一般型の表面

代数幾何学では、一般型の曲面は小平次元2の代数曲面です。Chowの定理 により、次元 2 で小平次元 2 の任意のコンパクト複素多様体は実際には代数曲面となり、ある意味ではほとんどの曲面がこのクラスに属します。

ギーゼカーは、一般タイプの曲面には粗いモジュライ スキームがあることを示しました。これは、チャーン数の任意の固定値に対して、それらのチャーン数で一般タイプの曲面を分類する 準射影スキームが存在することを意味します。これらのスキームを明示的に記述することは依然として非常に難しい問題であり、これが行われたチャーン数のペアはほとんどありません (スキームが空の場合を除く)。これらのスキームは一般に明示的に記述するには複雑すぎるという兆候がいくつかあります。コンポーネントの数の既知の上限は非常に大きく、一部のコンポーネントはどこでも非簡約化でき、コンポーネントは多くの異なる次元を持つ可能性があり、明示的に研究されたいくつかの部分はむしろ複雑に見える傾向があります。 ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2},}$

一般的なタイプの表面でどのチャーン数のペアが発生するかの研究は、「「チャーン数の地理学」という質問に対するほぼ完全な答えがあります。一般型の極小複素表面のチャーン数が満たさなければならない条件がいくつかあります。

• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}}$（12χに等しいため）
• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$(ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式)
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0}$ここで、q は表面の不規則性（ノイマン不等式）です。

これらの条件を満たす整数のペアの多く（おそらくすべて）は、一般的なタイプの複素曲面のチャーン数です。対照的に、ほぼ複素曲面の場合、唯一の制約は次のとおりです。

${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},}$

そしてこれは常に実現可能です。^[1]

これは、発見された一般型の表面のかなり多数の例のうちのほんの一部です。調査された一般型の表面の多くは、可能なチャーン数の領域の端上 (またはその近く) にあります。特に、堀川面は「ノイザー線」上またはその近くにあります。以下にリストされている表面の多くは、一般型の最小可能値の線上にあります。また、その線上の表面はすべてC ²の単位球の商です(特に見つけるのが困難です)。 ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}=12\chi =12,}$${\displaystyle 3c_{2}=c_{1}^{2}}$

図の「左下」の境界に位置するこれらの表面は、詳細に研究されています。これらの表面では、第 2 チャーン クラスは 3 から 11 までの任意の整数になります。これらすべての値を持つ表面は既知であり、研究されている多くの例のいくつかを以下に示します。

• c ₂ = 3:偽の射影平面(マンフォード面)。最初の例はマンフォードがp進幾何学を使用して発見したもので、全部で 50 個の例があります。これらは射影平面と同じベッチ数を持ちますが、基本群が無限であるため、射影平面と同相ではありません。
• c ₂ = 4:ボーヴィル面はアルノー・ボーヴィルにちなんで名付けられ、無限の基本群を持ちます。
• c ₂ ≥ 4:バーニア面
• c ₂ = 10:カンペデッリ面。同じホッジ数を持つ面は数値カンペデッリ面と呼ばれます。
• c ₂ = 10:カタネーゼ面は単連結です。
• c ₂ = 11:ゴドー面。位数 5 の巡回群は、 を に写像することによって を満たす P 3 内の点のフェルマー面上に自由に作用します。ここで、ρは¹の5乗根です。この作用による商が元のゴドー面です。ホッジ数が同じで同様の方法で構築された他の面も、ゴドー面と呼ばれることがあります。ホッジ数が同じ面 (バーロー面など) は数値ゴドー面と呼ばれます。(元のゴドー面の) 基本群は位数 5 の巡回群です。${\displaystyle (w:x:y:z)}$${\displaystyle w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0}$${\displaystyle (w:x:y:z)}$${\displaystyle (w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)}$
• c ₂ = 11:バロー面は単連結です。クレイゲロ-ガッタッツォ面とともに、これらはp _g  = 0 の一般的なタイプの単連結面の唯一の既知の例です。
• トドロフ面は、トレリ定理の結論に対する反例を与えます。

• カステルヌオーヴォ面:もう一つの極端なケースとして、カステルヌオーヴォは、正準バンドルが一般型の曲面に対して非常に豊富である場合、カステルヌオーヴォ面は正準バンドルが非常に豊富であり、${\displaystyle c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=3p_{g}-7.}$
• 完全交差: P ⁿの次数の超曲面の滑らかな完全交差は、次数が (2)、(3)、(2, 2) (有理数)、(4)、(3, 2)、(2, 2, 2) (小平次元 0) でない限り、一般タイプの曲面です。完全交差はすべて単連結です。特殊なケースとして超曲面があります。たとえば、 P ³では、次数が 5 以上の非特異曲面は一般タイプです(次数 4 の非特異超曲面はK3 曲面、次数 4 未満のものは有理数です)。${\displaystyle d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2}$
• 3 次多様体上の直線のファノ面。
• ヒルベルト モジュラー面は、ほとんどが一般型です。
• 堀川面は、 q  = 0 かつまたは(これは、チャーン数の可能な値の領域の「ノイマン線」の端に多かれ少なかれあることを意味します)である面です${\displaystyle p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}}$
• 積:種数がどちらも少なくとも 2 である 2 つの曲線の積は、一般型の表面です。
• P ²の非特異次数 2 m曲線の二重被覆は、次の場合、一般型である（2 m =2 の場合には有理数であり、2 m =4 の場合にはやはり有理数でありデルペッツォ二重平面と呼ばれ、2 m =6の場合にはK3 曲面である）。これらは単連結であり、チャーン数を持つ。${\displaystyle 2m\geqslant 8.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.}$

Bombieri (1973) は、一般型の複素曲面の多重正準写像 φ _{nK は}n ≥ 5 のときは常にその像への双有理同型であることを証明し、Ekedahl (1988) は、同じ結果が正の特性でも成り立つことを示した。nが4 のとき双有理同型ではない曲面もいくつかある。これらの結果は、Reider の定理から導かれる。

• エンリケス – 小平分類
• 代数曲面のリスト

• バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、Springer-Verlag、ベルリン、doi :10.1007/978-3-642-57739-0、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• Bombieri、Enrico (1973)、「一般型の表面の標準モデル」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、42 (42): 171–219、doi :10.1007/BF02685880、MR  0318163、S2CID  56081921
• エケダール、トルステン (1988)、「正特性の一般型曲面の標準モデル」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、67 (67): 97–144、doi :10.1007/BF02699128、MR  0972344、S2CID  54756971
• P. グリフィス、J. ハリス(1994)、『代数幾何学の原理』、Wiley Classics Library、Wiley Interscience、ISBN 0-471-05059-8
• Iskovskikh, VA (2001) [1994]、「一般型代数面」、数学百科事典、EMS Press