爆発する

数学において、ブローアップまたはブローアップは、与えられた空間の部分空間を、その部分空間から外に向かうすべての方向の空間に置き換える幾何学的変換の一種です。たとえば、平面上の点のブローアップでは、その点がその点における射影接空間に置き換えられます。この比喩は、爆発を指すのではなく、写真にズームインして画像の一部を拡大するようなものです。逆の操作はブローダウンと呼ばれます。

ブローアップは双有理幾何学における最も基本的な変換である。なぜなら、射影多様体間のすべての双有理射はブローアップだからである。弱因数分解定理によれば、すべての双有理写像は、特に単純なブローアップの合成として因数分解できる。平面の双有理自己同型の群であるクレモナ群は、ブローアップによって生成される。

ブローアップは双有理変換を記述する上で重要であるだけでなく、新しい空間を構築する重要な方法でもあります。たとえば、特異点を解決するためのほとんどの手順は、特異点が滑らかになるまでブローアップすることによって進められます。この結果、ブローアップは双有理マップの特異点を解決するために使用できます。

古典的には、ブローアップは、まず座標の明示的な構成を使用して射影空間などの空間上のブローアップを定義し、次に埋め込みによって他の空間上のブローアップを定義することによって、外在的に定義されていました。これは、モノイド変換という古典的な用語など、いくつかの用語に反映されています。現代の代数幾何学では、ブローアップを代数多様体に対する本質的な操作として扱っています。この観点から、ブローアップは、部分多様体をカルティエ因子に変換する普遍的な方法（圏論の意味で）です。

ブローアップは、モノイド変換、局所二次変換、膨張、σ過程、ホップ写像とも呼ばれます。

爆発の最も単純な例は、平面上の点の爆発です。爆発の一般的な特徴のほとんどは、この例で見ることができます。

爆発は、入射対応として総合的な記述を持つ。グラスマン多様体は、 平面上の点を通るすべての直線の集合をパラメトリズすることを思い出す。点 における射影平面の爆発は、 と表記され、 ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {Gr} (1,2).}$

ここで は内の別の点を表し、はグラスマン多様体の元です。は射影多様体の積の閉部分多様体なので、射影多様体です。はへの自然な射影を伴い、この射影多様体のペアを に写します。 この射影は を持つすべての点の開集合上の同型です。なぜなら、直線はこれらの 2 点によって決定されるからです。 ただし、 のとき、直線はを通る任意の直線になり得ます。 これらの直線は を通る方向の空間に対応し、 は と同型です。 これは例外因子と呼ばれ、定義によりにおける射影化された通常空間です。は点なので、通常空間は接空間と同じであり、したがって例外因子は における射影化された接空間と同型です。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle (Q,\ell )}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (Q,\ell )\in X}$${\displaystyle Q\neq P}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle Q=P}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ブローアップの座標を与えるには、上記の入射対応の方程式を書き下ろすことができます。点の同次座標を与えます。射影双対性により、は と同型なので、同次座標 を与えることができます。直線はとなるすべての の集合です。したがって、ブローアップは次のように記述できます。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle [P_{0}:P_{1}:P_{2}]}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle [L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$${\displaystyle X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0}$

${\displaystyle X={\bigl \{}{\bigl (}[X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}]{\bigr )}\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

ブローアップは から離れた同型であり、射影平面ではなくアフィン平面で作業することで、ブローアップのより簡単な方程式を与えることができます。射影変換の後、 と仮定できます。アフィン平面 上の座標に対してと を書きます。条件はを意味するので、グラスマン多様体を に置き換えることができます。すると、ブローアップは多様体になります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P=[0:0:1]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{X_{2}\neq 0\}}$${\displaystyle P\in \ell}$${\displaystyle L_{2}=0}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

${\displaystyle {\bigl \{}{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid xz+yw=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

座標を逆にして符号を反転させるのが一般的です。その場合、展開図は次のように書き表すことができます。

${\displaystyle \left\{{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0 \右\}。}$

この方程式は前の方程式よりも一般化しやすいです。

グラスマン多様体の無限大点を、例えば と設定して削除し、3D 空間で 標準的な鞍面を取得すれば、爆発を簡単に視覚化できます。${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle y=xz}$

爆発は、点への法線空間上の座標を直接使用して記述することもできます。ここでも、アフィン平面 で作業します。原点への法線空間はベクトル空間 であり、 は原点の最大イデアルです。代数的には、このベクトル空間の射影化はその対称代数のProjです。つまり、 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)}$

