曲面に関するリーマン・ロッホの定理

数学において、曲面のリーマン・ロッホの定理は、代数曲面上の線型システムの次元を記述する。その古典的な形式は、マックス・ネーター (1886) とエンリケス(1894) によって予備的なバージョンが発見された後、カステルヌオーヴォ(1896、1897) によって最初に与えられた 。層理論バージョンはヒルツェブルッフによるものである。

リーマン・ロッホの定理の一つの形は、Dが非特異射影面上の因子である 場合、

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,}$

ここで、 χ は正則オイラー特性、ドット は交差数、K は標準因子です。定数 χ(0) は自明バンドルの正則オイラー特性で、 1 +  p _aに等しく、ここでp _{a は}曲面の算術種数です。比較のために、曲線のリーマン・ロッホの定理では、 χ( D ) = χ(0) + deg( D ) と述べられています。

ネーターの公式によれば

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}}$

ここで、 χ=χ(0) は正則オイラー特性、c ₁ ² = ( K . K ) はチャーン数であり、標準類Kの自己交差数、e  =  c _{2 は}位相オイラー特性です。これを使用して、リーマン・ロッホの定理の項 χ(0) を位相項に置き換えることができます。これにより、表面の ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理が得られます。

曲面の場合、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、本質的には曲面のリーマン・ロッホの定理とノイマンの公式を組み合わせたものである。これを理解するには、曲面上の各因子Dに対して可逆な層 L = O( D ) が存在し、 Dの線型システムは多かれ少なかれLの切断空間であることを思い出す必要がある。曲面の場合、トッド類は であり、層Lのチャーン指標はであるため、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は次のように述べている。 ${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

幸いなことに、これは次のようにより明確な形で記述することができます。まずD  = 0と すると、

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$     （ネーターの公式）

可逆層（線束）の場合、第2チャーン類は消滅する。第2コホモロジー類の積はピカール群の交差数と同一視でき、曲面に対するリーマン・ロッホのより古典的なバージョンが得られる。

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(DD-DK)}$

必要であれば、セール双対性を使用してh ² (O( D )) をh ⁰ (O( K  −  D )) と表すことができますが、曲線の場合とは異なり、層コホモロジーを含まない形式でh ¹ (O( D )) 項を書く簡単な方法は一般にありません(ただし、実際には層コホモロジーが消えることがよくあります)。

曲面に関するリーマン・ロッホの定理の最も初期の形式は、第一コホモロジー群の直接的な幾何学的記述がなかったため、等式ではなく不等式として述べられることが多かった。典型的な例は、ザリスキ（1995、p. 78）によって示されており、次のように述べている。

${\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}$

どこ

• rは因子Dの完全線形システム| D |の次元である（したがってr  =  h ⁰ (O( D )) −1）
• n はDの仮想次数であり、自己交差数 ( D . D )によって与えられる。
• π はDの仮想種数であり、1 + (DD + KD)/2 に等しい。
• p _{a は}曲面の算術種数χ(O _F ) − 1である。
• iはDの特殊性のインデックスであり、dim H ⁰ (O( K  −  D ))に等しい（これはセール双対性によりdim H ² (O(D))に等しい）。

この不等式の両辺の差は、 因子Dの過剰 sと呼ばれました。この不等式をリーマン・ロッホの定理の層理論的バージョンと比較すると、Dの過剰はs  = dim H ¹ (O( D ))で与えられることがわかります。因子D は、 i  =  s  = 0 (言い換えると、O( D ) のすべての高次コホモロジー群が消える)の場合に正則と呼ばれ、 s > 0の場合に 過剰と呼ばれます 。

• フリードリヒ・ヒルツェブルフ著『代数幾何学における位相的方法』ISBN  3-540-58663-6
• ザリスキ、オスカー（1995）、代数面、Classics in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-58658-6、MR  1336146
• スミス、ロイ。「古典的なリーマン、ロッホ、ヒルツェブルッフの一般化について」(PDF)。ジョージア大学ボイド研究教育センター数学部。