付けと、 Nを得るためのq -セルの切り離しとして記述できます。切り離しプロセスの必要性は、ポアンカレ双対性の効果として理解できます。 ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$${\displaystyle (p+1)}$

セルを空間に接続してその空間の何らかのホモトピー群の要素を削除できるのと同様に、多様体Mに対するp手術を使用して要素を削除できる場合がよくあります。ただし、2 つの点が重要です。まず、要素は埋め込みによって表現可能でなければなりません(つまり、対応する球を自明な法線バンドルで埋め込む)。たとえば、方向反転ループに対して手術を行うことはできません。次に、分離プロセスの影響を考慮する必要があります。これは、対象のホモトピー群にも影響する可能性があるためです。大まかに言えば、この 2 番目の点は、p が少なくともMの次元の半分のオーダーである 場合にのみ重要です。 ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$

外科手術理論の起源と主な応用は、4 次元を超える 多様体の分類にあります。外科手術理論を体系化する質問は、大まかに言えば次のようになります。

• Xは多様体ですか?
• f は微分同相写像ですか?

より正式には、ホモトピーに至るまで以下の質問をします。

• 空間X は、与えられた次元の滑らかな多様体のホモトピー型を持っていますか?
• 2 つの滑らかな多様体間のホモトピー同値は 微分同相写像に同相ですか?${\displaystyle f\colon M\to N}$

2 番目の質問 (「一意性」) は、最初の質問 (「存在」) の相対的なバージョンであることがわかります。したがって、両方の質問は同じ方法で処理できます。

手術理論は、これらの質問に対する不変量の完全なセットを与えないことに注意してください。代わりに、それは障害理論的です。つまり、一次障害と、一次障害が消えた場合にのみ定義され、一次障害が消えたことを確認する際に行われた選択に依存する手術障害と呼ばれる二次障害があります。

ウィリアム・ブラウダー、セルゲイ・ノビコフ、デニス・サリバン、CTCウォールらが開発した古典的なアプローチでは、次数1の正規写像に対して手術が行われます。手術を使用すると、「次数1の正規写像はホモトピー同値と一致するか？」という質問は、（4次元を超える場合）群環のL群の何らかの要素に関する代数ステートメントに変換できます。より正確には、手術の障害がゼロである場合に限り、質問の答えは肯定的になります。ここで、nはMの次元です。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle \sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

たとえば、次元n = 4kが 4 の倍数で、の場合を考えます。 は整数 と同型であることがわかっています。この同型性の下では、 fの手術障害はXとMの署名の差に比例します。したがって、ドメインとコドメインの署名が一致する場合のみ、次数 1 の正規写像はホモトピー同値と一致します。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$${\displaystyle L_{4k}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$

上記の「存在」の問題に戻ると、空間X が滑らかな多様体のホモトピー型を持つのは、手術障害が消える次数 1 の正規写像を受け取る場合のみであることがわかります。これにより、多段階の障害プロセスが発生します。正規写像について話すには、X は、それをポアンカレ複体にする適切なバージョンのポアンカレ双対性を満たす必要があります。X がポアンカレ複体であると仮定すると、ポントリャーギン-トム構成は、 Xのスピヴァック正規ファイバ化が安定ベクトル束への縮小を持つ場合のみ、X への次数 1 の正規写像が存在することを示します。X への次数 1 の正規写像が存在する場合、それらのボルディズム類 (正規不変量と呼ばれる) は、ホモトピー類の集合によって分類されます。これらの正規不変量のそれぞれには手術障害があり、これらの障害の 1 つがゼロである場合のみ、X は滑らかな多様体のホモトピー型を持ちます。言い換えれば、これは手術障害マップの下でゼロ画像を持つ通常の不変量の選択肢があることを意味する。${\displaystyle [X,G/O]}$

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).}$

構造集合の概念は、存在と一意性の両方の問題に対する統一的な枠組みである。大まかに言えば、空間Xの構造集合は、ある多様体からXへのホモトピー同値M → Xで構成され、2 つの写像はボルディズム型の関係で同一視される。空間Xの構造集合が空でないための必要条件 (一般に十分条件ではない) は、Xがn次元ポアンカレ複体であること、すなわち、ホモロジー群とコホモロジー群が、ある整数nに対して、 n次元多様体の同型写像によって関連付けられていることである。正確な定義と多様体のカテゴリ (滑らか、PL、または位相的) に応じて、構造集合にはさまざまなバージョンがある。s-コボルディズム定理により、多様体間の特定のボルディズムは (それぞれのカテゴリで) 円筒と同型であるため、構造集合の概念により、微分同相写像までの分類が可能になる。 ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$

構造集合と手術障害写像は、手術厳密シーケンスでまとめられます。このシーケンスにより、手術障害写像 (およびその相対バージョン) が理解されると、ポアンカレ複体の構造集合を決定できます。重要なケースでは、滑らかな構造集合または位相構造集合は、手術厳密シーケンスを使用して計算できます。例としては、エキゾチック球の分類、および負に曲がった多様体と双曲基本群 を持つ多様体に対するボレル予想の証明があります。

位相的カテゴリでは、手術完全列はスペクトルのファイバー列によって誘導される長い完全列です。これは、列に含まれるすべてのセットが実際にはアーベル群であることを意味します。スペクトルレベルでは、手術障害マップは、ファイバーが対応する多様体のブロック構造空間である アセンブリマップです。

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• 配管（数学）

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• 2012年オーバーヴォルフアッハセミナー マニフォールドアトラスプロジェクトにおける外科理論
• 2012年レーゲンスブルクブロックセミナー、マニフォールドアトラスプロジェクトにおける外科手術理論
• ジェイコブ・ルリーの 2011 年ハーバード外科コースの講義ノート
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