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

この例では、具体的な説明は次のようになります。

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

ここで、 と は次数 0、 とは次数 1 です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$

実数または複素数上では、ブローアップは連結和 として位相的に記述されます。が の原点であると仮定し、無限遠直線 を と書きます。 には を に送る反転写像があります。 は単位球面に関する円反転です。 を固定し、原点を通る各直線を保存し、球面の内部と外部を交換します。 は、無限遠直線を原点に送ることによって連続写像に拡張されます。 この拡張は とも表記され、ブローアップを作成するために使用できます。が単位球の補集合を表すものとします。 ブローアップは、の 2 つのコピーを に沿って接続することによって得られる多様体です。 には への写像が付属しており、は の最初のコピーとの2 番目のコピー上の恒等写像です。 この写像は から離れた同型であり、 上のファイバーはの 2 番目のコピーの無限遠直線です。 この直線上の各点は、原点を通る一意の直線に対応するため、 上のファイバーは、原点を通る可能な法線方向に対応します。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\subseteq \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\backslash \{0\}}$${\displaystyle {t}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \left({\frac {x}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}},{\frac {y}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}}\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\backslash \{0\}\to \mathbf {A} ^{2}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi }$

このプロセスでは、方向付けられた多様体を生成する必要があります。これを実現するには、 の 2 つのコピーに反対の方向を与える必要があります。記号では、は であり、 は標準の方向の反対です 。${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

Z をn次元複素空間C ⁿの原点とする。つまり、Z はn座標関数が同時に消える点である。 P ^{n - 1 を}同次座標を持つ ( n - 1) 次元複素射影空間とする。をi, j = 1, ..., nに対して方程式を同時に満たすC ⁿ × P ^{n - 1}の部分集合とする。射影 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

${\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}$

自然に正則写像 を誘導する

${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}$

この写像 π (または、多くの場合、空間) は、 C ⁿのブローアップ( blow upまたはblowupと綴られることもある)と呼ばれます。 ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

例外因子 Eはπの下での爆発軌跡Zの逆像として定義される。

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

は射影空間のコピーです。これは有効な因子です。E から離れると、 πはとC ⁿ \ Zの同型であり、とC ⁿの双有理写像です。 ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

代わりに正則射影を考えると

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

の同語的直線束が得られ、例外的な因子をその零切断、つまり上のファイバーの零元を各点に割り当てる と同一視することができます。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$${\displaystyle p}$

より一般的には、 C ⁿの任意の余次元kの 複素部分多様体 Z を分解することができます。Z が方程式の軌跡であり、 がP ^{k - 1}上の同次座標であるとします。 すると、分解は、C ⁿ × P ^{k - 1}空間におけるすべてのiとjに対する方程式の軌跡になります。 ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

さらに一般的には、この構成を局所的に適用することで、任意の複素多様体Xの任意の部分多様体を爆発させることができる。その効果は、前述と同様に、爆発位置Zを例外因子Eに置き換えることである。言い換えれば、爆発写像

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

は双有理写像であり、Eから離れると同型写像を誘導し、E上ではファイバP ^{k - 1}を持つ局所的に自明なファイバ化を誘導します。実際、この制限は自然にZの正規バンドルのXへの射影化として見られます。 ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$

E は滑らかな因子なので、その正規バンドルは直線バンドルです。 E が自分自身と負に交差することを示すのは難しくありません。これは、その正規バンドルが正則切断を持たないことを意味します。つまり、 E はにおけるそのホモロジー類の唯一の滑らかな複素代表です。( Eを同じ類の別の複素部分多様体に自分自身から摂動させることができると仮定します。すると、2 つの部分多様体は、複素部分多様体が常にそうであるように、正に交差し、Eの負の自己交差と矛盾します。) これが、この因子が例外的と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

V をZ以外のXの部分多様体とします。V が Z と素である場合、Zに沿ったブローアップによって本質的に影響を受けません。ただし、Zと交差する場合は、ブローアップにおいてVの 2 つの異なる類似体が存在します。1 つは適切な(または厳密な)変換で、 の閉包です。 におけるその通常のバンドルは、通常、 XにおけるVの通常のバンドルとは異なります。もう 1 つは全変換で、 Eの一部またはすべてを組み込みます。これは本質的に、コホモロジーにおけるVの引き戻しです。 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$

最大限に一般化した爆発を追求するために、X をスキームとし、X上のイデアルの一貫した層とする。Xのに対する爆発は、射を伴う スキームである。${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

は可逆層であり、次の普遍的性質によって特徴付けられます。 が可逆層であるような任意の射f : Y → Xに対して、f はπ を介して一意に因数分解されます。 ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$

注意してください

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

にはこの性質があります。これが爆発が構築される方法です。ここでProj は可換環の次数付き層上のProj 構築です。

爆発の例外的な因子は、イデアル層の逆像によって定義される部分スキームであり、 と表記されることもあります。Proj による爆発の定義から、この部分スキームEはイデアル層によって定義されることがわかります。このイデアル層は π の相対でもあります。 ${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}}$${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

π は例外因子から離れたところでは同型であるが、例外因子は π の例外的軌跡内にある必要はない。つまり、 π はE上の同型であり得る。これは、例えば がすでに可逆層である自明な状況で起こる。特に、そのような場合には、射 π は例外因子を決定しない。例外的軌跡が例外因子よりも厳密に小さくなる可能性がある別の状況は、X が特異点を持つ場合である。例えば、X をP ¹ × P ¹上のアフィン円錐とする。X はA ⁴におけるxw − yzの消失軌跡として与えられることができる。イデアル( x , y )および( x , z )は、それぞれがXの頂点を通過する 2 つの平面を定義する。頂点から離れたところでは、これらの平面はXの超曲面であるため、爆発はそこで同型である。したがって、これらのいずれかの平面の爆発の例外的な軌跡は円錐の頂点の中心に位置し、その結果、例外的な約数よりも厳密に小さくなります。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

をn次元射影空間とします。余次元dの線型部分空間L を固定します。Lに沿ったの爆発を記述する明示的な方法がいくつかあります。の座標が であるとします。座標を変更した後、 と仮定できます。爆発は に埋め込まれている可能性があります。 を第 2 因子上の座標とします。Lは正規列によって定義されているため、爆発は行列 の 2 × 2 のマイナーが消えることによって決定されます 。この方程式系は、2 つの行が線型従属であると主張することと同等です。点がL内にあるのは、その座標が上記の行列の最初の行に代入されたときにその行が 0 である場合のみです。この場合、Qには条件はありません。ただし、その行が 0 でない場合、線型従属は 2 行目が 1 行目のスカラー倍であることを意味し、したがって爆発内に と なる唯一の点が存在することを意味します。${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d}}$${\displaystyle Y_{0},\dots ,Y_{n-d}}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{n-d}}$${\displaystyle (P,Q)}$

この爆発は、が における - 次元部分空間のグラスマン多様体を表す 場合の接続対応 として総合的に記述することもできます 。前の座標化との関係を確認するには、L を含むすべての集合が射影空間 と同型であることに注目してください。これは、各部分空間MがLとLにない点Qとの線型結合であり、2 つの点QとQ' が同じM を決定するのは、それらがLから離れたの射影下で同じ像を持つ場合のみであるためです。したがって、グラスマン多様体は のコピーで置き換えることができます。 のとき、 P を含む部分空間M は1 つだけであり、これはPとLとの線型結合です。上記の座標では、 がゼロベクトルでない場合がこれに該当します。この場合は がゼロベクトルであることに対応し、この場合は任意のQが許可されます。つまり、L を含む任意のM が可能です。 $${\displaystyle \{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),}$$${\displaystyle \operatorname {Gr} }$${\displaystyle (n-d+1)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$${\displaystyle P\not \in L}$${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$${\displaystyle P\in L}$${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$

を 次数の一般的な同次多項式とします（つまり、関連する射影多様体はベズーの定理により点で交差します）。次のスキームの射影写像は、点で爆発するモデルを与えます。 ファイバーを見ると、これが正しい理由がわかります。点を取ると、プルバックダイアグラムは 、またはの場合は 常にファイバーが点であり、 の場合はファイバーが であることを示します。 ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle d^{2}}$$${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$${\displaystyle p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}$$${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$${\displaystyle f(p)\neq 0}$${\displaystyle g(p)\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle f(p)=g(p)=0}$

上で説明したC ⁿの展開では、複素数の使用は必須ではありません。展開は任意の体 上で実行できます。たとえば、原点におけるR ^2の実展開はメビウスの帯になり、同様に、2 球面S ^{2の展開は}実射影平面になります。

正規円錐への変形は代数幾何学における多くの結果を証明するために用いられる爆発的な手法である。スキームXと閉じたサブスキームVが与えられたとき、爆発的な変形は

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

それから

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

はファイバ化である。一般ファイバは自然にXと同型であるが、中心ファイバは2つのスキームの和集合である。1つはXをVに沿って拡大したもので、もう1つはファイバが射影空間まで完成された Vの正規円錐である。

シンプレクティック カテゴリでも、シンプレクティック多様体に互換性のあるほぼ複素構造を与え、複素ブローアップを進めることで、ブローアップを実行できます。これは、純粋に位相的なレベルでは意味をなします。ただし、ブローアップにシンプレクティック形式を与えるには、例外的な因子Eを越えてシンプレクティック形式を任意に拡張できないため、いくらかの注意が必要です。 Eの近傍でシンプレクティック形式を変更するか、 Zの近傍を切り取って境界を明確に定義した方法で縮小することでブローアップを実行する必要があります。これは、シンプレクティック ブローアップがその特殊なケースである、シンプレクティック切断の形式を使用すると最もよく理解されます。シンプレクティック切断は、シンプレクティック和の逆操作とともに、滑らかな因子に沿った通常の円錐への変形のシンプレクティックな類似物です。

• 限りなく近い点
• 特異点の解決

• フルトン、ウィリアム (1998)。交差理論。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-98549-2。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1978）。代数幾何学の原理。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-32792-1。
• ハーツホーン、ロビン (1977)。代数幾何学。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-90244-9。
• マクダフ、デュサ、サラモン、ディートマー（1998年）。シンプレクティック・トポロジー入門。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850451-9。